二次函數(shù)中平行四邊形通用解決方法

1、 探究（1）在圖1中，已知線段AB，CD，其中點分別為E，F(xiàn)。若A（-1，0），B（3，0），則E點坐標(biāo)為_；若C（-2，2），D（-2，-1），則F點坐標(biāo)為_；（2）在圖2中，已知線段AB的端點坐標(biāo)為A（a，b），B（c，d），求出圖中AB中點D的坐標(biāo)（用含a，b，c，d的代數(shù)式表示），并給出求解過程；歸納無論線段AB處于直角坐標(biāo)系中的哪個位置，當(dāng)其端點坐標(biāo)為A（a，b），B（c，d），AB中點為D（x，y） 時，x=_，y=_；（不必證明）運用在圖2中，一次函數(shù)y=x-2與反比例函數(shù)的圖象交點為A，B。求出交點A，B的坐標(biāo)；若以A，O，B，P為頂點的四邊形是平行四邊形，請利用上面的結(jié)論求出

2、頂點P的坐標(biāo)。以二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問題是近年來中考的熱點，其圖形復(fù)雜，知識覆蓋面廣，綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求高對這類題，常規(guī)解法是先畫出平行四邊形，再依據(jù)“平行四邊形的一組對邊平行且相等”或“平行四邊形的對角線互相平分”來解決由于先要畫出草圖，若考慮不周，很容易漏解為此，筆者另辟蹊徑，借助探究平行四邊形頂點坐標(biāo)公式來解決這一類題1 兩個結(jié)論，解題的切入點數(shù)學(xué)課標(biāo)，現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中沒有線段的中點坐標(biāo)公式，也沒有平行四邊形的頂點坐標(biāo)公式，我們可幫助學(xué)生來探究，這可作為解題的切入點。1.1 線段中點坐標(biāo)公式平面直角坐標(biāo)系中，點A坐標(biāo)為(x1,y1)，點B坐標(biāo)為(

3、x2,y2)，則線段AB的中點坐標(biāo)為(,).圖1證明 ： 如圖1，設(shè)AB中點P的坐標(biāo)為(xP,yP).由xP-x1=x2-xP，得xP=，同理yP=，所以線段AB的中點坐標(biāo)為(,).1.2 平行四邊形頂點坐標(biāo)公式圖2ABCD的頂點坐標(biāo)分別為A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD)，則：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD.證明： 如圖2，連接AC、BD，相交于點E點E為AC的中點，E點坐標(biāo)為(,).又點E為BD的中點，圖3E點坐標(biāo)為(,).xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD. 即平行四邊形對角線兩端點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等2 一個基本事

4、實，解題的預(yù)備知識如圖3，已知不在同一直線上的三點A、B、C，在平面內(nèi)另找一個點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形答案有三種：以AB為對角線的ACBD1，以AC為對角線的ABCD2，以BC為對角線的ABD3C3 兩類存在性問題解題策略例析與反思3.1 三個定點、一個動點，探究平行四邊形的存在性問題例1 已知拋物線y=x2-2x+a(a0）與y軸相交于點A，頂點為M.直線y=x-a分別與x軸、y軸相交于B、C兩點，并且與直線AM相交于點N.(1)填空：試用含a的代數(shù)式分別表示點M與N的坐標(biāo)，則M( ), N( )；(2)如圖4，將NAC沿y軸翻折，若點N的對應(yīng)點N恰好落在拋物線上，

5、AN與x軸交于點D，連接CD，求a的值和四邊形ADCN的面積；(3)在拋物線y=x2-2x+a(a0）上是否存在一點P，使得以P、A、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.解：(1)M(1,a-1)，N(,-)；(2)a=-；S四邊形ADCN=；(3)由已知條件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(,-).設(shè)P(m,m2-2m+a).當(dāng)以AC為對角線時，由平行四邊形頂點坐標(biāo)公式（解題時熟練推導(dǎo)出），得：圖4,.P1(,-)；當(dāng)以AN為對角線時，得:,(不合題意，舍去).當(dāng)以CN為對角線時，得:,.P2(-,).在拋物線上存在點P1(,-)和P2(-,)

6、，使得以P、A、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形.反思：已知三個定點的坐標(biāo)，可設(shè)出拋物線上第四個頂點的坐標(biāo)，運用平行四邊形頂點坐標(biāo)公式列方程（組）求解.這種題型由于三個定點構(gòu)成的三條線段中哪條為對角線不清楚，往往要以這三條線段分別為對角線分類，分三種情況討論.3.2 兩個定點、兩個動點，探究平行四邊形存在性問題圖5例2 如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三點.（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使以點Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件點P的坐標(biāo).解 ：（1）易求拋物線的表達(dá)式為y=；(2)由題意知點Q

7、在y軸上，設(shè)點Q坐標(biāo)為(0,t)；點P在拋物線上，設(shè)點P坐標(biāo)為(m,).盡管點Q在y軸上，也是個動點，但可理解成一個定點，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動了當(dāng)以AQ為對角線時，由四個頂點的橫坐標(biāo)公式得：-1+0=3+m，m=-4，P1(-4,7)；當(dāng)以BQ為對角線時，得：-1+m=3+0，m=4，P2(4,)；當(dāng)以AB為對角線時，得：-1+3=m+0，m=2，P3(2,-1).綜上，滿足條件的點P為P1(-4,7)、P2(4,)、P3(2,-1).反思：這種題型往往特殊，一個動點在拋物線上，另一個動點在x軸（y軸）或?qū)ΨQ軸或某一定直線上設(shè)出拋物線上的動點坐標(biāo)，另一個動點若在x軸上，縱坐標(biāo)為0，則用平行四邊

8、形頂點縱坐標(biāo)公式；若在y軸上，橫坐標(biāo)為0，則用平行四邊形頂點橫坐標(biāo)公式該動點哪個坐標(biāo)已知就用與該坐標(biāo)有關(guān)的公式本例中點Q的縱坐標(biāo)t沒有用上，可以不設(shè)另外，把在定直線上的動點看成一個定點，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動了，分別以三個定點構(gòu)成的三條線段為對角線分類，分三種情況討論. 例3 如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三點（1）求拋物線的解析式；（2）若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標(biāo)為m，AMB的面積為S求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=-x上的動點，判斷有幾個位置能使以點P、Q、B、O

9、為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標(biāo)解：（1）易求拋物線的解析式為y=x2+x-4；（2）s=-m2-4m(-4m0)；s最大=4（過程略）；（3）盡管是直接寫出點Q的坐標(biāo)，這里也寫出過程由題意知O(0,0)、B(0,-4).由于點Q是直線y=-x上的動點，設(shè)Q(s,-s)，把Q看做定點；設(shè)P(m,m2+m-4).當(dāng)以O(shè)Q為對角線時，圖6s=-2.Q1(-2+,2-)，Q2(-2-,2+)；當(dāng)以BQ為對角線時，s1=-4，s2=0(舍).Q3(-4,4)；當(dāng)以O(shè)B為對角線時，s1=4，s2=0(舍).Q4(4,-4).綜上，滿足條件的點Q為Q1(-2+,2-)、Q2(-2-,2

10、+)、Q3(-4,4)、Q4(4,-4).反思：該題中的點Q是直線y=-x上的動點，設(shè)動點Q的坐標(biāo)為(s,-s)，把Q看做定點，就可根據(jù)平行四邊形頂點坐標(biāo)公式列方程組了.4 問題總結(jié) 這種題型，關(guān)鍵是合理有序分類：無論是三定一動，還是兩定兩動，統(tǒng)統(tǒng)把拋物線上的動點作為第四個動點，其余三個作為定點，分別以這三個定點構(gòu)成的三條線段為對角線分類，分三種情況討論，然后運用平行四邊形頂點坐標(biāo)公式轉(zhuǎn)化為方程（組）這種解法，不必畫出平行四邊形草圖，只要合理分類，有序組合，從對角線入手不會漏解，條理清楚，而且適用范圍廣其本質(zhì)是用代數(shù)的方法解決幾何問題，體現(xiàn)的是分類討論思想、數(shù)形結(jié)合的思想.如圖，在平面直角坐標(biāo)

11、系中，已知RtAOB的兩條直角邊OA、OB分別在y軸和x軸上，并且OA、OB的長分別是方程x27x+12=0的兩根(OA0B)，動點P從點A開始在線段AO上以每秒l個單位長度的速度向點O運動；同時，動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A運動，設(shè)點P、Q運動的時間為t秒(1)求A、B兩點的坐標(biāo)。(2)求當(dāng)t為何值時，APQ與AOB相似，并直接寫出此時點Q的坐標(biāo)(3)當(dāng)t=2時，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點M，使以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，請直接寫出M點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由如圖，拋物線經(jīng)過A（1，0），B（5，0），C（0，）三點（1）求拋物線的解析

12、式；（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標(biāo)；（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=2x+4與y軸交于A點，與x軸交于B點，拋物線C1：y=x2+bx+c過A、B兩點，與x軸另一交點為C（1）求拋物線解析式及C點坐標(biāo)（2）向右平移拋物線C1，使平移后的拋物線C2恰好經(jīng)過ABC的外心，拋物線C1、C2相交于點D，求四邊形AOCD的面積（3）已知拋物線C2的頂點為M，設(shè)P為拋物線C1對稱軸上一點，Q為拋物線C1上一點，是否存在以點M、Q、P、B為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出P點坐標(biāo)；不存在，請說明理由如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=3x3與x軸交于點