初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（63）動態(tài)幾何的定值

1、動態(tài)幾何的定值甲內(nèi)容提要1. 動態(tài)幾何是指用運動的觀點研究幾何圖形的位置、大小的相互關(guān)系.用動的觀點看幾何定理，?？砂褞讉€定理歸為一類.例如： 梯形的中位線，當梯形的上底逐漸變小，直到長度為零時，則為三角形的中位線； 兩圓相交，兩個公共點關(guān)于連心線對稱，所以連心線垂直平分公共弦，當兩個交點距離逐漸變小，直到兩點重合時，則兩圓相切，這時切點在連心線上； 相交弦定理由于交點位置、個數(shù)的變化，而演變?yōu)楦罹€定理，切割線定理，切線長定理等等.2. 動態(tài)幾何的軌跡、極值和定值.幾何圖形按一定條件運動，有的幾何量隨著運動的變化而有規(guī)律變化，這就出現(xiàn)了軌跡和極值問題，而有的量卻始終保持不變，這就是定值問題.例

2、如：半徑等于RA的圓A與半徑為RB(RBRA)的定圓B內(nèi)切.那么：動點A有規(guī)律地變化，形成了一條軌跡：以B為圓心，以RBRA的長為半徑的圓.而A，B兩點的距離，卻始終保持不變：AB=RBRA.若另有一個半徑為RC的圓 C與圓B外切，則A，C兩點的距離變化有一定的范圍： RB+RC(RBRA)ACRB+RC+(RBRA).即RC+RAAC2RB+RCRA . 所以AC有最大值：2RB+RCRA ； 且有最小值：RC+RA.3. 解答動態(tài)幾何定值問題的方法，一般有兩種： 第一種是分兩步完成 ： 先探求定值.它要用題中固有的幾何量表示. 再證明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把動點放在特

3、殊的位置，找出定值的表達式，然后寫出證明. 第二種是采用綜合法，直接寫出證明.乙例題例1.已知：ABC中，ABAC，點P是BC上任一點，過點P作BC的垂線分別交AB，AC或延長線于E，F(xiàn).求證：PEPF有定值.例2.已知：同心圓為O中，AB是大圓的直徑，點P在小圓上求證：PA2PB2有定值.例3.已知：ABC中，ABAC，點P在中位線MN上，BP，CP的延長線分別交AC，AB于E，F(xiàn).求證：有定值， 例4.已知：在以AB為弦的弓形劣弧上取一點M(不包括A、B兩點)，以M為圓心作圓M和AB相切，分別過A，B作M的切線，兩條切線相交于點C.求證：ACB有定值.，.丙練習(xí)631.用固有的元素表示下列

4、各題中所求的定值(不寫探求過程和證明)：.等腰三角形底邊上的任一點到兩腰距離的和有定值是_.等邊三角形內(nèi)的任一點到三邊距離的和有定值是.正n邊形內(nèi)的任一點到各邊距離的和有定值是.延長凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊，相交得五個角：B1，B2，B3，B4，B5它們的度數(shù)和是_，延長凸n邊形(n5)的各邊相交，得n個角，它們的度數(shù)和是_.(2001年希望杯數(shù)學(xué)邀請賽初二試題).兩個定圓相交于A，B，經(jīng)過點B任意作一條直線交 一圓于C，交另一圓于D，則有定值是_.在以AB為直徑的半圓內(nèi)，任取一點P，AP，BP的延長線分別交半圓于C，D，則APAC+BPBD有定值是.AB是定圓O的任意的一條弦，點P

5、是劣弧AB上的任一點(不含A和B)，PA，PB分別交AB的中垂線于E，F(xiàn).則OEOF有定值是_.2.已知：點P是O直徑AB上的任一點，過點P的弦CD和AB相交所成的銳角45.求證：PC2+PD2有定值.3.已知：點O是等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點，點P在BC的延長線上，PDBA交BA延長線于D，PEAC交AC的延長線于E.求證：DOE是定角4.已知：點P是線段AB外一點，PDAB于D，且PD=AB，H是PAB的垂心，C是AB的中點.求證：CH+DH是定值.5.已知：AB，CD是O的兩條直徑，點P是O上任一點(不含A，B，C，D).求證：點P在AB，CD的射影之間的距離是個定值.6.經(jīng)過XOY的平分線上的任一點A，作一直線與OX，OY分別交于P，Q則OP，OQ的倒數(shù)和是一個定值.7. ABC中，AB=AC=2，BC邊有100個不同點P1，P2，P100，記mi=APi2+BpiPiC (i=1,2,3,100).則m1+m2+m100=. (1990年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題) 8. 直角梯形ABCD中，ABCD，DAAB，AB26cm,CD=24cm,AD=8cm,有兩個動點P和Q，點P在