圓的切線證明

1、一、考點分析：1.圓中的重要定理:(1)圓的定義:主要是用來證明四點共圓.(2)垂徑定理:主要是用來證明弧相等、線段相等、垂直關系等等.(3)三者之間的關系定理: 主要是用來證明弧相等、線段相等、圓心角相等. (4)圓周角性質定理及其推輪: 主要是用來證明直角、角相等、弧相等.(5)切線的性質定理:主要是用來證明垂直關系. (6)切線的判定定理: 主要是用來證明直線是圓的切線. (7)切線長定理: 線段相等、垂直關系、角相等.2.圓中幾個關鍵元素之間的相互轉化:弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過相等來互相轉化.這在圓中的證明和計算中經(jīng)常用到.二、考題形式分析：主要以解答題的形式出現(xiàn),第 1 問

2、主要是判定切線；第 2 問主要是與圓有關的計算： 求線段長（或面積）；求線段比；求角度的三角函數(shù)值（實質還是求線段比）。三、解題方法1、判定切線的方法：（1）若切點明確，則“連半徑，證垂直”。常見手法有：全等轉化；平行轉化；直徑轉化；中線轉化等；有時可通過計算結合相似、勾股定理證垂直；（2）若切點不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法：角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個層次的證明：直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點）；直線與半徑的關系是互相垂直。在證明中的關鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉化,要善于進行由此及彼的聯(lián)想、要總結常添加的輔助線2、與圓有關的計算：

3、計算圓中的線段長或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識的結合，形式復雜，無規(guī)律性。分析時要重點注意觀察已知線段間的關系，選擇定理進行線段或者角度的轉化。特別是要借助圓的相關定理進行弧、弦、角之間的相互轉化，找出所求線段與已知線段的關系，從而化未知為已知，解決問題。其中重要而常見的數(shù)學思想方法有：（1）構造思想：如：構建矩形轉化線段；構建“射影定理”基本圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它所有線段長）；構造垂徑定理模型：弦長一半、弦心距、半徑；構造勾股定理模型；構造三角函數(shù).（2）方程思想：設出未知數(shù)表示關鍵線段，通過線段之間的關系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關系建立方程，解決問

4、題。（3）建模思想：借助基本圖形的結論發(fā)現(xiàn)問題中的線段關系，把問題分解為若干基本圖形的問題，通過基本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結論，進而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關系。（1）如圖，AB 是O 的直徑，BCAB，ADOC 交O 于 D 點，求證：CD 為O 的切線；（2）如圖，以 RtABC 的直角邊 AB 為直徑作O，交斜邊 AC 于 D，點 E 為 BC 的中點，連結 DE，求證：DE 是O 的切線.（3）如圖，以等腰ABC 的一腰為直徑作O，交底邊 BC 于 D，交另一腰于 F，若DEAC 于 E（或 E 為 CF 中點），求證：DE 是O 的切線.（4）如圖，AB 是O 的直徑，A

5、E 平分BAF，交O 于點 E，過點 E 作直線EDAF，交 AF 的延長線于點 D，交 AB 的延長線于點 C，求證：CD 是O 的切線.CCAEOFABABEBDCCED（5）在(1)中的條件、中任選兩個條件，當 BGCDD于 E 時（如圖 5），則：DE=GB；DC=CG；AD+BG=AB；ADBG= 1 DG 2 =DC2G4A圖 5圖形 2：如圖：RtABC 中，ACB=90。點 O 是 AC 上一點，以 OC 為半徑作O 交AC 于點 E，基本結論有：BBBCACA（1）在“BO 平分CBA”;“BODE”;“AB 是O 的切線”;“BD=BC”。四個論斷中，知一推三。（2）G 是

6、BCD 的內(nèi)心；CG=GD；BCOCDE BODE=COCE= 1 CE2；2（3）在圖（1）中的線段 BC、CE、AE、AD 中，知二求四。AE1（4）如圖（3），若BC=CE，則：=tanADE；BC：AC：AB=3：4：5AD2；（在、中知一推二）設 BE、CD 交于點 H，,則 BH=2EH圖形 3：如圖：RtABC 中，ABC=90,以 AB 為直徑作O 交 AC 于 D，基本結論有：C如右圖：（1）DE 切O E 是 BC 的中點；E（2）若 DE 切O，則：DE=BE=CE；ABD、O、B、E 四點共圓 CED=2ACDCA=4BE2,DE = CD = BCRBDBA圖形特殊化

7、：在（1）的條件下如圖 1：DEAB ABC、CDE 是等腰直角三角形；如圖 2：若 DE 的延長線交 AB 的延長線于點 F，若 AB=BF，則： DE = 1EF3; BE = 1RCAF圖 1圖 2圖形 4：如圖，ABC 中，AB=AC，以 AB 為直徑作O，交 BC 于點 D，交 AC 于點F，基本結論有：AB（1）DEAC DE 切O；（2）在 DEAC 或 DE 切O 下，有：DFC 是等腰三角形；EF=EC；D 是 BF的中點。與基本圖形 1 的結論重合。連 AD，產(chǎn)生母子三角形。圖形 5：以直角梯形 ABCD 的直腰為直徑的圓切斜腰于， 基本結論有：ADADADBCBCBC圖

8、1圖 2圖 3（1）如圖 1：AD+BCCD；COD=AEB=90； OD 平分ADC（或 OC平分BCD）；（注：在、及“CD 是O 的切線”四個論斷中，知一推三）ADBC 1 AB 2=R2；4（2）如圖 2，連 AE、CO，則有：COAE，COAE=2R2(與基本圖形 2 重合)（3）如圖 3，若 EFAB 于 F，交 AC 于 G，則：EG=FG.圖形 6：如圖：直線 PRO 的半徑 OB 于 E，PQ 切O 于 Q，BQ 交直線 PQ 于 R。基本結論有：BBBQQEA PR OEPR（1）PQ=PR(PQR 是等腰三角形)；（2）在“PROB”、“PQ 切O”、“PQ=PR”中，知

9、二推一（3）2PRRE=BRRQ=BE2R=AB2圖形 7：如圖，ABC 內(nèi)接于O，I 為ABC 的內(nèi)心?；窘Y論有：（1）如圖 1，BD=CD=ID；DI2DEDA；AIB=90+ 1 ACB;2D圖 1圖 2（2）如圖 2，若BAC=60，則：BD+CE=BC.圖形 8：已知，AB 是O 的直徑，C 是 BG 中點，CDAB 于 D。BG 交 CD、AC于 E、F。基本結論有：1（1）CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DE21AB(反之，由 CD= 2 BG 或 BE=EF 可得：C 是 BG 中點)1（2）OE=AF，OEAC；ODEAGF2（3）BEBG=BDBA（4）若 D 是

10、OB 的中點，則：CEF 是等邊三角形；BC=CG=AG10（門 1）已知 RtABC 中，ABC=90，以 AB 為直徑作O 交 AC 于點 D，連結 BD（1）如圖 1，若 BDCD34，AD3，求O 的直徑 AB 的長；（2）如圖 2，若 E 是 BC 的中點，連結 ED ，請你判斷直線 ED 與O 的位置關系，并證明你的結論AA來源:學+科+網(wǎng)BCBEC圖1圖28.（海 1） 如圖，AB 為O 的直徑，AB=4，點 C 在O 上， CFOC，且 CF=BF.M（1）證明 BF 是O 的切線;（2）設 AC 與 BF 的延長線交于點 M，若 MC=6，求MCF 的大小.BA6（房 1）（

11、本小題滿分 5 分）已知：如圖，在ABC 中，AB=AC，以 AB 為直徑的O分別交 BC、AC 于點 D、E，聯(lián)結 EB 交 OD 于點 F（1）求證：ODBE；（2）若 DE=，AB=5，求 AE 的長4（大 1）在平面直角坐標系 xOy 中，矩形 ABCO 的面積為 15，邊 OA 比 OC 大 2，E 為 BC 的中點，以 OE 為直徑的O交 x軸于 D 點，過點 D 作 DFAE 于 F.（1） 求OA，OC的長；（2） 求證：DF 為O的切線；（3）由已知可得，AOE 是等腰三角形.那么在直線 BC 上是否存在除點 E 以外的點 P，使AOP 也是等腰三角形？如果存在，請你證明點 P 與O的位置關系，如果不存在，請說明理由.1(西 1)如圖，D 是O 的直徑 CA 延長線上一點，點 B 在O 上， 且 ABADAO（1）求證：BD 是O 的切線；（2）若 E 是劣弧 BC 上一點，AE 與 BC 相交于點 F，2BEF 的面積為 8，且 cosBFA，3求ACF 的面積9、（2010 江蘇省泰州市）在平面直角坐標系中，直線 ykxb（k 為常數(shù)且 k0）分別交 x 軸