基于加窗傅里葉變化的測頻計算

1、上海電力學(xué)院 本科畢業(yè)設(shè)計（論文）專業(yè)譯文原文題目：DFT-based frequency estimation under harmonic interference譯文題目：諧波干擾下基于DFT的頻率估計學(xué)生姓名：李詩雨學(xué) 號：指導(dǎo)教師：許儀勛院 系：電氣工程學(xué)院專業(yè)年級：電氣工程及其自動化2016屆 2017年 1 月 3 日 諧波干擾下基于DFT的頻率估計Anbal Ferreira和Ricardo Sousa摘要：在本文中，我們介紹了自然信號正弦聲波頻率的精確估計，例如歌聲、嗓音或樂曲。這些信號本質(zhì)上都是諧波，并且通?；煊幸欢ǖ脑肼?。以Cramr-Rao的無偏頻率估計器的下限為參考，

2、我們對比了一些基于DFT的頻率估計器的性能，這些估計器是非迭代的，并且使用了矩形窗或漢寧窗。測試環(huán)境模擬諧波干涉，在測試中還是用了兩個新的基于反正切窗函數(shù)的頻率估計器。結(jié)果表明，不同頻率估計器的相對性能可以表示為性噪比的函數(shù)。1引言很多信號處理問題都需要估算正弦聲波的頻率、振幅和相位參數(shù)，特別是涉及講話或者音頻編碼、用于MIDI轉(zhuǎn)錄的PCM和實時精確歌曲分析的情況。振幅和相位的估算通常取決于頻率的估算，因此，本文僅關(guān)注頻率參數(shù)。講話或者唱歌的波譜通常由一些正弦聲波組成，這些正弦聲波大體上遵循諧波的形式。當(dāng)存在干擾信號時，包括噪聲或其他正弦聲波，單個正弦聲波的精確頻率估算通常使用離散信號的離散傅

3、里葉變換（DFT）和從DFT譜圖中提取信號來實施。由于DFT譜圖大部分在頻率上都是離散的，并且受到DFT自然頻率分辨率的限制（2/N，其中N是DFT的大?。?，因此正弦聲波頻率的精確估算涉及到使用一些DFT譜圖（或者是DFT譜圖的片段）樣本進(jìn)行插入計算。在過去的40年中，研究者們提出了很多DFT插入算法。測試環(huán)境的較大差異使得相對性能的評估變得非常困難。例如，在DFT之前，可能使用不同的窗函數(shù)對信號進(jìn)行了計算，這對DFT的頻率選擇性有很大的影響，并且會產(chǎn)生泄漏效應(yīng)。測試正弦聲波可能是復(fù)雜的正弦聲波（例如順向波）或者真實的正弦聲波。DFT插入的程序可能是迭代的，也可能不是迭代的。例如對于歌聲信號，

4、一個更加真實的測試場景必然涉及到一些干擾正弦聲波，因為這些信號具有諧波的特征。既然我們對歌聲的諧波結(jié)構(gòu)中單個正弦聲波的實時和精確分析很感興趣，這種歌聲中可能包含100個或者更多的正弦聲波，因此我們主要關(guān)注頻率估計算法為：避免出現(xiàn)迭代程序，并且計算簡單；避免計算數(shù)據(jù)向量長度更大的DFT；當(dāng)不僅存在噪聲，而存在干擾正弦聲波時，將對噪聲的估算精確度和穩(wěn)定性最大化。為了評價其性能，對于不同的估算錯誤我們采用了Cramr-Rao下限作為參考，此估算錯誤獲得時具有無偏的最大可能（ML）估計器。本文的結(jié)構(gòu)如下。在第二部分，我們敘述了存在的問題，確定了CRLB和測試的條件。在第三部分中，我們對測試中使用的不同

5、窗之間的關(guān)系進(jìn)行了定義和分類。在第四和第五部分中，我們給出了研究中估算得到并在矩形或漢寧窗中使用的參考非迭代頻率估計器。在第六部分中，我們給出了兩個新的反正切窗函數(shù)估計器，并在單個文章的進(jìn)行了敘述，這些估計器也包含在我們的對比研究中。第七部分討論了不同頻率估計器的相對性能，第八部分對本文進(jìn)行了總結(jié)。2存在的問題為了簡單但不失一般性，我們使用x代表任意頻率的正弦信號，此信號受到了高斯噪聲r(n)的破壞。通過公式=2/N（l+）得到了正弦聲波的頻率，其中l(wèi)和分別代表DFT元素大小中的整數(shù)部分（0lN/2）和小數(shù)（0.01.0，或者取決于插入規(guī)則-0.520），因此可以通過忽略泄漏并使用下列公式得到

6、頻率的估計值：Jain等認(rèn)為性能中的損失是由“諧波干涉”太小引起的。Quinn提出了一個頻率估計器，這個估計器使用了本地最大峰值（k=l）每一個上的DFT波譜線，以此來提升對噪聲的穩(wěn)定性。令L=，其中，以及，其中=，頻率估計可以通過下面的公式得到：其中，Quinn給出了單個真實正弦聲波小于CRLB的倍時這些估計器的漸進(jìn)方差。Macleod開發(fā)了一個三樣本頻率插入程序，這個程序涉及到DFT譜圖中的一個峰值樣本和兩個相鄰的樣本。為了提升其性能，有必要在頻率估計器中使用DFT相位和振幅的信息，并第一次計算了、和，從而得出：最后計算得到：據(jù)報道，相關(guān)的平均方差（在復(fù)雜的正弦聲波的情況下）是CRLB的1

7、.32倍左右。Jacobsen最近使用矩形窗提出了非常簡單、高效的DFT頻率估計器。在以前的兩種情況下，使用譜圖峰值中心的三個DFT樣本，并根據(jù)下面的公式可以得到頻率的估計值：研究者認(rèn)為這個簡單的估計值對于非常低的性噪比來說出人意料的精確，通過其有能力消除統(tǒng)計上偏差可以從在一定程度上解釋這種現(xiàn)象。5以漢寧窗為基礎(chǔ)的估計器我們選擇了五個非迭代、基于DFT的頻率估計器，并以報道的簡單化與性能以及少量初步仿真為基礎(chǔ)來假定漢寧窗。Grandke認(rèn)為由于“諧波干涉”引起的泄漏是一個具有矩形基礎(chǔ)頻率插入值的問題，并且認(rèn)為使用漢寧窗的頻率估計器（不存在較長的泄漏）為：在使用相同的條件時（使用20DFT 二進(jìn)

8、制將三個真實的正弦聲波分離），Grandke給出的DFT頻率估計器比Jain的結(jié)果要精確很多。對于諧波干涉，Grandke還預(yù)測比漢寧窗多很多的復(fù)雜窗可能會包圍現(xiàn)有的限制條件，因為這些聲調(diào)都被充分的隔開了。除了頻率估計器使用了前面一節(jié)中提到的矩形窗，Macleod還提出了一種使用漢寧窗的頻率估計器，這種估計器具有“充分的泄漏抵抗性”。通過計算第一、和，可以使用下面的公式估算得到頻率：當(dāng)考慮單個復(fù)雜正弦聲波的估算時，本估計器的平均方差大約是CRLB的2.13倍。一個非常簡單、流行并且經(jīng)常使用的DFT頻率估計就是拋物線插入。拋物線插入涉及到的拋物線要和對數(shù)刻度上分析窗頻率反應(yīng)振幅的主波瓣相匹配。由

9、于主波瓣的頂部存在一個凸出的形狀，X-Y平面上的模型可以由公式計算得到，其中未知參數(shù)分別為水平位移（x0）、垂直位移（y0）和凸面參數(shù)（m）。因此，需要三個方程才能計算。使用代表正弦聲波的未知振幅，而中只有是未知的。使用可以得到三個方程、 和，使用下面的式子計算出：拋物線插入需要所有可能的，以及適應(yīng)分析窗頻率反應(yīng)主波瓣內(nèi)部的三條DFT直線。因此，這表明如果對矩形或者正弦窗使用拋物線插入，那么拋物線插入是無效的。當(dāng)對漢寧窗使用拋物線插入時，最大的絕對估計誤差是二進(jìn)制寬度的1.6%，這是相對較差的情況，并且是由拋物線插入的窗不可知性導(dǎo)致的。可靠地估計需要兩個正弦聲波之間的頻率分離至少在4條DFT頻

10、率線（或者8/N）上。如果在頻率插入的初級階段使用補(bǔ)零操作，那么二次插入的性能可能會有所提升。與Quinn在第四部分中提出的頻率估計器類似，Quinn最近還提出了一種在漢寧窗中使用的新的估計器。定義，其中，以及，其中，頻率的估算方程為：其中由于主要來自特定的性噪比，因此報道的真實正弦聲波的性能結(jié)果沒有太大的意義。除了第四部分中Jacobsen提出的頻率插入程序外，研究者還在同一篇文章中提出了兩個使用漢寧窗的頻率插入法，包括：然而性能的結(jié)果卻是單個音調(diào)以及較小的性噪比范圍內(nèi)（-2dB至10dB）。6基于反正切窗函數(shù)的插入法在對比文章中，我們給出了兩個基于反正切窗函數(shù)的DFT頻率估計器，這兩個估計

11、器適用于矩形窗和正弦窗。第一個估計器使用了和，兩個最大的DFT譜線，因為兩條DFT線和矩形窗頻率回應(yīng)的主波瓣是匹配的：對于復(fù)雜的正弦聲波和不存在噪聲的情況是非常精確的。然而，對于真是的正弦聲波，此頻率插入的精確度取決于l和，并獨(dú)立于正弦聲波的振幅和相位。對l的依賴性可以通過較小的l進(jìn)行確定，在l為20或更小時，泄漏會非常明顯，并且會引入系統(tǒng)系估計誤差。第二個估計器使用了三個最大的DFT二進(jìn)制，因為這三個DFT二進(jìn)制和正弦窗頻率回應(yīng)的主波瓣是匹配的?？紤]下面的公式：其中，是本地最大值，這表明精確的頻率可以估算為；而當(dāng)精確的頻率被估算為時，。因此，的估算必須在0.0至0.5之間。在第一種情況下，當(dāng)

12、0.0時，其中為優(yōu)化的參數(shù)，可以通過使用公式得到改進(jìn)的估計精確值，進(jìn)而得到：當(dāng)，時，可以通過使用公式得到改進(jìn)的估計精確值，進(jìn)而得到：極小極大場景中優(yōu)化的估計誤差可以確定為r、G和F。在第二種情況下，可以在重新確定和之后獲得同樣的表達(dá)方式。由文獻(xiàn)18可知，與二進(jìn)制寬度相關(guān)的最大絕對估計誤差通常小于0.1%。7仿真本節(jié)中我們評價了基于矩形窗的頻率估計器的相對性能，此估計器在第四部分中有所描述，并且包含反正切窗函數(shù)估計器和第五部分中給出了基于漢寧窗的頻率估計器的相對性能，還包含結(jié)合公式（20）和（21）得到的反正切窗函數(shù)估計器。A基于矩形窗的插入的性能得到的基于DFT的頻率估計器的仿真分別記為Jai

13、n79、Quinn97、Macleod98、反正切窗函數(shù)和Jacobsen79，并且和公式（9）、（10）、（11）、（18）和（12）是相關(guān)的。圖1給出了使用二進(jìn)制寬度標(biāo)準(zhǔn)化之后每一個頻率估計器引起的誤差方差的平方根?？梢缘玫降慕Y(jié)論是可以確定三個區(qū)域，這三個區(qū)域中特定的估計器給出了獲得CRLB的優(yōu)勢：1）對于性噪比處于-10dB至0dB之間的區(qū)域，Jain70和反正切窗函數(shù)的估計器相對于其余估計器來說具有很小的優(yōu)勢；2）對于性噪比處于0dB至10dB之間的區(qū)域，Macleod98的估計器相性能出了邊緣相對優(yōu)勢；3）對于性噪比大于10dB的區(qū)域，Jacobsen07沒有競爭對手?？傊?，盡管在中

14、等（例如10dB附近）和較高的性噪比時，所有的頻率估計器都性能在RMSE附近或者比二進(jìn)制寬度的0.02%還要好，這對于研究的目的是可以接受的，由于在非常低的性噪比時性能很差，因此需要Quinn97應(yīng)該避免，而在較高的性噪比時具有很好的性能，因此最好選擇Jacobsen97估計器。結(jié)果表明Jacobsen97估計器不僅能夠消除“統(tǒng)計偏差”，而且能夠穩(wěn)定諧波干擾。最后的評論考慮了Jain79和反正切窗函數(shù)估計器之間非常類似的性能，以及相對于剩余基于矩形窗的估計器來說較差的整體性能。一種可信的解釋為這些估計器只是用了來自兩個DFT二進(jìn)制的振幅信息，而剩余的三個估計器使用了來自三個DFT二進(jìn)制的振幅信

15、息和相位信息。圖1 以性噪比為根據(jù)時五種基于矩形窗的頻率估計器的RMSE（占標(biāo)準(zhǔn)化二進(jìn)制寬度的%）。以CRLB為參考。圖2除了目標(biāo)聲波之外，當(dāng)干擾聲波為10二進(jìn)制左右時且以性噪比為根據(jù)時六種漢寧/正弦窗基頻率估計器的RMSE（占標(biāo)準(zhǔn)化二進(jìn)制寬度的%）。以CRLB為參考。B基于漢寧/正弦窗的插入的性能對于基于DFT的頻率插入獲得的仿真可以分別確定為Grandke83、Macleod98、Quadratic、Quinn06、反正切窗函數(shù)和Jacobsen79，并且和公式（13）、（14）、（15）、（16）、（20-21）和（17）是一致的。由每個頻率估計器導(dǎo)致的與標(biāo)準(zhǔn)化誤差方差有關(guān)的結(jié)果見圖2，

16、這些結(jié)果表明，對于性噪比為15dB或者更大時，Quadratic估計器的性能是第一個需要飽和的，其次是性噪比為30dB或者更大時Jacobsen07估計器的性能，然后是性噪比為40dB左右時反正切窗函數(shù)S估計器的性能。剩余三個估計器在與CRLB具有幾乎相同的距離時具有類似的趨勢。然而，非常有趣的是，與其余估計器相比，反正切窗函數(shù)S估計器性能出了邊緣優(yōu)勢，這是因為當(dāng)性噪比在0-30dB之間時，標(biāo)準(zhǔn)化的RMSE能夠達(dá)到更好的CRLB。為了更好的理解不同正弦聲波（可能是諧波正弦聲波）之間的貼近程度如何影響其性能的，使用5二進(jìn)制代替10二進(jìn)制將目標(biāo)正弦聲波周圍的兩個正弦聲波分開。最新測試環(huán)境的仿真見圖

17、3。圖3反映了由于干擾聲波對目標(biāo)聲波的貼近性而對RMSE性能的影響，具有很好的教育意義。實際上，所有頻率估計器的性能飽和都處在10dB 性噪比至30dB 性噪比 之間。然而，可以確定的是，當(dāng)性噪比處于0dB至20dB之間時，反正切窗函數(shù)S估計器與剩余的頻率估計器相比保持著邊緣優(yōu)勢，這是由于其RMSE能夠得到更好的CRLB導(dǎo)致的。這個事實可能與窗的選擇性有關(guān)。圖4代表經(jīng)過漢寧或正弦窗處理后結(jié)果信號的短時間傅里葉譜圖。可以看出，在這種情況下，不同的正弦聲波之間具有更好的分離。另一方面，正弦窗比漢寧窗具有更好的選擇性。圖3除了目標(biāo)聲波之外，當(dāng)干擾聲波為5二進(jìn)制左右時且以性噪比為根據(jù)時六種基于漢寧/正

18、弦窗的頻率估計器的RMSE（占標(biāo)準(zhǔn)化二進(jìn)制寬度的%）。以CRLB為參考。圖4 目標(biāo)聲波和除了目標(biāo)之外另兩種頻率為5.3二進(jìn)制的干擾聲波的短時間傅里葉譜圖（l+l=20.5），N=512總之，圖3表明，對于較寬的性噪比以及正弦聲波具有非常貼近的空間時，Grandke83、反正切窗函數(shù)S、Macleod98和Quinn06頻率估計器是可以接受的選擇。8結(jié)論本文中對比了幾種非迭代DFT頻率估計器的性能，這些估計器使用了矩形或漢寧窗，其中還包括兩個使用矩形和正弦窗的基于新型反正切窗函數(shù)的頻率估計器。由于存在噪聲或者感染聲波，因此在測試環(huán)境中將其考慮為最可能的具有自然聲調(diào)的場景，比如歌聲。結(jié)果表明在非常低的性噪比的環(huán)境下，基于矩形窗函數(shù)的插入比基于漢寧窗函數(shù)的插入要性能得更好。這正好與中等和較高的性噪比相反，其性能出的優(yōu)勢超過了振幅的順序。還可以總結(jié)出的是