梁彎曲時(shí)的位移

1、1,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,2,5-1 梁的位移撓度和轉(zhuǎn)角,直梁在對(duì)稱(chēng)平面xy內(nèi)彎曲時(shí)其原來(lái)的軸線(xiàn)AB將彎曲成平面曲線(xiàn)AC1B。梁的橫截面形心(即軸線(xiàn)AB上的點(diǎn))在垂直于x軸方向的線(xiàn)位移w稱(chēng)為撓度(deflection)，橫截面對(duì)其原來(lái)位置的角位移q 稱(chēng)為橫截面的轉(zhuǎn)角(angle of rotation,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,3,彎曲后梁的軸線(xiàn)撓曲線(xiàn)(deflection curve)為一平坦而光滑的曲線(xiàn)，它可以表達(dá)為w=f(x)，此式稱(chēng)為撓曲線(xiàn)方程。由于梁變形后的橫截面仍與撓曲線(xiàn)保持垂直，故橫截面的轉(zhuǎn)角q 也就是撓曲線(xiàn)在該相應(yīng)點(diǎn)的切線(xiàn)與x軸之間的夾角，從而有轉(zhuǎn)角方程,第五章 梁彎曲時(shí)的位移

2、,4,直梁彎曲時(shí)的撓度和轉(zhuǎn)角這兩個(gè)位移不但與梁的彎曲變形程度(撓曲線(xiàn)曲率的大小)有關(guān)，也與支座約束的條件有關(guān)。圖a和圖b所示兩根梁，如果它們的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，顯然它們的變形程度(也就是撓曲線(xiàn)的曲率大小)相同，但兩根梁相應(yīng)截面的撓度和轉(zhuǎn)角則明顯不同,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,5,在圖示坐標(biāo)系中，撓度w向下為正，向上為負(fù)； 順時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為負(fù),第五章 梁彎曲時(shí)的位移,6,5-2 梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程及其積分,撓曲線(xiàn)近似微分方程的導(dǎo)出,在4-4中曾得到等直梁在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)純彎曲情況下中性層的曲率為,這也就是位于中性層內(nèi)的撓曲線(xiàn)的曲率的表達(dá)式,第五章

3、 梁彎曲時(shí)的位移,7,在橫力彎曲下，梁的橫截面上除彎矩M=M(x)外，還有剪力FS=FS(x)，剪力產(chǎn)生的剪切變形對(duì)梁的變形也會(huì)產(chǎn)生影響。但工程上常用的梁其跨長(zhǎng)l 往往大于橫截面高度h的10倍，此時(shí)剪力FS對(duì)梁的變形的影響可略去不計(jì)，而有,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,8,從幾何方面來(lái)看，平面曲線(xiàn)的曲率可寫(xiě)作,式中，等號(hào)右邊有正負(fù)號(hào)是因?yàn)榍?/r為度量平面曲線(xiàn)(撓曲線(xiàn))彎曲變形程度的非負(fù)值的量，而w是q = w 沿x方向的變化率，是有正負(fù)的,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,9,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,再注意到在圖示坐標(biāo)系中，負(fù)彎矩對(duì)應(yīng)于正值w ，正彎矩對(duì)應(yīng)于負(fù)值的w ，故從上列兩式應(yīng)有,由于梁的撓曲線(xiàn)為一

4、平坦的曲線(xiàn)，上式中的w2與1相比可略去，于是得撓曲線(xiàn)近似微分方程,10,撓曲線(xiàn)近似微分方程的積分及邊界條件,求等直梁的撓曲線(xiàn)方程時(shí)可將上式改寫(xiě)為,后進(jìn)行積分，再利用邊界條件(boundary condition)確定積分常數(shù),第五章 梁彎曲時(shí)的位移,11,當(dāng)全梁各橫截面上的彎矩可用一個(gè)彎矩方程表示時(shí)(例如圖中所示情況)有,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,以上兩式中的積分常數(shù)C1，C2由邊界條件確定后即可得出梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線(xiàn)方程,12,邊界條件(這里也就是支座處的約束條件)的示例如下圖所示,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,13,若由于梁上的荷載不連續(xù)等原因使得梁的彎矩方程需分段寫(xiě)出時(shí)，各段梁的撓曲線(xiàn)近似微分

5、方程也就不同。而對(duì)各段梁的近似微分方程積分時(shí)，都將出現(xiàn)兩個(gè)積分常數(shù)。要確定這些積分常數(shù)，除利用支座處的約束條件(constraint condition)外，還需利用相鄰兩段梁在交界處的連續(xù)條件(continuity condition)。這兩類(lèi)條件統(tǒng)稱(chēng)為邊界條件,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,14,例題5-1 試求圖示等直梁的撓曲線(xiàn)方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角qmax,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,15,解：該梁的彎矩方程為,撓曲線(xiàn)近似微分方程為,以x為自變量進(jìn)行積分得,于是得,該梁的邊界條件為：在 x=0 處 ，w =0,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,16,撓曲線(xiàn)方程,根據(jù)該梁邊界條件

6、和全梁橫截面上彎矩均為負(fù)值，以及撓曲線(xiàn)應(yīng)光滑連續(xù)描出了撓曲線(xiàn)的示意圖,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,17,可見(jiàn)該梁的qmax和wmax均在x=l的自由端處。于是有,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,18,由此題可見(jiàn)，當(dāng)以x為自變量對(duì)撓曲線(xiàn)近似微分方程進(jìn)行積分時(shí)，所得轉(zhuǎn)角方程和撓曲線(xiàn)方程中的積分常數(shù)是有其幾何意義的,此例題所示的懸臂梁，q0=0，w0=0， 因而也有C1=0 ，C2=0,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,19,兩式中的積分在坐標(biāo)原點(diǎn)處(即x=0處)總是等于零，從而有,事實(shí)上，當(dāng)以x為自變量時(shí),第五章 梁彎曲時(shí)的位移,20,思考: 試求圖示等截面懸臂梁在所示坐標(biāo)系中的撓曲線(xiàn)方程和轉(zhuǎn)角方程。積分常數(shù)C1和C2

7、等于零嗎,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,21,例題5-2 試求圖示等直梁的撓曲線(xiàn)方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角qmax,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,22,解：該梁的彎矩方程為,撓曲線(xiàn)近似微分方程為,以x為自變量進(jìn)行積分得,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,23,該梁的邊界條件為 在 x=0 處 w=0， 在 x=l 處 w=0,于是有,即,撓曲線(xiàn)方程,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,24,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，兩支座處的轉(zhuǎn)角qA及qB的絕對(duì)值相等，且均為最大值，故,最大撓度在跨中，其值為,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,25,例題5-3 試求圖示等直梁的撓曲線(xiàn)方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角qma

8、x,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,26,解：約束力為,兩段梁的彎矩方程分別為,為了后面確定積分常數(shù)的方便，右邊那段梁的彎矩方程M2(x)仍取x截面左邊的梁為分離體，使方程M2(x)中的第一項(xiàng)與方程M1(x)中的項(xiàng)相同,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,27,兩段梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程亦需分段列出，并分別進(jìn)行積分,撓曲線(xiàn)近似微分方程,積分得,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,28,值得注意的是，在對(duì)右段梁進(jìn)行積分運(yùn)算時(shí)，對(duì)于含有(x-a)的項(xiàng)沒(méi)有以x 為自變量而是以(x-a)作為自變量進(jìn)行積分的，因?yàn)檫@樣可在運(yùn)用連續(xù)條件 w1 |x=a=w2|x=a 及w1|x=a=w2|x=a 確定積分常數(shù)時(shí)含有(x-a)2和(x-a

9、)3的項(xiàng)為零而使工作量減少。又，在對(duì)左段梁進(jìn)行積分運(yùn)算時(shí)仍以x 為自變量進(jìn)行，故仍有C1=EIq0，D1=EIw0,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,29,該梁的兩類(lèi)邊界條件為,支座約束條件：在x=0處 w1=0，在 x=l 處 w2=0,連續(xù)條件： 在x=a處 ，w1=w2,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,由兩個(gè)連續(xù)條件得,由支座約束條件 w1|x=0=0 得,從而也有,30,由另一支座約束條件 w2|x=l=0 有,即,從而也有,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,31,從而得兩段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線(xiàn)方程如下,左段梁,右段梁,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,32,左、右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角分別為,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,33,顯

10、然，由于現(xiàn)在ab，故上式表明x1a，從而證實(shí)wmax確實(shí)在左段梁內(nèi)。將上列x1的表達(dá)式代入左段梁的撓曲線(xiàn)方程得,根據(jù)圖中所示撓曲線(xiàn)的大致形狀可知，最大撓度wmax所在 處在現(xiàn)在的情況下應(yīng)在左段梁內(nèi)。令左段梁的轉(zhuǎn)角方程 等于零，得,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,34,由上式還可知，當(dāng)集中荷載F作用在右支座附近因而b值甚小，以致 b2 和 l2 相比可略去不計(jì)時(shí)有,它發(fā)生在 處。而此時(shí) 處(跨中點(diǎn)C)的撓度wC為,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,35,當(dāng)集中荷載F作用于簡(jiǎn)支梁的跨中時(shí)(b=l/2)，最大轉(zhuǎn)角qmax和最大撓度wmax為,可見(jiàn)在集中荷載作用于右支座附近這種極端情況下，跨中撓度與最大撓度也只相差不到

11、3%。因此在工程計(jì)算中，只要簡(jiǎn)支梁的撓曲線(xiàn)上沒(méi)有拐點(diǎn)都可以跨中撓度代替最大撓度,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,36,5-3 按疊加原理計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角,當(dāng)梁的變形微小，且梁的材料在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)工作時(shí)，梁的撓度和轉(zhuǎn)角均與梁上的荷載成線(xiàn)性關(guān)系。在此情況下，當(dāng)梁上有若干荷載或若干種荷載作用時(shí)，梁的某個(gè)截面處的撓度和轉(zhuǎn)角就等于每個(gè)荷載或每種荷載單獨(dú)作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計(jì)算梁的位移時(shí)的疊加原理(principle of superposition,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,37,懸臂梁和簡(jiǎn)支梁在簡(jiǎn)單荷載(集中荷載，集中力偶，分布荷載)作用下，懸臂梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式，以及簡(jiǎn)支梁跨中撓

12、度和支座截面轉(zhuǎn)角的表達(dá)式已在本教材的附錄中以及一些手冊(cè)中給出。根據(jù)這些資料靈活運(yùn)用疊加原理，往往可較方便地計(jì)算復(fù)雜荷載情況下梁的指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,38,例題5-5 試按疊加原理求圖a所示等直梁的跨中截面撓度 wC 和兩支座截面的轉(zhuǎn)角qA 及 qB,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,a,解：此梁 wC 及qA，qB 實(shí)際上可不按疊加原理而直接利用本教材附錄表中序號(hào)13情況下的公式得出。這里是作為靈活運(yùn)用疊加原理的例子，假設(shè)沒(méi)有可直接利用的現(xiàn)成公式來(lái)講述的,39,作用在該簡(jiǎn)支梁左半跨上的均布荷載可視為與跨中截面C正對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)荷載的疊加(圖b,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,b,a,40

13、,在集度為q/2的正對(duì)稱(chēng)均布荷載作用下，利用本教材附錄表中序號(hào)8的公式有,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,C,41,注意到反對(duì)稱(chēng)荷載作用下跨中截面不僅撓度為零，而且該截面上的彎矩亦為零，但轉(zhuǎn)角不等于零，因此可將左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分別視為受集度為 q/2 的均布荷載作用而跨長(zhǎng)為 l/2 的簡(jiǎn)支梁。于是利用附錄表中序號(hào)8情況下的公式有,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,在集度為q/2的反對(duì)稱(chēng)均布荷載作用下，由于撓曲線(xiàn)也是與跨中截面反對(duì)稱(chēng)的，故有,C,42,按疊加原理得,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,43,例題5-6 試按疊加原理求圖a所示等直外伸梁其截面B的轉(zhuǎn)角qB，以及A端和BC段中點(diǎn)D的撓度wA和wD,

14、第五章 梁彎曲時(shí)的位移,44,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,解：為利用本教材附錄中簡(jiǎn)支梁和懸臂梁的撓度和轉(zhuǎn)角資料，將圖a所示外伸梁看作由懸臂梁(圖b)和簡(jiǎn)支梁(圖c)連接而成。原來(lái)的外伸梁在支座B左側(cè)截面上的剪力 和彎矩 應(yīng)當(dāng)作為外力和外力偶矩施加在懸臂梁和簡(jiǎn)支梁上，它們的指向和轉(zhuǎn)向也應(yīng)與 的正負(fù)相對(duì)應(yīng)，如圖b及圖c中所示,45,圖c中所示簡(jiǎn)支梁BC的受力情況以及支座約束情況與原外伸梁BC段完全相同，因此再注意到簡(jiǎn)支梁B支座左側(cè)的外力2qa將直接傳遞給支座B而不會(huì)引起彎曲后，便可知道按圖d和圖e所示情況由本教材附錄中的資料求Bq， BM 和 wDq，wDM 并疊加后得到的就是原外伸梁的 B和wD,第

15、五章 梁彎曲時(shí)的位移,46,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,47,圖b所示懸臂梁AB的受力情況與原外伸梁AB段相同，但要注意原外伸梁的B支座截面是可以轉(zhuǎn)動(dòng)的，其轉(zhuǎn)角就是上面求得的qB，由此引起的A端撓度w1=|qB|a應(yīng)疊加到圖b所示懸臂梁的A端撓度w2上去才是原外伸梁的A端撓度wA,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,48,5-5 梁的剛度校核提高梁的剛度的措施,梁的剛度校核,對(duì)于產(chǎn)生彎曲變形的桿件，在滿(mǎn)足強(qiáng)度條件的同時(shí)，為保證其正常工作還需對(duì)彎曲位移加以限制，即還應(yīng)該滿(mǎn)足剛度條件(stiffness condition,式中，l為跨長(zhǎng)， 為許可的撓度與跨長(zhǎng)之比(簡(jiǎn)稱(chēng)許可撓跨比)，q為許可轉(zhuǎn)角。上列剛度條件常稱(chēng)

16、之為梁的剛度條件,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,49,土建工程中通常只限制梁的撓跨比， 。在機(jī)械工程中，對(duì)于主要的軸， ；對(duì)于傳動(dòng)軸還要求限制在安裝齒輪處和軸承處的轉(zhuǎn)角，,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,50,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,例題5-8 圖a所示簡(jiǎn)支梁由兩根槽鋼組成(圖b)，試選擇既滿(mǎn)足強(qiáng)度條件又滿(mǎn)足剛度條件的槽鋼型號(hào)。已知=170 MPa，=100 MPa，E=210 GPa，,51,解：一般情況下，選擇梁的截面尺寸或選擇型鋼的型號(hào)時(shí)，先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面尺寸或型鋼型號(hào)，然后按切應(yīng)力強(qiáng)度條件以及剛度條件進(jìn)行校核，必要時(shí)再作更改,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,52,1. 按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇槽鋼型號(hào)

17、,作梁的剪力圖和彎矩圖如圖c和圖e。最大彎矩在距左支座0.8 m處，Mmax=62.4 kNm。梁所需的彎曲截面系數(shù)為,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,53,而每根槽鋼所需的彎曲截面系數(shù)Wz36710-6 m3/2=183.5 10-6m3。由型鋼表查得20a號(hào)槽鋼其Wz=178 cm3，雖略小于所需的Wz=183.510-6 m3而最大彎曲正應(yīng)力將略高于許用彎曲正應(yīng)力s，但如超過(guò)不到5%，則工程上還是允許的,超過(guò)許用彎曲正應(yīng)力的百分?jǐn)?shù)為(175-170)/1703%，未超過(guò)5%，故允許。事實(shí)上即使把梁的自重 (222.63 kg/m=0.4435 kg/m)考慮進(jìn)去，超過(guò)許用彎曲正應(yīng)力的百分?jǐn)?shù)仍不到

18、5,現(xiàn)加以檢驗(yàn),第五章 梁彎曲時(shí)的位移,54,2. 按切應(yīng)力強(qiáng)度條件校核,最大剪力FS,max=138 kN，在左支座以右0.4 m范圍內(nèi)各橫截面上。每根槽鋼承受的最大剪力為,每根20a號(hào)槽鋼其橫截面在中性軸一側(cè)的面積對(duì)中性軸的靜矩，根據(jù)該號(hào)槽鋼的簡(jiǎn)化尺寸(圖d)可計(jì)算如下,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,55,其值小于許用切應(yīng)力t=100 MPa，故選用20a號(hào)槽鋼滿(mǎn)足切應(yīng)力強(qiáng)度條件,當(dāng)然， 的值也可按下式得出,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,每根20a號(hào)槽鋼對(duì)中性軸的慣性矩由型鋼表查得為 Iz =1780 cm4,于是,56,3. 按剛度條件校核,此簡(jiǎn)支梁上各集中荷載的指向相同，故可將跨中截面C的撓度wC

19、作為梁的最大撓度wmax。本教材附錄序號(hào)11中給出了簡(jiǎn)支梁受單個(gè)集中荷載F 時(shí)，若荷載離左支座的距離a大于或等于離右支座的距離b，跨中撓度wC的計(jì)算公式為,可見(jiàn)，對(duì)于此梁上的左邊兩個(gè)集中荷載，應(yīng)為,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,57,于是由疊加原理可得,而許可撓度為,由于wmaxw，故選用20a號(hào)槽鋼滿(mǎn)足剛度條件,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,58,提高梁的剛度的措施,1) 增大梁的彎曲剛度EI,由于不同牌號(hào)的鋼材它們的彈性模量E大致相同(E210 GPa)，故從增大梁的彎曲剛度來(lái)說(shuō)采用高強(qiáng)度鋼并無(wú)明顯好處。為增大鋼梁的彎曲剛度，鋼梁的橫截面均采用使截面面積盡可能分布在距中性軸較遠(yuǎn)的形狀，以增大截面對(duì)于中

20、性軸的慣性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,59,跨長(zhǎng)為l 的簡(jiǎn)支梁受集度為q的滿(mǎn)布均布荷載時(shí)，最大彎矩和最大撓度均出現(xiàn)在跨中，它們分別為,2) 調(diào)整跨長(zhǎng)和改變結(jié)構(gòu)的體系,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,60,如果將兩個(gè)鉸支座各內(nèi)移一個(gè)距離a而成為如圖a所示的外伸梁，且a=0.207l，則不僅最大彎矩減小為,而且跨中撓度減小為,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,a,61,而此時(shí)外伸端D和E的撓度也僅為,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,62,所謂改變結(jié)構(gòu)的體系來(lái)提高梁的剛度在這里是指增加梁的支座約束使靜定梁成為超靜定梁，例如在懸臂梁的自由端增加一個(gè)鉸支座，又例如在簡(jiǎn)支梁的跨中增加一個(gè)鉸支座,第五章 梁彎曲時(shí)的位移,63,5-6 梁內(nèi)的