正弦定理和余弦定理專題及解析

1、正弦定理和余弦定理教學(xué)目標(biāo)掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.知 識 梳 理1.正弦、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理公式2Ra2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C常見變形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin Asin Bsin C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C2.SABCabsin

2、 Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R，r. 3.在ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin Aabab解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無解診 斷 自 測1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比.()(2)在ABC中，若sin Asin B，則AB.()(3)在ABC的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素.()(4)當(dāng)b2c2a20時(shí)，ABC為銳角三角形；當(dāng)b2c2a20時(shí)，ABC為直角三角形；當(dāng)b2c2a20時(shí)，三角形ABC不一定為銳角三角形.答案(1)

3、(2)(3)(4)(5)2.(2016全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a，c2，cos A，則b()A. B. C.2 D.3解析由余弦定理，得5b2222b2，解得b3，故選D.答案D3.(2017鄭州預(yù)測)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則cos B()A. B. C. D.解析由正弦定理知1，即tan B，由B(0，)，所以B，所以cos Bcos，故選B.答案B4.在ABC中，A60，AB2，且ABC的面積為，則BC的長為()A. B. C.2 D.2解析因?yàn)镾ABACsin A2AC，所以AC1，所以BC2AB2AC22ABACcos

4、603，所以BC.答案B5.在ABC中，acos Abcos B，則這個(gè)三角形的形狀為_.解析由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以這個(gè)三角形為等腰三角形或直角三角形.答案等腰三角形或直角三角形考點(diǎn)一利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)在ABC中，已知a2，b，A45，則滿足條件的三角形有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.0個(gè) D.無法確定(2)(2016天津卷)在ABC中，若AB，BC3，C120，則AC()A.1 B.2 C.3 D.4(3)(2015廣東卷)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c

5、，若a，sin B，C，則b_.解析(1)bsin A，bsin Aab.滿足條件的三角形有2個(gè).(2)在ABC中，設(shè)A，B，C所對的邊分別為a，b，c.則由c2a2b22abcos C，得139b23b，即b23b40，解得b1，因此AC1.(3)因?yàn)閟in B且B(0，)，所以B或B.又C，BC0，sin A1，即A.答案B【遷移探究1】 將本例條件變?yōu)椤叭?sin Acos Bsin C”，那么ABC一定是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形解析法一由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(A

6、B)0，因?yàn)锳B0)，由余弦定理可得cos C0，又C(0，)，C，ABC為鈍角三角形.答案C【遷移探究3】 將本例條件變?yōu)椤叭鬭2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C”，試確定ABC的形狀.解法一利用邊的關(guān)系來判斷：由正弦定理得，由2cos Asin Bsin C，有cos A.又由余弦定理得cos A，即c2b2c2a2，所以a2b2，所以ab.又a2b2c2ab.2b2c2b2，所以b2c2，bc，abc.ABC為等邊三角形.法二利用角的關(guān)系來判斷：ABC180，sin Csin(AB)，又2cos Asin Bsin C，2cos Asin Bsin Acos Bcos A

7、sin B，sin(AB)0，又A與B均為ABC的內(nèi)角，所以AB.又由a2b2c2ab，由余弦定理，得cos C，又0C180，所以C60，ABC為等邊三角形.考點(diǎn)三和三角形面積有關(guān)的問題【例3】 (2016全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C； (2)若c，ABC的面積為，求ABC的周長.解(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C.由C(0，)知sin C0，可得cos C，所以C.(2)由已

8、知，absin C，又C，所以ab6，由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7，故a2b213，從而(ab)225.所以ABC的周長為5.【訓(xùn)練2】 (2017日照模擬)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足(2ab)cos Cccos B0.(1)求角C的值；(2)若三邊a，b，c滿足ab13，c7，求ABC的面積.解(1)根據(jù)正弦定理，(2ab)cos Cccos B0可化為(2sin Asin B)cos Csin Ccos B0.整理得2sin Acos Csin Bcos Csin Ccos Bsin(BC)sin A.0A，sin A0，cos C.又0C，C.

9、(2)由(1)知cos C，又ab13，c7，由余弦定理得c2a2b22abcos C(ab)23ab1693ab49，解得ab40.SABCabsin C40sin10.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.(2017哈爾濱模擬)在ABC中，AB，AC1，B30，ABC的面積為，則C()A.30 B.45 C.60 D.75解析法一SABCABACsin A，即1sin A，sin A1，由A(0，180)，A90，C60.故選C.法二由正弦定理，得，即，sin C，又C(0，180)，C60或C120.當(dāng)C120時(shí)，A30，SABC(舍去).而當(dāng)C60時(shí)，A90，SABC，符合條

10、件，故C60.故選C.答案C2.在ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若A，a2，b，則B等于()A. B.C.或 D.解析A，a2，b，由正弦定理可得，sin Bsin A.A，B.答案D3.(2017成都診斷)在ABC中，cos2(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則ABC的形狀為()A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析因?yàn)閏os2，所以2cos211，所以cos B，所以，所以c2a2b2.所以ABC為直角三角形.答案B4.ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則“ab”是“cos 2Acos 2B”的()A.充分不必要條件

11、 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析因?yàn)樵贏BC中，absin Asin Bsin2Asin2B2sin2A2sin2B12sin2A12sin2Bcos 2Acos 2B.所以“ab”是“cos 2Acos 2B”的充分必要條件.答案C5.(2016山東卷)在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知bc，a22b2(1sin A)，則A()A. B. C. D.解析在ABC中，由bc，得cos A，又a22b2(1sin A)，所以cos Asin A，即tan A1，又知A(0，)，所以A，故選C.答案C二、填空題6.(2015重慶卷)設(shè)ABC的內(nèi)角

12、A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，則c_.解析由3sin A2sin B及正弦定理，得3a2b，又a2，所以b3，故c2a2b22abcos C4922316，所以c4.答案47.(2017江西九校聯(lián)考)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若角A，B，C依次成等差數(shù)列，且a1，b，則SABC_.解析因?yàn)榻茿，B，C依次成等差數(shù)列，所以B60.由正弦定理，得，解得sin A，因?yàn)?A180，所以A30或150(舍去)，此時(shí)C90，所以SABCab.答案8.(2016北京卷)在ABC中，A，ac，則_.解析在ABC中，a2b2c22bcc

13、os A，將A，ac代入，可得(c)2b2c22bc，整理得2c2b2bc.c0，等式兩邊同時(shí)除以c2，得2，可解得1.答案1三、解答題9.(2015天津卷)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知ABC的面積為3，bc2，cos A.(1)求a和sin C的值；(2)求cos的值.解(1)在ABC中，由cos A，可得sin A.由SABCbcsin A3，得bc24，又由bc2，解得b6，c4.由a2b2c22bccos A，可得a8.由，得sin C.(2)coscos 2Acos sin 2Asin(2cos2A1)2sin Acos A.10.(2015全國卷)在AB

14、C中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分BAC，BD2DC.(1)求；(2)若BAC60，求B.解(1)由正弦定理得，.因?yàn)锳D平分BAC，BD2DC，所以.(2)因?yàn)镃180(BACB)，BAC60，所以sin Csin(BACB)cos Bsin B.由(1)知2sin Bsin C，所以tan B，即B30.能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)11.(2017鄭州調(diào)研)在ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，則A的取值范圍是()A. B. C. D.解析由已知及正弦定理有a2b2c2bc，由余弦定理可知a2b2c22bccos A，于是b2c22bccos Ab2c2bc，c

15、os A，在ABC中，A(0，).由余弦函數(shù)的性質(zhì)，得0A.答案C12.在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若SABC2，ab6，2cos C，則c()A.2 B.4 C.2 D.3解析2cos C，由正弦定理，得sin Acos Bcos Asin B2sin Ccos C，sin(AB)sin C2sin Ccos C，由于0C，sin C0，cos C，C，SABC2absin Cab，ab8，又ab6，解得或c2a2b22abcos C416812，c2，故選C.答案C13.(2015全國卷)在平面四邊形ABCD中，ABC75，BC2，則AB的取值范圍是_.解析如圖所示，延長BA與CD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CFAD交AB于點(diǎn)F，則BFABBE.在等腰三角形CBF中，F(xiàn)CB30，CFBC2，BF.在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75，BECE，BC2，BE.AB.答案(，)14.設(shè)f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2