人教版八年級數(shù)學(xué)競賽專題全等三角形

1、 競賽專題：全等三角形（含答案） 八年級數(shù)學(xué) 人教版?的等腰三角形，為頂角是1. 如圖，為邊長是1的等邊三角形，?BDC120ABCBDC?，形成一個，連結(jié)、于、以為頂點作一個角，角的兩邊分別交MNAC60?NABMD 的周長求AMNAMNANMCBED DC?CEDBDACCE?BMBMD 到，使，中有與解析延長，連結(jié)易知在DEEEDC?MDB?90?BM?CEMBDECD?MBD?ECD?， ，從而所以DE?MDDN?DENDNDMN 中有于是在，與DE?MDEDNMDN?EDN?MDB?CDN?EDC?CDN?MDN?60?故而，從MN?NE ?AN?MB?NC?NC?CE?AN?AM?

2、AM?MN?AN?AM?NE?ANAM 所以2AC?AB? BCNAC?90?CABC?在分別為邊的中點，點，點2. 、和為等腰直角三角形，DMNA?2NANE 射線上，且，點在射線，求證：上，且DEBD?2BMBDE?BMEFAD 中點，連解析取FEADFMCBN 1BMCDMAAM?DMA?MC?BMC，與，故中在，?BDBM?MD 2BC?AMDCMBADM?CBMADBCAD 于是有，CANBMCANC?CBM? ，于是有同樣易知111BCANCEAFAD知與由，中，在NCBC?AENENA?ADAF? 222NACAEF?EAF?ANCFAFANC?，于是所，以有EFD?90?EFA

3、?ACN EDFFAFEDFEAFFDAF?EFEF?有于是故中在從而與有，EAF?EDF? ， FEA?FED? 總之，即?EDF?FED?90?EDF?NAC?EDF?AEF?EDF?MDA? DEBD? 與過作已知等腰直角三角形，是斜邊的角平分線交于，3. CEABCACBCCBDB?D ，求證：垂直且交延長線于CEBD?2EBDFAEDCB ACFAB?ACABDCE?FBE?ACF，則，得解析如圖，延長、，設(shè)交于FBABDCF? BDFC?CF2CE?BECF?FBCCF 中點，所以為，故又平分，平分，EBEBE 為、分別為、的中點，4. 在中，已知、BC60?ACGABC?A?PE

4、ABFQACAB1?ABCGP，求形外兩點，使，若，ABPE?PQACQF?QFPE 22 的長 又，故AC，F(xiàn)GAB則解析如圖，連結(jié)EG、FG，EGQFG?PEG?150?11，所以，故，GQ?PGGFQPEGFGABPEQF?AC?EG? 22是于，所以，又?EGF?60?EGP?FGQ?FQG?FGQ?30?90?PGQ 2?2PGPQ AQPEFBCG BCCDEABCDABEBCEEAD的周長相等，求、在梯形的底邊上有一點、若 5. AD?CEBBEAECBAAEAAA（或延長線）則在，若解析作平行四邊形則，與不重合，?BEABEAEAAAEA延的周長；在上，但由三角形不等式易知，在

5、上時，的周長?BCAEBE?ABEAA，同理長線上時，的周長周長，均與題設(shè)矛盾，故與重合，A1BCBCED ，? 2ADDEAACB 、上，并且，、分別在邊6. 內(nèi)，CA?ACB?60?40?ABCBC?BAC?APPBQQ 的角平分線求證：分別是、ABCBAC?BP?ABBQ?AQ，所以連結(jié)易知，解析延長到，使，?80?ABCDPBDAB?BPDACB?QBC?40 QBAQ?AC?AQ?QC?AQBCPD 1ACPADP 因，所以，ACB?BDP?BPD?ABC?40? 2BP?BD?AB?AD?AB?AC 于是BP?BQ?AQ?ABBCACABCBD?AEE求設(shè)等腰直角三角形7. 上，并

6、且中，是腰在斜邊的中點，D 證：EDC?BDA BDAF 的平分線上，在解析如圖，作F?BADADFCBE AF?CAEECABF?CAE?BAF?45?ACEAB?ACABF? 由于，故故，EDC?ADBCED?45?AD?CDAFDFAD?C? ，于是又，于是GACFABEEFAEAF的中點，設(shè)8. 是各自的斜邊，、是都是等腰直角三角形，GBC 求證：也是等腰直角三角形NFNGPBCP 、解析如圖，作、分別垂直于直線，垂足為、MEMQAQAFGENQCPMB ，故有由，BE?ABBAQ?EBM?90?ABQ?BQEM?BQAEMB ，所以，同理，CNBM?AQBM?AQCNFN?QC? B

7、CFN?BQ?QC?EM?11?，且又由，故得又BCGPCP?GPBP?CP?BP?EGGF?BC?FN?GP?EM 22 故 結(jié)論成立222的靠近已知9. ，、在上（），求證：BCACAB?AB?ACBEDDCE?DEBD?45?DAE 充要條件是AFBCDE ACF?ACABDACF?45?BAB?FC?BCFC?BD，故解析如圖，作，則，且，又?90F?BAC?D4 ，且AFAD?AFE?ADE?45?EAF?45?DAE ，因，得，則，則若AFAD?222222 BD?EC?DE?EFFC?EC?222222故，由反之，若又得AF?DEADEFFC?DE?ECEF?BDEC?45DAE

8、?90?ADEAEF?DAF ，于是，又 塊，每一塊通過平移、兩三角形全等且關(guān)于一直線對稱，求證：可以將其中一個劃分成310. 旋轉(zhuǎn)后拼成另一個三角形?CBABCAlI，分別向三邊作垂解析如圖，設(shè)對稱，分別找到各自的內(nèi)心、與關(guān)于IIEID 、線?IFAFIE均為軸對稱的箏形，且四邊形個四邊形與、，于是6AFIEEDIIFI?FJEA，所以兩者可通過平移、旋轉(zhuǎn)后重合；同理，另外兩對箏形也可通過平移、四邊形 旋轉(zhuǎn)后重合 AAEEFFCCllDDBBl 分別涂上兩個等底等高的銳角三角形，已知：可以將每個三角形分別分成四個三角形，11. 紅色、藍色、黃色和綠色，使得同色三角形全等?CCBCBBBC?E

9、AFEFA，、距離，取各自的中位線至距離等于至，解析如圖，設(shè)?，、上各取一點均為銳角三角形，可在則、由、CBCABCABCBFE?FEDD?，于是使圖中標(biāo)相同數(shù)字的角相等，F(xiàn)AEFDEEFADEF? ，DFBDFDEBCEDC 評注還有一種旋轉(zhuǎn)而不是對稱的構(gòu)造法AA631452EFEF41256354212514CBDCDB ?ABCCABCA?BBCBCAA? 與與，已知12. 中，S?S?CABCAB?CAB 是否一定全等？AACB ?BCCC重合，則重合，在與與與同側(cè)，若重合，、解析如圖，讓AABABA?ABCABABCAC為梯形和圓內(nèi)接四邊形，于是它是一個等；否則由條件知四邊形?BCC

10、ABC?ACBAB?ACABCABA?ABC?，綜上，于是腰梯形，可知與 全等 評注本題也可以運用三角形面積公式、余弦定理結(jié)合韋達定理來證明CECEDNACABCBD的、分別為13. 如圖所示，已知、和、均為正三角形，LMMNL 為正三角形中點，求證：ANELSCBTMD CSMTNSSMBCCDSTLMTT為中點分別為、，連結(jié)則四邊形、解析如圖，設(shè) 平行四?LTM?180?240?BCD?NSM?60，設(shè)邊形，則?SM?CT?SC?MTLC?120?LT?240?NC?SN?NCL360故，又，TMLCNLSNM ，MNLNMNL?ML 為正三角形，于是?120?LTM?NCL?MNNSMS

11、 此時，不影響最終結(jié)論評注注意有時在另一側(cè)，BCaBCACAB?c?6?90A?ABC?ABP、，、中，14. 是，中點，分別在MQ22上（可落在端點）表示） 的最小值（用、，滿足，求ACbMQ?MPCQBP?ca、由于是，連結(jié)至，使、解析如圖，延長BCNBNPNAMMPQQMNQMNQM?故分，又垂直平，的中點，故，BP?BNBNACPMCQ?BNNQ222222 PQ?BPPNCQ?BN?BP?2aa22，的最小值為，則，于是取中點（圖中未畫出）KPQ?AMPQ?AK?MKCQ?BP 42 為矩形時取到等號僅當(dāng)即四邊形AMPQ?APMQAQPCBMN CAPBCBCPAC?ABC?、作的垂

12、線，垂足分別是已知15. 為、，由內(nèi)一點，PPL MCMLPFBEDA DL?ABDM 設(shè)為中點，求證：DDFEDAPE顯然四邊形、中點，連、解析如圖所示，取、中點DEPFBPMEFFLDFP?DEP? ，是平行四邊形，所以DE?FPDFEP?PAC2?AC?PEM?PMDE?EA?EP?DFFL?EM，以所同又由理；，PBC?PAC?PFL?2?PBC以由，所LFDDFMDFL?DFP?PFLDEMDM?DL?DEP?PEM，所以從而 ?60AED?AC60ABC?CAB?ABE，、，上的點，且 16.在中，已知分別是邊DDCB?2?CDECDB?ED?DBCE? ，的度數(shù)，求CFEFABE

13、D?BFF 、，連，使到解析如圖，延長CEFBAD ，因為，所以，?120?EDB?AED?60?CED?FDA?60?EAB BFED?AD?AE? DFBF?DB?DB?CE?ED 于是，?60?ACF?AC?AFAFCCDE?2?120?CDB?EDB ，又因為 所以?80CDB?CDE?40? ，?20EDC?CED?ECD180 ?60?CAD?CFBCDACBFCA?CFCDACBF，和，在中，所以BF?AD 故?20FCB?ACD? ?20CDE?FCB?DCB?60? 于是，BCNACABC?C上的點，滿足分別為邊、為銳角，、17. 在、中，AB?BDMAC?CDNABBD?DC?BDM?AM?AN 求證：，且ACDEDNDN?DM?，連結(jié)上取一點，使解析若連結(jié)并延長交于，則在BEEDMFDN?CDNDE?BDE?BDENBEDCND?DC故，中在，與，BCENNCFB