2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試

1、學(xué)而思教育學(xué)習(xí)改變命運(yùn) 思考成就未來(lái)！ 高考網(wǎng)2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：1評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，填空題只設(shè)7分和0分兩檔；其他各題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分，不要增加其他中間檔次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，解答題中至少4分為一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次一、填空（共8小題，每小題7分，共56分）1 若函數(shù)且，則 【答案】【解析】 ，故2 已知直線和圓，點(diǎn)在直線上，為圓上兩點(diǎn)，在中，過(guò)圓心，則點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍為 【答案】【解析】 設(shè)，則圓心到

2、直線的距離，由直線與圓相交，得解得3 在坐標(biāo)平面上有兩個(gè)區(qū)域和，為，是隨變化的區(qū)域，它由不等式所確定，的取值范圍是，則和的公共面積是函數(shù) 【答案】【解析】 由題意知 4 使不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立的最小正整數(shù)的值為 【答案】【解析】 設(shè)顯然單調(diào)遞減，則由的最大值，可得5 橢圓上任意兩點(diǎn)，若，則乘積的最小值為 【答案】【解析】 設(shè)，由，在橢圓上，有 得于是當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值6 若方程僅有一個(gè)實(shí)根，那么的取值范圍是 【答案】 或【解析】當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)由求根公式得， 或()當(dāng)時(shí)，由得所以，同為負(fù)根又由知所以原方程有一個(gè)解()當(dāng)時(shí)，原方程有一個(gè)解()當(dāng)時(shí)，由得所以，同為正根，且，不合題意，舍去綜上可得或?yàn)樗?/p>

3、求7 一個(gè)由若干行數(shù)字組成的數(shù)表，從第二行起每一行中的數(shù)字均等于其肩上的兩個(gè)數(shù)之和，最后一行僅有一個(gè)數(shù)，第一行是前個(gè)正整數(shù)按從小到大排成的行，則最后一行的數(shù)是 （可以用指數(shù)表示）【答案】【解析】 易知：()該數(shù)表共有100行；()每一行構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，且公差依次為，()為所求 設(shè)第行的第一個(gè)數(shù)為，則 故8 某車(chē)站每天，都恰有一輛客車(chē)到站，但到站的時(shí)刻是隨機(jī)的，且兩者到站的時(shí)間是相互獨(dú)立的，其規(guī)律為到站時(shí)刻概率一旅客到車(chē)站，則它候車(chē)時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為 （精確到分）【答案】 27【解析】 旅客候車(chē)的分布列為候車(chē)時(shí)間（分）1030507090概率候車(chē)時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為二、解答題1 （本小題滿(mǎn)分14分）

4、設(shè)直線（其中，為整數(shù)）與橢圓交于不同兩點(diǎn)，與雙曲線交于不同兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】 由消去化簡(jiǎn)整理得設(shè)，則 4分由消去化簡(jiǎn)整理得設(shè)，則 8分因?yàn)?，所以，此時(shí)由得所以或由上式解得或當(dāng)時(shí)，由和得因是整數(shù)，所以的值為，當(dāng)，由和得因是整數(shù)，所以，于是滿(mǎn)足條件的直線共有9條14分2 （本小題15分）已知，是實(shí)數(shù)，方程有兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列滿(mǎn)足，()求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用，表示）；()若，求的前項(xiàng)和【解析】 方法一：()由韋達(dá)定理知，又，所以，整理得令，則所以是公比為的等比數(shù)列數(shù)列的首項(xiàng)為：所以，即所以當(dāng)時(shí)，變?yōu)檎淼?，所以，?shù)列成公差為的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為所以于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為；5分當(dāng)時(shí)， 整理得，所以，數(shù)列成公比為的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為所以于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為10分()若，則，此時(shí)由第()步的結(jié)果得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，的前項(xiàng)和為以上兩式相減，整理得所以15分方法二：()由韋達(dá)定理知，又，所以，特征方程的兩個(gè)根為，當(dāng)時(shí)，通項(xiàng)由，得 解得故 5分當(dāng)時(shí)，通項(xiàng)由，得 解得，故 10分()同方法一3 （本小題滿(mǎn)分15分）求函數(shù)的最大和最小值【解析】 函數(shù)