實(shí)例舉證“類(lèi)比思想”在復(fù)習(xí)“分式”中的應(yīng)用

1、實(shí)例舉證“類(lèi)比思想”在復(fù)習(xí)“分式”中的應(yīng)用6中學(xué)數(shù)學(xué)研究2011年第7期實(shí)例舉證類(lèi)比思想在復(fù)習(xí)分式中的應(yīng)用廣東東莞市長(zhǎng)安鎮(zhèn)實(shí)驗(yàn)中學(xué)(523850)曾省類(lèi)比論證是一種通過(guò)已知事物與跟它有某種相同特征的事物進(jìn)行比較類(lèi)推證明論點(diǎn)的論證方法.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,不需要嚴(yán)格的論證的類(lèi)比思維方法也是解決新問(wèn)題的一種常用策略.類(lèi)比思維讓學(xué)生充分開(kāi)拓自己的思路,運(yùn)用已有熟悉的知識(shí),方法,經(jīng)驗(yàn)或技能對(duì)陌生的不熟悉的其他相類(lèi)似的事物進(jìn)行比較,從而獲得解決新問(wèn)題的方法與技能.在本文中,就學(xué)生在學(xué)習(xí)分式中經(jīng)常遇到的常規(guī)錯(cuò)誤借助類(lèi)比的方法對(duì)學(xué)生進(jìn)行教學(xué),較好啟發(fā)困難學(xué)生改正錯(cuò)誤,理解方法,或者對(duì)其他學(xué)生進(jìn)行較高層次的指導(dǎo),甚

2、至啟發(fā)教師在其他章節(jié)的教學(xué)中得到啟發(fā)均有幫助.1從形類(lèi)比.實(shí)現(xiàn)核心概念類(lèi)比思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中能促進(jìn)概念的學(xué)習(xí),讓學(xué)生透徹理解陌生的新概念的內(nèi)涵,甚至能讓學(xué)生對(duì)今后的學(xué)習(xí),生活產(chǎn)生影響.類(lèi)比法用于概念教學(xué)時(shí),比較適用于兩個(gè)平行或并列的概念,這樣會(huì)有較好的效果_2J.在類(lèi)比過(guò)程中學(xué)生完全可以通過(guò)自己的思維活動(dòng)實(shí)踐,主動(dòng)建構(gòu)對(duì)相應(yīng)并列概念的理解.分式的概念:一般地,如果A,B表示兩個(gè)整式,并且AB中含有字母,那么式子就叫做分式.掌握分式的DA概念首先要從式子的形出發(fā),是否有的形式,D這一點(diǎn)從分?jǐn)?shù)的類(lèi)比中顯得很方便,分?jǐn)?shù)是同學(xué)們?cè)谛W(xué)就非常熟悉的數(shù)的表達(dá)形式.分?jǐn)?shù):nb=,其中口,b都是數(shù),規(guī)定分母bf

3、J不能為0.A分式:A=,其中A,B都是整式,規(guī)定分母/3,日含有字母且不能為0.因?yàn)榉质降姆帜窧一定含有字母,字母可以表示不同的數(shù),所以說(shuō)分式比分?jǐn)?shù)更具有一般性,學(xué)生在應(yīng)用分式定義進(jìn)行解題時(shí),常會(huì)出現(xiàn)如下問(wèn)題,如無(wú)論取什么數(shù)時(shí),總是有意義的分式是()A.1B.+2+lc.D.+1學(xué)生錯(cuò)選B,沒(méi)有真正理解分式中分母不等于0才有意義,這與分?jǐn)?shù)中,3等沒(méi)有意義一樣.例1,先化簡(jiǎn)(|_一口+1),再?gòu)?,一a+l0一l1和中選出一個(gè)你認(rèn)為合適的數(shù)作為.的值代入求值.學(xué)生錯(cuò)解為:解:原式:(一):.(2i=20+109n2一n一1當(dāng)口:一1時(shí),一n一二i二)二一一1=2,即當(dāng)0=一1時(shí),原分?jǐn)?shù)的值為2

4、.分式中的分?jǐn)?shù)線和分?jǐn)?shù)的一樣有括號(hào)作用,在分式教學(xué)中更要強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn),此題雖然是化簡(jiǎn)求值問(wèn)題,但學(xué)生的錯(cuò)誤說(shuō)明對(duì)分式的概念理解不清所致,或準(zhǔn)確的說(shuō)沒(méi)有理解分?jǐn)?shù)線的括號(hào)作用,這里教師不妨先做如下的鋪墊.分?jǐn)?shù)中:.A.k+14,B.(k+1)4.過(guò)渡到分式中:.表示的意思是斗一(k+1)(4一k).所以正確的是1a=a一()=a一一0+=一(0一1)一+l+l+l(a一1)(a+1)a+l2而不是一.0十l再如,當(dāng)一一.一時(shí),分式的值為0.一12011年第7期中學(xué)數(shù)學(xué)研究7A.1B.一1C.1D.不存在.粗心的同學(xué)會(huì)選擇為答案,教師在評(píng)講糾錯(cuò)時(shí)不妨再次拿出分?jǐn)?shù)來(lái)進(jìn)行類(lèi)比,如罟,2都沒(méi)有意義.初中數(shù)學(xué)

5、教師應(yīng)想方設(shè)法把數(shù)學(xué)概念教好,這是提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的治本方針.學(xué)生正確,清晰,完整地掌握數(shù)學(xué)概念,是掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ).在教數(shù)學(xué)概念時(shí),充分利用類(lèi)比思想進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué),可以使學(xué)生數(shù)學(xué)概念清晰.2從算類(lèi)比.掌握分式基本性質(zhì).類(lèi)比是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象有一部分性質(zhì)類(lèi)似,推出與這兩個(gè)對(duì)象的其他性質(zhì)相類(lèi)似的一種推理方法.因此,類(lèi)比是從特殊到特殊的推理.通過(guò)類(lèi)比,可以發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)的相同點(diǎn),利用已有的舊知識(shí),來(lái)認(rèn)識(shí)新知識(shí).在學(xué)習(xí)分式的基本性質(zhì)時(shí),教科書(shū)也是由分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)談起的(P4).一般地,對(duì)于任何一個(gè)分?jǐn)?shù)孚,有旦:,詈=(c0).b6?c66C,.其中,0,b,c都是數(shù).分式的基本性質(zhì)表示為B=BC

6、,B=B-(co)?C.分式與分?jǐn)?shù)的性質(zhì)在形似到神似.當(dāng)較直觀的一個(gè)數(shù)到含有較抽象的字母的整式時(shí),利用類(lèi)比思想就可以較容易的讓學(xué)生領(lǐng)悟其中的規(guī)律.如,約分的錯(cuò)誤例2,化簡(jiǎn):.冬+1236一一63+一.(魚(yú))(二魚(yú))一一63+一(魚(yú)!一2相信學(xué)生是這樣約分了:.(魚(yú)2【二魚(yú)2一(魚(yú)2一6戈3+一2所以發(fā)生了錯(cuò)誤.這類(lèi)似于L:一2之類(lèi)的錯(cuò)誤,這時(shí)可以通過(guò)舉證分?jǐn)?shù)譬=的錯(cuò)誤而讓學(xué)生吸取教訓(xùn).又如,通分的困惑:較多數(shù)學(xué)生無(wú)法完成下面式子的通分:Y+且:1十L.+Y+Y當(dāng)我們?cè)俅伟岢龇謹(jǐn)?shù)的加減,如1+=+=時(shí),學(xué)生自然對(duì)上面問(wèn)題找到了解決方法.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,對(duì)同類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行縱橫比較分析會(huì)加深對(duì)問(wèn)題的理解和

7、認(rèn)知,所以經(jīng)常借助類(lèi)比利用教材或?qū)W生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的規(guī)律去探求新的知識(shí).3從法類(lèi)比,滲透探索較高層次的解題思路.類(lèi)比思想在教學(xué)知識(shí)延伸和拓廣過(guò)程中常借助于比較,聯(lián)想,用于啟發(fā)引導(dǎo)以尋求思維的變異和發(fā)散.在歸納知識(shí)系統(tǒng)時(shí),又可用來(lái)串聯(lián)不同層次的類(lèi)似內(nèi)容,以幫助理解記憶.在解決問(wèn)題時(shí),無(wú)論是對(duì)于命題本身或解題思路方法,都是產(chǎn)生猜測(cè),獲得命題的推廣和引申的原動(dòng)力.因此類(lèi)比方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法,也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的有效方法.其思維作用包含整理性和探索發(fā)現(xiàn)性?xún)蓚€(gè)方面.在分式一章的教學(xué)運(yùn)用與小學(xué)階段分?jǐn)?shù)一章內(nèi)容進(jìn)行類(lèi)比還可以促進(jìn)學(xué)生思維向更高層次遷移,并籍此使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)利用類(lèi)比推理去探索新知識(shí),解決新問(wèn)題

8、,培養(yǎng)學(xué)生向更高層次發(fā)展.例3觀察下面的變形規(guī)律:1.111111一=I一一=!一=一一12223233431-.解答下面的問(wèn)題:(1)若為正整數(shù),請(qǐng)你猜想布(2)證明你的猜想結(jié)論;(3)求和:麗1+一?+1200920108中學(xué)數(shù)學(xué)研究2011年第7期學(xué)生的解答為:(1)若n為正整數(shù),請(qǐng)你猜想=;(2)解:?南1一1.一一Ln(/7,+1)一凡+1去分母后為=n+1一/7,=1(分式的加減居然可以去分母了)(3)解:原式=?一=一=.甚至大部分的學(xué)生都直接奔向解決(3)題去了,(1),(2)卻無(wú)從下手,原因是他們?cè)谛W(xué)的分?jǐn)?shù)加減法則沒(méi)有搞清楚,老師在講評(píng)得出正確的答案后,可以延伸與此相似的問(wèn)

9、題,+一-+11】11111T一+一+一+一十一=?一=應(yīng)用題的教學(xué)往往較困難,在誘發(fā)學(xué)生尋求解分式應(yīng)用題思路的變遷時(shí),仍然可以類(lèi)比小數(shù)的應(yīng)用題解法,如例4某公司計(jì)劃將研發(fā)生產(chǎn)1200件新產(chǎn)品進(jìn)行精加工后再投放市場(chǎng),現(xiàn)有甲,乙兩個(gè)工廠可以加工,如甲每天可生產(chǎn)40件,乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的1.5倍,則甲單獨(dú)完成這批產(chǎn)品比乙單獨(dú)完成這批產(chǎn)品要多用幾天?解:設(shè)甲單獨(dú)完成這批產(chǎn)品比乙單獨(dú)完成這批產(chǎn)品要多用天,則1200:+解得:lo15404O.或直接用數(shù)學(xué)方法1200一:1040401.5有了上面引例作為思考基礎(chǔ),下面分式方程應(yīng)用題(下面可見(jiàn)學(xué)生解決該題有困難),就比較容易了.例

10、5為了提高產(chǎn)品的附加值,某公司計(jì)劃研發(fā)的1200件新產(chǎn)品進(jìn)行精加工后再投放市場(chǎng),現(xiàn)有甲,乙兩個(gè)工廠都具備了加工能力,公司派出相關(guān)人員分別到這兩間工廠了解情況,獲得如下信息:信息一:甲工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)完成這批產(chǎn)品多用10天;信息二:乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的1.5倍.根據(jù)以上信息,求甲,乙兩個(gè)工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品?學(xué)生錯(cuò)解:設(shè)乙單獨(dú)要天,甲要+10天,則絲一!二戈一+10正確的解應(yīng)該為:設(shè)甲每天加工件,乙工廠每天加工1.5x件,則1200:1200一+10,1.3解得:=40,經(jīng)檢驗(yàn)可知=40是方程的解,從而1.5x=60答:甲,乙兩個(gè)工廠每天分別能加工40件和60件.類(lèi)比思維不但可使學(xué)生溫故知新,使新內(nèi)容的引出先得自然合理,而且可以幫助學(xué)生更好的理解記憶和運(yùn)用它們.一般的類(lèi)比運(yùn)用步驟可簡(jiǎn)單概括如下:1.提出一個(gè)與要求解決問(wèn)題相類(lèi)似的,較簡(jiǎn)單的,容易解決的問(wèn)題.2.對(duì)這個(gè)問(wèn)題的解法進(jìn)行分析,并重新整理改造以便用它來(lái)作為模型.3.利用這個(gè)問(wèn)題所提供的模型再來(lái)解決原來(lái)那個(gè)較難的問(wèn)題.通過(guò)以上類(lèi)比教學(xué),較難的分式應(yīng)用題就可以利用學(xué)生原有的小學(xué)知識(shí)輕松地獲解.隨著新課改的深入,全面考察學(xué)生的類(lèi)比思維能力,這類(lèi)需要用到類(lèi)比思想的題目已頻繁出現(xiàn)在各省的中考