實例舉證“類比思想”在復(fù)習(xí)“分式”中的應(yīng)用

1、實例舉證“類比思想”在復(fù)習(xí)“分式”中的應(yīng)用6中學(xué)數(shù)學(xué)研究2011年第7期實例舉證類比思想在復(fù)習(xí)分式中的應(yīng)用廣東東莞市長安鎮(zhèn)實驗中學(xué)(523850)曾省類比論證是一種通過已知事物與跟它有某種相同特征的事物進行比較類推證明論點的論證方法.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,不需要嚴(yán)格的論證的類比思維方法也是解決新問題的一種常用策略.類比思維讓學(xué)生充分開拓自己的思路,運用已有熟悉的知識,方法,經(jīng)驗或技能對陌生的不熟悉的其他相類似的事物進行比較,從而獲得解決新問題的方法與技能.在本文中,就學(xué)生在學(xué)習(xí)分式中經(jīng)常遇到的常規(guī)錯誤借助類比的方法對學(xué)生進行教學(xué),較好啟發(fā)困難學(xué)生改正錯誤,理解方法,或者對其他學(xué)生進行較高層次的指導(dǎo),甚

2、至啟發(fā)教師在其他章節(jié)的教學(xué)中得到啟發(fā)均有幫助.1從形類比.實現(xiàn)核心概念類比思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中能促進概念的學(xué)習(xí),讓學(xué)生透徹理解陌生的新概念的內(nèi)涵,甚至能讓學(xué)生對今后的學(xué)習(xí),生活產(chǎn)生影響.類比法用于概念教學(xué)時,比較適用于兩個平行或并列的概念,這樣會有較好的效果_2J.在類比過程中學(xué)生完全可以通過自己的思維活動實踐,主動建構(gòu)對相應(yīng)并列概念的理解.分式的概念:一般地,如果A,B表示兩個整式,并且AB中含有字母,那么式子就叫做分式.掌握分式的DA概念首先要從式子的形出發(fā),是否有的形式,D這一點從分?jǐn)?shù)的類比中顯得很方便,分?jǐn)?shù)是同學(xué)們在小學(xué)就非常熟悉的數(shù)的表達形式.分?jǐn)?shù):nb=,其中口,b都是數(shù),規(guī)定分母bf

3、J不能為0.A分式:A=,其中A,B都是整式,規(guī)定分母/3,日含有字母且不能為0.因為分式的分母B一定含有字母,字母可以表示不同的數(shù),所以說分式比分?jǐn)?shù)更具有一般性,學(xué)生在應(yīng)用分式定義進行解題時,常會出現(xiàn)如下問題,如無論取什么數(shù)時,總是有意義的分式是()A.1B.+2+lc.D.+1學(xué)生錯選B,沒有真正理解分式中分母不等于0才有意義,這與分?jǐn)?shù)中,3等沒有意義一樣.例1,先化簡(|_一口+1),再從1,一a+l0一l1和中選出一個你認(rèn)為合適的數(shù)作為.的值代入求值.學(xué)生錯解為:解:原式:(一):.(2i=20+109n2一n一1當(dāng)口:一1時,一n一二i二)二一一1=2,即當(dāng)0=一1時,原分?jǐn)?shù)的值為2

4、.分式中的分?jǐn)?shù)線和分?jǐn)?shù)的一樣有括號作用,在分式教學(xué)中更要強調(diào)這一點,此題雖然是化簡求值問題,但學(xué)生的錯誤說明對分式的概念理解不清所致,或準(zhǔn)確的說沒有理解分?jǐn)?shù)線的括號作用,這里教師不妨先做如下的鋪墊.分?jǐn)?shù)中:.A.k+14,B.(k+1)4.過渡到分式中:.表示的意思是斗一(k+1)(4一k).所以正確的是1a=a一()=a一一0+=一(0一1)一+l+l+l(a一1)(a+1)a+l2而不是一.0十l再如,當(dāng)一一.一時,分式的值為0.一12011年第7期中學(xué)數(shù)學(xué)研究7A.1B.一1C.1D.不存在.粗心的同學(xué)會選擇為答案,教師在評講糾錯時不妨再次拿出分?jǐn)?shù)來進行類比,如罟,2都沒有意義.初中數(shù)學(xué)

5、教師應(yīng)想方設(shè)法把數(shù)學(xué)概念教好,這是提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的治本方針.學(xué)生正確,清晰,完整地掌握數(shù)學(xué)概念,是掌握數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ).在教數(shù)學(xué)概念時,充分利用類比思想進行數(shù)學(xué)概念的教學(xué),可以使學(xué)生數(shù)學(xué)概念清晰.2從算類比.掌握分式基本性質(zhì).類比是根據(jù)兩個對象有一部分性質(zhì)類似,推出與這兩個對象的其他性質(zhì)相類似的一種推理方法.因此,類比是從特殊到特殊的推理.通過類比,可以發(fā)現(xiàn)新舊知識的相同點,利用已有的舊知識,來認(rèn)識新知識.在學(xué)習(xí)分式的基本性質(zhì)時,教科書也是由分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)談起的(P4).一般地,對于任何一個分?jǐn)?shù)孚,有旦:,詈=(c0).b6?c66C,.其中,0,b,c都是數(shù).分式的基本性質(zhì)表示為B=BC

6、,B=B-(co)?C.分式與分?jǐn)?shù)的性質(zhì)在形似到神似.當(dāng)較直觀的一個數(shù)到含有較抽象的字母的整式時,利用類比思想就可以較容易的讓學(xué)生領(lǐng)悟其中的規(guī)律.如,約分的錯誤例2,化簡:.冬+1236一一63+一.(魚)(二魚)一一63+一(魚!一2相信學(xué)生是這樣約分了:.(魚2【二魚2一(魚2一6戈3+一2所以發(fā)生了錯誤.這類似于L:一2之類的錯誤,這時可以通過舉證分?jǐn)?shù)譬=的錯誤而讓學(xué)生吸取教訓(xùn).又如,通分的困惑:較多數(shù)學(xué)生無法完成下面式子的通分:Y+且:1十L.+Y+Y當(dāng)我們再次搬出分?jǐn)?shù)的加減,如1+=+=時,學(xué)生自然對上面問題找到了解決方法.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,對同類問題進行縱橫比較分析會加深對問題的理解和

7、認(rèn)知,所以經(jīng)常借助類比利用教材或?qū)W生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的規(guī)律去探求新的知識.3從法類比,滲透探索較高層次的解題思路.類比思想在教學(xué)知識延伸和拓廣過程中常借助于比較,聯(lián)想,用于啟發(fā)引導(dǎo)以尋求思維的變異和發(fā)散.在歸納知識系統(tǒng)時,又可用來串聯(lián)不同層次的類似內(nèi)容,以幫助理解記憶.在解決問題時,無論是對于命題本身或解題思路方法,都是產(chǎn)生猜測,獲得命題的推廣和引申的原動力.因此類比方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法,也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的有效方法.其思維作用包含整理性和探索發(fā)現(xiàn)性兩個方面.在分式一章的教學(xué)運用與小學(xué)階段分?jǐn)?shù)一章內(nèi)容進行類比還可以促進學(xué)生思維向更高層次遷移,并籍此使學(xué)生逐步學(xué)會利用類比推理去探索新知識,解決新問題

8、,培養(yǎng)學(xué)生向更高層次發(fā)展.例3觀察下面的變形規(guī)律:1.111111一=I一一=!一=一一12223233431-.解答下面的問題:(1)若為正整數(shù),請你猜想布(2)證明你的猜想結(jié)論;(3)求和:麗1+一?+1200920108中學(xué)數(shù)學(xué)研究2011年第7期學(xué)生的解答為:(1)若n為正整數(shù),請你猜想=;(2)解:?南1一1.一一Ln(/7,+1)一凡+1去分母后為=n+1一/7,=1(分式的加減居然可以去分母了)(3)解:原式=?一=一=.甚至大部分的學(xué)生都直接奔向解決(3)題去了,(1),(2)卻無從下手,原因是他們在小學(xué)的分?jǐn)?shù)加減法則沒有搞清楚,老師在講評得出正確的答案后,可以延伸與此相似的問

9、題,+一-+11】11111T一+一+一+一十一=?一=應(yīng)用題的教學(xué)往往較困難,在誘發(fā)學(xué)生尋求解分式應(yīng)用題思路的變遷時,仍然可以類比小數(shù)的應(yīng)用題解法,如例4某公司計劃將研發(fā)生產(chǎn)1200件新產(chǎn)品進行精加工后再投放市場,現(xiàn)有甲,乙兩個工廠可以加工,如甲每天可生產(chǎn)40件,乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的1.5倍,則甲單獨完成這批產(chǎn)品比乙單獨完成這批產(chǎn)品要多用幾天?解:設(shè)甲單獨完成這批產(chǎn)品比乙單獨完成這批產(chǎn)品要多用天,則1200:+解得:lo15404O.或直接用數(shù)學(xué)方法1200一:1040401.5有了上面引例作為思考基礎(chǔ),下面分式方程應(yīng)用題(下面可見學(xué)生解決該題有困難),就比較容易了.例

10、5為了提高產(chǎn)品的附加值,某公司計劃研發(fā)的1200件新產(chǎn)品進行精加工后再投放市場,現(xiàn)有甲,乙兩個工廠都具備了加工能力,公司派出相關(guān)人員分別到這兩間工廠了解情況,獲得如下信息:信息一:甲工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨完成這批產(chǎn)品多用10天;信息二:乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的1.5倍.根據(jù)以上信息,求甲,乙兩個工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品?學(xué)生錯解:設(shè)乙單獨要天,甲要+10天,則絲一!二戈一+10正確的解應(yīng)該為:設(shè)甲每天加工件,乙工廠每天加工1.5x件,則1200:1200一+10,1.3解得:=40,經(jīng)檢驗可知=40是方程的解,從而1.5x=60答:甲,乙兩個工廠每天分別能加工40件和60件.類比思維不但可使學(xué)生溫故知新,使新內(nèi)容的引出先得自然合理,而且可以幫助學(xué)生更好的理解記憶和運用它們.一般的類比運用步驟可簡單概括如下:1.提出一個與要求解決問題相類似的,較簡單的,容易解決的問題.2.對這個問題的解法進行分析,并重新整理改造以便用它來作為模型.3.利用這個問題所提供的模型再來解決原來那個較難的問題.通過以上類比教學(xué),較難的分式應(yīng)用題就可以利用學(xué)生原有的小學(xué)知識輕松地獲解.隨著新課改的深入,全面考察學(xué)生的類比思維能力,這類需要用到類比思想的題目已頻繁出現(xiàn)在各省的中考