懷爾德數(shù)學(xué)概念進化論思想及其價值

1、懷爾德數(shù)學(xué)概念進化論思想及其價值關(guān)鍵詞：懷爾德; 數(shù)學(xué)史; 數(shù)學(xué)進化論;Abstract：Wilder is a famous American mathematician who contributed a great deal in the field of topology research.Affected by his interest and study in anthropology,he tried to apply the method of cultural anthropology research to the history of mathematics when h

2、e started the philosophical thinking on mathematical basis problem.He looked mathematics as a sub-cultural system in the whole human cultural system and described the mathematical development from the beginning to modern times as a natural process of culture evolution.He revealed the driving forces

3、and laws of mathematics evolution and his thoughts on mathematics evolution were reviewed by many famous mathematicians,philosophers,historians and anthropologists.It would be very inspiring to study the Wilder s theory for our research on the history of mathematics.Keyword：Wilder; history of mathem

4、atics; mathematical evolution;雷蒙德·路易斯·懷爾德(Raymond Louis Wilder)是美國著名拓撲學(xué)家,曾任美國國家科學(xué)院院士、美國數(shù)學(xué)會主席和美國數(shù)學(xué)協(xié)會主席.1950年,在第11屆世界數(shù)學(xué)家大會上,懷爾德的報告題為數(shù)學(xué)的文化基礎(chǔ);1,希望大家能從文化的視角來理解數(shù)學(xué)這門學(xué)科.直至1982年他去世前,一直用文化人類學(xué)的思想闡述數(shù)學(xué)的進化史,本文將簡要敘述他的數(shù)學(xué)概念進化論思想,以及相關(guān)學(xué)者對其思想的評述.1、 數(shù)學(xué)概念的進化1952年12月29日美國數(shù)學(xué)會在密蘇里州圣路易斯舉辦大會,懷爾德卸任專題委員會副主席時做了演講,他

5、認為對于數(shù)學(xué)家們來說,最重要的是維持一套標準和傳統(tǒng),以保持數(shù)學(xué)的延續(xù)與增長.他的動機是探討數(shù)學(xué)概念的起源方式,并研究那些促進數(shù)學(xué)概念形成和影響其進化的因素.他以數(shù)與幾何、解析幾何、微積分、曲線等概念為案例,討論了數(shù)學(xué)概念的進化歷程、影響因素和生命周期,尤其還為曲線到拓撲學(xué)的進化歷程畫了一個清晰的思維導(dǎo)圖.他堅信數(shù)學(xué)發(fā)展的進化特征,與任何進化過程一樣,數(shù)學(xué)概念進化過程中的環(huán)境影響、遺傳壓力不容忽視2.1968年,懷爾德出版數(shù)學(xué)概念的進化: 一個初步的研究一書,系統(tǒng)介紹了文化的概念,數(shù)學(xué)作為一種文化的思想,詳細的討論了數(shù)的進化、幾何的進化、數(shù)學(xué)進化的動力、數(shù)學(xué)進化的規(guī)律與過程3.他曾無數(shù)次聲稱自己

6、是個直覺主義者;4,因此對于數(shù)概念的進化,他認為直覺主義將全部數(shù)學(xué)都應(yīng)該建立在自然數(shù)計數(shù)數(shù)字1、2、3…的基礎(chǔ)上,從進化的觀點來看,這種觀點是有道理的.懷爾德給出了數(shù);概念進化的歷史階段序列,包含如下12個階段: 區(qū)別1和2→1、2到多→對象集合的比較(一一對應(yīng)關(guān)系)→計數(shù)→數(shù)字詞→表意文字→神秘主義→數(shù)字系統(tǒng)→數(shù)字運算→理想主義→新數(shù)字類型(復(fù)數(shù)、實數(shù)、超限數(shù)等)→邏輯定義與分析.懷爾德后來在美國數(shù)學(xué)協(xié)會的一次會議演講中調(diào)整了這個歷史序列,改變了神秘主義和數(shù)字系統(tǒng)的先后

7、順序,并把后三個階段分別調(diào)整為分數(shù)、零和負數(shù)、復(fù)數(shù)等等5.對于幾何的進化,懷爾德認為幾何和幾何思想模式在整個數(shù)學(xué)中的傳播,對數(shù)學(xué)進化產(chǎn)生了重要的影響,很難想象沒有幾何學(xué)的數(shù)學(xué)會是什么樣,它在符號、概念和心理意義上都對數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了貢獻.數(shù)學(xué)依賴于數(shù);和幾何;概念的進化,而且這種進化本質(zhì)上是壓力的產(chǎn)物.懷爾德認為在過去的兩個世紀里,所謂純粹數(shù)學(xué);的發(fā)展趨勢以及現(xiàn)實情況,只不過是一種自然的文化進化6.懷爾德還對拓撲學(xué)中連通;概念的進化進行了深入研究,并試圖澄清連通概念的歸屬權(quán).他認為連通概念的直覺意義非常明顯,來源于關(guān)于物理上時間、空間與物質(zhì)的討論7.2、 數(shù)學(xué)進化的動力與規(guī)律懷爾德在數(shù)學(xué)概念的

8、進化一書中提出了數(shù)學(xué)進化的11個主要動力,包括: (1)環(huán)境(物質(zhì)的、文化的)壓力; (2)遺傳壓力(包括能力、意義、挑戰(zhàn)、地位、概念壓力、悖論); (3)符號化; (4)傳播; (5)抽象; (6)概括; (7)整合; (8)多樣化; (9)文化滯后; (10)文化抵制; (11)選擇.懷爾德對這11個動力因素做了注釋和評論.他也指出,雖然對數(shù)學(xué)進化動力的討論是從歷史觀點出發(fā)的,但并不意味著把所列各種動力看作是構(gòu)成一個歷史序列的,各種動力通常是同時起作用的.他后來又增加了一個專業(yè)化;5,但在文中并未解釋,直到最后在他的著作數(shù)學(xué)作為一種文化體系書中討論整合;時,指出專業(yè)化必然導(dǎo)致整合;8.懷爾

9、德進一步討論這些動力是如何展現(xiàn)出來以及它們的完整性,并給出了數(shù)學(xué)進化的如下10個規(guī)律3.規(guī)律(1): 在任何給定的時間段,與現(xiàn)有數(shù)學(xué)文化高度相關(guān)、以增強滿足自身遺傳壓力或主體文化環(huán)境壓力要求之實效性的概念將會得到進化.規(guī)律(2): 一個概念的可接受性和接受程度將取決于其成果的豐富程度,特別是,一個概念不會因為它的起源或者諸如不真實的;這類形而上學(xué)標準而永遠被拒絕接受.規(guī)律(3): 一個概念在數(shù)學(xué)上持續(xù)具有重要意義的程度,既取決于它的符號表達模式,也取決于它與其他概念的關(guān)系.如果一種符號模式趨向于晦澀難懂、甚至導(dǎo)致這個概念完全被拒絕,假設(shè)這個概念有用,那么將會出現(xiàn)一種更容易理解的符號形式.如果一

10、組概念是如此的相關(guān),以至于可將它們?nèi)空铣梢粋€更一般的概念,那么整合后的概念將會得到進化.規(guī)律(4): 如果某個確定問題的解決將推動數(shù)學(xué)理論的進步,那么該理論的概念結(jié)構(gòu)將會以使該問題得到最終解決的方式進化,有可能是在若干研究者彼此獨立情況下解決的(但不一定會發(fā)表).(不可解的證明也被認為是問題的解決之道,這方面的例子如化圓為方、三等分角以及類似的).規(guī)律(5): 傳播的機會將直接影響新概念的進化速度.這些機會比如可被普遍接受的符號,出版物渠道的增加,以及其他的交流意義.規(guī)律(6): 主體文化的需求,特別是伴隨著工具增加給數(shù)學(xué)子文化提供養(yǎng)分時,將導(dǎo)致新概念手段的進化以滿足需求.規(guī)律(7): 僵

11、化的文化環(huán)境最終會扼殺新數(shù)學(xué)概念的發(fā)展,不利的政治氛圍或普遍的反科學(xué)氛圍也會產(chǎn)生類似的后果.規(guī)律(8): 當前概念結(jié)構(gòu)暴露的不一致性或不完備性可能產(chǎn)生的危機,將刺激新概念的加速進化.規(guī)律(9): 新概念通常依賴于當時僅憑直覺感知的概念,但這些概念的不完備性終將導(dǎo)致新的危機.同樣,一個懸而未決問題的解決也會產(chǎn)生新的問題.規(guī)律(10): 數(shù)學(xué)進化永遠是一個持續(xù)進步的過程,它只受到規(guī)律(5)至(7)所描述的偶然事件所限制.當然,他也指出這些建議的規(guī)律似乎值得深入研究,以便為其辯護或駁斥.對上述規(guī)律,懷爾德評論指出3,所謂主體文化;是指把數(shù)學(xué)作為子文化的文化.它不是唯一可定義的.從歷史上講,它在某時候

12、是由國界決定的,就像中國古代數(shù)學(xué)一樣.在現(xiàn)代,除非有政治力量介入,否則主體文化通常會超越國界.在第(6)條規(guī)律中,考慮美國自二戰(zhàn)開始以來數(shù)學(xué)發(fā)展狀況是很有啟發(fā)性的.主體文化的經(jīng)濟和政治需求刺激了計算機的發(fā)展,并最終在理論和應(yīng)用數(shù)學(xué)中翻開了嶄新的一頁.第(1)條規(guī)律不證自明,新概念總是以某種方式與現(xiàn)有數(shù)學(xué)概念相關(guān),它們的發(fā)明是由解決現(xiàn)有數(shù)學(xué)文化(遺傳壓力)或主體文化(環(huán)境壓力)提出的緊迫問題需要所推動的.一個人可能擁有令人欽佩的創(chuàng)造現(xiàn)代代數(shù)概念的心智結(jié)構(gòu),但他碰巧是個古希臘公民,那他肯定永遠也創(chuàng)造不出現(xiàn)代代數(shù)概念.一個支持第(2)條規(guī)律的很好例子是數(shù)學(xué)中最終被迫接受負數(shù)和虛數(shù).第(3)條規(guī)律的例

13、證是實數(shù)位值表示系統(tǒng)的進化.巴比倫密碼符號被其他更簡單的符號所取代,但是巴比倫擴展到分數(shù)的位值系統(tǒng)幸存下來,形成數(shù)字系統(tǒng)的起源.描述規(guī)律(4)最著名的例子是歐幾里得平行公理這一經(jīng)典問題.該解決方案通常被認為是高斯、羅巴切夫斯基和鮑耶在19世紀前三分之一時期獨立工作的結(jié)果.懷爾德認為似乎沒必要詳細闡述中國古代數(shù)學(xué)的第(5)和第(7)條規(guī)律.中國古代數(shù)學(xué)就像它的主體文化本身一樣,變得僵化了.同樣的例子是希臘人數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的下降與那個時代普遍文化衰退同時發(fā)生.關(guān)于第(8)條規(guī)律可以首先指出希臘數(shù)學(xué)的危機,這種危機是由于發(fā)現(xiàn)無理量和芝諾悖論而造成的,接下來是希臘幾何學(xué)發(fā)展的創(chuàng)作期.關(guān)于數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的危機

14、最終導(dǎo)致了實數(shù)系的概念,也很好地描述了第(9)條進化規(guī)律,因為它將集合概念引入數(shù)學(xué),而這又在20世紀初引發(fā)一場新的危機.而不加控制地使用集合這個概念會產(chǎn)生矛盾,因此必須對其進行分析.只有對數(shù)學(xué)史進行更全面的論述,才能充分支持第(10)條規(guī)律的主張.毫無疑問,創(chuàng)造性的職業(yè)數(shù)學(xué)家們通常會根據(jù)自己的經(jīng)驗來達成共識,事實上,在實質(zhì)上是規(guī)律(8)和(9)的必然結(jié)果.3、 相關(guān)的歷史評述懷爾德數(shù)學(xué)概念的進化一書出版后,得到了眾多數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史家、科學(xué)史家、人類學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家的積極評論,其中贊賞和批評的意見都有.例如,曾做過美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會主席的明尼蘇達大學(xué)數(shù)學(xué)教授約翰遜,給懷爾德這本書寫了書評,詳細介紹

15、了全書的主要內(nèi)容,他認為這是一本值得學(xué)者用來引用和作為參考文獻的參考書,這本書最成功之處是把數(shù)學(xué)作為一個動態(tài)的知識領(lǐng)域,以應(yīng)對社會發(fā)展的需要.該書最重要的用途是作為培養(yǎng)中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)文化課程;教科書使用9.英國格林威治皇家海軍學(xué)院數(shù)學(xué)教授布羅德本特指出懷爾德書的一大優(yōu)點是,沒有為人們提供一系列圓滑、膚淺的答案.相反,它陳述事實、提出問題,并提出了可能的解釋.作者主要研究了數(shù)和幾何概念的進化,他的方法既是數(shù)學(xué)家的,也是人類學(xué)家的.該書是對文明史的重要貢獻,極大加強了聯(lián)合國教科文組織在人類史;百科全書中對數(shù)學(xué);詞條的不慷慨處理.正如美國宇航員阿姆斯特朗在前往月球路上寫的評論:無論這是我們文明

16、的勝利還是災(zāi)難,它肯定取決于數(shù)學(xué)技能,對當代世界的任何認真研究都不能忽視數(shù)學(xué)在其中的重要意義,盡管這種重要性經(jīng)常被低估.懷爾德教授謙虛地把他的書稱為一個初步的研究;,事實也是如此.但人們還是希望這是朝著更深入、更全面研究所邁出的第一步,并拓展討論20世紀下半葉數(shù)學(xué)在文化中的地位10.美國著名數(shù)學(xué)史家博耶直接給這本書定義為數(shù)學(xué)人類學(xué);,博耶指出,心理學(xué)研究表明,數(shù)學(xué)能力是非常微妙和難以捉摸的,這在阿達瑪名著數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)明心理學(xué);已經(jīng)指出.懷爾德的工作是對阿達瑪這方面問題的一個補充,不妨稱之為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)明人類學(xué);,因為該書主要關(guān)注了數(shù)學(xué)作為文化有機體的進化過程;,盡管作者的主要成就是數(shù)學(xué)研究,但

17、該書更多的采用人類學(xué)家觀點勝過秉承數(shù)學(xué)家的觀點.博耶認為懷爾德盡管用整整一章來討論實數(shù),但卻幾乎沒有涉及負數(shù)和虛數(shù)文化基礎(chǔ)問題的討論.幾何概念的進化也比數(shù)概念進化所用的筆墨少,而且他也沒能運用自己的內(nèi)部(遺傳)和外部(環(huán)境)壓力原則,討論十七世紀為何射影幾何會被冷淡的對待.博耶認為懷爾德關(guān)于數(shù)學(xué)概念為什么被創(chuàng)造和發(fā)展的討論,并不是對這一話題的最終解答,而是在這個方向上的代表性嘗試工作.作者以廣泛熟知的歷史材料、精準的數(shù)學(xué)素材,以及吸引人的風(fēng)格書寫了這本著作.盡管有些人不會完全認同他的相關(guān)論點,但該書以非常樂觀的態(tài)度結(jié)尾.當前數(shù)學(xué)的發(fā)展狀況導(dǎo)致令人激動的現(xiàn)實是,因為數(shù)學(xué)的文化本質(zhì),它的進化不會終

18、止11.美國著名數(shù)學(xué)史家斯特洛伊克指出,從文化視角對數(shù)學(xué)的地位及其發(fā)展,以及其從一個文化向另一個文化傳播的研究還很少.懷爾德的研究從文化學(xué)的觀點多于從心理學(xué)的觀點,盡管人們已熟知一些龐加萊和阿達瑪?shù)痊F(xiàn)代數(shù)學(xué)家的特定觀點.該書將會引起歷史學(xué)家、文化人類學(xué)家的興趣,以及中學(xué)數(shù)學(xué)老師的興趣.斯特洛伊克將自己的觀點與懷爾德做了比較,懷爾德稱之為環(huán)境壓力的因素,就是他自己曾經(jīng)強調(diào)的社會經(jīng)濟和政治因素,以及他自己也曾類似的討論過概括;和抽象;因素.他同意懷爾德的觀點: 盡管個別數(shù)學(xué)家的觀點認為,文化中數(shù)學(xué)的功能是一門基礎(chǔ)科學(xué),正如人們所見到的數(shù)學(xué)對其他科學(xué)的支撐,但數(shù)學(xué)的人文方面可能更重要.無論如何,這是

19、一本非常有用也寫得很好的書,推薦給那些喜歡數(shù)學(xué)史并想知道數(shù)學(xué)家為什么研究數(shù)學(xué)的人閱讀12.美國文化人類學(xué)家、文化進化論的代表性人物塞維斯認為,懷爾德的書實現(xiàn)了被譽為現(xiàn)代人類學(xué)之父的英國人類學(xué)家愛德華·泰勒關(guān)于人類學(xué)具有跨學(xué)科實用性的有益嘗試,在他的數(shù)學(xué)家大會演講和后續(xù)幾篇文章的基礎(chǔ)上形成了數(shù)學(xué)人類學(xué);的研究.懷爾德以他自己獨特的方式討論了數(shù)學(xué)的進化,專業(yè)化時代的實踐應(yīng)用及數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系,重要的是懷爾德是基于一般文化進化的視角出發(fā)的.這本書應(yīng)該引起更廣泛的讀者興趣.一位職業(yè)數(shù)學(xué)家利用其對人類學(xué)的興趣,為數(shù)學(xué)理論寫了一個獨到的介紹,它將吸引任何一個受過數(shù)學(xué)訓(xùn)練的讀者.塞維斯指出

20、,自己作為一個職業(yè)的人類學(xué)家,在數(shù)學(xué)方面并不專業(yè),但這本書吸引了他的注意力并教會他很多,帶來意外的驚喜.這本書可以推薦給人類學(xué)家(無論他數(shù)學(xué)水平如何),懷爾德的工作恰如泰勒對人類學(xué)評述的那樣13.普林斯頓大學(xué)歷史系科學(xué)史研究方向的馬奧尼教授認為,這本書既能使數(shù)學(xué)史家感到振奮又令人沮喪.令人振奮的是懷爾德從深刻洞察的承諾開始,他指出數(shù)學(xué)是人類自己的創(chuàng)造,這種數(shù)學(xué)類型和人類任何其他適應(yīng)機制一樣,都是當時文化需求的函數(shù).但后來懷爾德卻沒能實現(xiàn)這一承諾,顯然是因為作者沒有認識到自己論點的深刻性.懷爾德雖然嘗試了數(shù);概念的文化史研究,詳細的對古希臘幾何在塑造西方數(shù)學(xué)思維習(xí)慣中的作用進行了審視,但未能讓批

21、判的讀者滿意,部分原因是有些數(shù)學(xué)歷史的內(nèi)容不斷沖突.懷爾德忽視了他著作的主旨,即如果數(shù)學(xué)能反射出文化,那么歷史學(xué)家應(yīng)該在其文化背景下對待以往的數(shù)學(xué).而作者頻繁地忽視歷史分析,總是沉溺于如果;的幻想里,如果巴比倫人這么做,如果希臘人這么做,等等.這種推測僅能提供微小的歷史洞見,且制約了作者對自己觀點的正確回答.不斷地重復(fù)對實無窮;的反對,陳述康托的數(shù)理論,好像今天所有的數(shù)學(xué)家都同意似的.這本書為數(shù)學(xué)史指出了一條很好的道路,但也僅僅是指出道路而已14.美國圣母大學(xué)科學(xué)史與哲學(xué)教授克洛也曾探討過數(shù)學(xué)歷史演變的十條規(guī)律;15,1974年8月7日至9日,美國藝術(shù)與科學(xué)學(xué)院在馬薩諸塞州舉辦現(xiàn)代數(shù)學(xué)的進化;

22、工作坊,克洛也演講了相關(guān)的內(nèi)容16.在這次會上,美國女數(shù)學(xué)家科佩爾曼也給出了類似的數(shù)學(xué)的六個歷史進程;17.克洛后來曾針對懷爾德一書提出的數(shù)學(xué)進化規(guī)律若干條進行了質(zhì)疑,包括進化動力;一詞的本質(zhì)含義,以及各條進化規(guī)律中詞語的使用等問題.當然,他也提醒讀者,不要因為上述批判性評論就錯誤的認為懷爾德的書不值得嚴肅對待,這本書不僅是教師的出色數(shù)學(xué)史工具書,而且是所有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)史家必須面對并將從中獲益的一本書18.懷爾德對此給出了積極的回應(yīng),強調(diào)了他所運用的動力;一詞是文化進化論;中的概念,都是人類學(xué)家使用的詞語.懷爾德逐條對其質(zhì)疑進行了辯駁,并認為在一些規(guī)律上二人的意思大致相同,但對克洛稱他為一個實

23、用主義者;,懷爾德認為自己同時也是個概念主義者;,或者更愿意將自己定為一個文化進化主義者;19.參考文獻1 Wilder R L.The cultural basis of mathematics C/ Graves L M,Smith P A,Hille E,et al.Proceedings of the International Congress of Mathematicians,Cambridge,Massachusetts,U S A.August 30-September 6,1950.Vol 1,Providence,American Mathematical Society

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