2班第8周訓(xùn)練題和答案

1、1（本小題滿分12分）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中， （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求證： ；（3）是否存有正整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)均成立？若存有，求出的最大值，若不存有，說(shuō)明理由2（12分）已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a11，公差d0，且第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是一個(gè)等比數(shù)列的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn （nN*），Snb1b2bn，是否存有最大的整數(shù)t，使得對(duì)任意的n均有Sn總成立？若存有，求出t；若不存有，請(qǐng)說(shuō)明理由3已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè),是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明4已知數(shù)列中,（1）求證：

2、是等比數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式;（2）數(shù)列滿足,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若不等式對(duì)一切恒成立,求的取值范圍5已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：6設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，（），是數(shù)列的前項(xiàng)和（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求滿足的最大正整數(shù)的值7已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且，數(shù)列滿足：，記數(shù)列的前項(xiàng)和為（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式；（）記集合，若的子集個(gè)數(shù)為16，求實(shí)數(shù)的取值范圍。8（本小題滿分15分）已知數(shù)列中，（實(shí)數(shù)為常數(shù)），是其前項(xiàng)和，且數(shù)列是等比數(shù)列，恰為與的等比中項(xiàng)（）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公

3、式； （）若，當(dāng)時(shí)，的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意，都有9（本題滿分12分）數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于的不等式的解集中正整數(shù)的個(gè)數(shù)，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）求證：對(duì)且恒有10.設(shè)數(shù)列an滿足：a1=1，an+1=3an，nN*設(shè)Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，已知b10，2bnb1=S1Sn，nN*（）求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn；（）證明：對(duì)任意nN*且n2，有+參考答案1（1）（2）（3）的最大值為4【解析】試題分析：（1）設(shè)出等比數(shù)列的公比，使用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解得首項(xiàng)和公比，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得通項(xiàng)公式本題是求數(shù)列的前項(xiàng)和的范圍，求和

4、方法有很多種，本題中使用累加法求得，再由錯(cuò)位相減法求和，即可得證（3）假設(shè)存有正整數(shù)，令，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而得到最小值，解不等式即可得出的取值范圍試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由題意有，（2），當(dāng)時(shí)，相減整理得：故（3）令，數(shù)列單調(diào)遞增，由不等式恒成立得：，故存有正整數(shù)，使不等式恒成立，的最大值為4考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合2（1）；（2）【解析】試題分析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差是，按等差的通項(xiàng)表示，他們又是等比的連續(xù)三項(xiàng)，所以，得到公差，寫出通項(xiàng)；（2）第一步，先得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，并采用裂項(xiàng)相消法求和，第二步，若恒成立，所以，第三步，先做差，判定的單調(diào)性，再求數(shù)列的最小值，求試題解析：（1

5、）由題意得（a1d）（a113d）（a14d）2，整理得2a1dd2a11，解得（d0舍），d2an2n1（nN*）（2）Snb1b2bn假設(shè)存有整數(shù)t滿足總成立，又，數(shù)列Sn是單調(diào)遞增的S1，Sn的最小值，故，即又tN*，適合條件的t的最大值為8考點(diǎn)：1等差數(shù)列；2等比數(shù)列；3。裂項(xiàng)相消法求和；4數(shù)列的最值3（1）；（2）；（3）證明見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意，構(gòu)造數(shù)列為等比數(shù)列，求其通項(xiàng)，進(jìn)而求出；（2）利用錯(cuò)位相減法求，進(jìn)而求出，作差證明數(shù)列為遞減數(shù)列，可求得最值，即得的范圍；（3）求出，利用裂項(xiàng)抵消法求和，進(jìn)而證明不等式成立試題解析：（1）由已知得，其中所以數(shù)列是公比為的等

6、比數(shù)列，首項(xiàng)，所以 4分由（1）知所以所以 7分所以，所以，當(dāng)即，即所以是最大項(xiàng)所以 9分（3） 12分又令，顯然在時(shí)單調(diào)遞減，所以故而 13分考點(diǎn)：1數(shù)列的遞推公式；2錯(cuò)位相減法；3裂項(xiàng)抵消法4（1）證明詳見解析；（2）【解析】試題分析：本題主要考查等比數(shù)列的定義、通過(guò)公式、錯(cuò)位相減法、恒成立問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力第一問(wèn)，先將已知轉(zhuǎn)化為形式，證明為常數(shù)，即證明了數(shù)列是等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通過(guò)公式計(jì)算出；第二問(wèn)，將第一問(wèn)的結(jié)果代入到中，得到的通項(xiàng)公式，結(jié)合規(guī)律知，用錯(cuò)位相減法求和，再利用恒成立，求的取值范圍試題解析：（1）由，得，又，所以是以

7、為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，（2） , 兩式相減得 若n為偶數(shù),則 若n為奇數(shù),則 考點(diǎn)：等比數(shù)列的定義、通過(guò)公式、錯(cuò)位相減法、恒成立問(wèn)題5（1）證明見解析，；（2）證明見解析【解析】試題分析：（1）由，先令，得出的值，由， 兩式相減，整理得，于是數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，可得；（2）由于，所以可用“裂項(xiàng)求和”的方法求得前項(xiàng)和為，即證原式試題解析：（1），令，得， ，兩式相減，得，整理 ， 數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列 ， （2） 考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的通項(xiàng)；2、利用“裂項(xiàng)求和法”求數(shù)列前項(xiàng)和；3、不等式的證明6（1）；（2）1008.【解析】試題分析：（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式，常常是基本量

8、運(yùn)算或者是由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式，因此通過(guò)已知條件得到，從而得到（），然后考慮n=1時(shí)是否滿足上式，經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)滿足，所以數(shù)列是等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式；(2)等比數(shù)列取對(duì)數(shù)后是等差數(shù)列，并其通項(xiàng)公式，然后求出Tn ,并求出，最后解關(guān)于n的不等式即可求解。試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列，（2）由（1）得：，所以，令，解得故滿足條件的最大正整數(shù)的值為1008考點(diǎn)：求數(shù)列通項(xiàng)公式；解數(shù)列不等式?！痉椒c(diǎn)睛】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)條件求數(shù)列通項(xiàng)公式的基本思路是兩個(gè)：（1）將和轉(zhuǎn)化為項(xiàng),即利用將和轉(zhuǎn)化為項(xiàng)。如本題由得，從而得到，然后由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式。應(yīng)注意變量n的

9、范圍。（2）可將條件看作是數(shù)列的遞推公式，先求出，然后題目即轉(zhuǎn)化為已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列通項(xiàng)公式。7（），；（），；（）【解析】試題分析：（）化求通項(xiàng)，然后直接利用求和公式求和即可；（）可化為，利用累乘法即可求得，由此通項(xiàng)公式可知求和適合用錯(cuò)位相減法；（）代入、并化簡(jiǎn)，構(gòu)造函數(shù)，滿足，由子集個(gè)數(shù)公式可知集合中共有4個(gè)元素，由此討論的單調(diào)性和取值即可試題解析：（）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意得，解得，；（）由題意得，疊乘得由題意得 得：（）由上面可得，令，則，下面研究數(shù)列的單調(diào)性，時(shí)，即單調(diào)遞減。集合的子集個(gè)數(shù)為16，中的元素個(gè)數(shù)為4，不等式，解的個(gè)數(shù)為4，考點(diǎn)：1化求通項(xiàng)；2累乘法求通項(xiàng)；3錯(cuò)位

10、相減法求和；4構(gòu)造函數(shù)解不等式8（）見解析；（）;（）見解析【解析】試題分析：（）由可求得，當(dāng)時(shí)，求出數(shù)列遞推公式，由累積法可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可證數(shù)列是等差數(shù)列；（）由基本量法，列出方程求出公比即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）先求出表達(dá)式，當(dāng)時(shí)，由放縮，可證不等式成立試題解析：（）解：令可得，即所以 2分時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，所以顯然當(dāng)時(shí)，滿足上式所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式是， 6分（）設(shè)等比數(shù)列的公比為,所以恰為與的等比中項(xiàng)，所以，解得，所以 10分（）時(shí),而時(shí), 所以當(dāng)時(shí)。13分當(dāng)時(shí)對(duì)任意，都有 15分考點(diǎn)：1差數(shù)列的定義與性質(zhì)；2等比數(shù)列的定義、性質(zhì)與求和；3放縮法證明不等式；9（1

11、）；（2）；（3）證明見解析【解析】試題分析：（1）用分解因式法求解一元二次不等式，注意分清兩根的大小關(guān)系；（2）對(duì)應(yīng)一些特殊數(shù)列求和，掌握住方法，一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)的和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后做差求解；（3）比較大小時(shí)，首項(xiàng)考慮作差法，作差、變形，由的符號(hào)，在確定符號(hào)是變形是關(guān)鍵，掌握配方，提公因式的方法，確定結(jié)論試題解析：（1）等價(jià)于，解得其中有正整數(shù)個(gè)，于是 3分（2） 5分兩式相減得故 7分（3） 9分由知于是故當(dāng)且時(shí)為增函數(shù) 11分綜上可知 12分考點(diǎn)：1、求數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、錯(cuò)位相減求和；3、證明不等式2

12、1（）an=3n1 bn=2n1；（）Tn=（n2）2n+2；（）見解析【解析】試題分析：（1）給出與的關(guān)系，求，常用思路：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與的關(guān)系，再求；由推時(shí)，別漏掉這種情況，大部分學(xué)生好遺忘;（2）一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)的和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放縮時(shí)掌握好規(guī)律，怎樣從條件證明出結(jié)論試題解析：（）an+1=3an，an是公比為3，首項(xiàng)a1=1的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為an=3n1 2bnb1=S1Sn，當(dāng)n=1時(shí)，2b1b1=S1S1，S1=b1，b10，b1=1 當(dāng)n1時(shí)，bn=SnSn1=2bn2bn1，bn=2bn1，bn是公比為2，首項(xiàng)a1=1的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為bn=2n1 （）cn=bnlog3