譜元方法課程ppt課件

1、2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,1,1、正交函數(shù)系與譜近似,1.1 正交函數(shù)系與正交多項式 1.2 函數(shù)的Fourier展開 1.3 Chebyshev譜逼近(離散函數(shù)的Fourier展開) 1.4 插值函數(shù)的導數(shù) 1.5 二維函數(shù)的Chebyshev譜近似,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,2,1.1 正交函數(shù)系與正交多項式,設函數(shù)系j(x)，如滿足條件， 則稱函數(shù)系j(x)，在區(qū)間a,b上關于權(quán)函數(shù)w(x) 正交， 當j(x)是代數(shù)多項式時，稱為正交多項式。 如Chebyshev多項式,2021年1月31日,Tel：826635

2、37 e-mail：,3,Chebyshev多項式的正交性,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,4,1.2 函數(shù)的Fourier展開,函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上滿足Dirichlet條件，且加權(quán)平方可積，即對于權(quán)函數(shù)w(x)，有，則f(x)可在a,b上以w(x)為權(quán)函數(shù)，按正交多項式n(x)展成廣義Fourier級數(shù)， 設j(x)為在節(jié)點xk,k=0,1,N上的正交函數(shù)系，權(quán)為wk0,k=0,1,N，設f(x)為在節(jié)點系xk, k = 0,1,N上取值的已知函數(shù)，則函數(shù)f(x)的Fourier展開定義為,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：

3、,5,1.3 Chebyshev譜逼近(離散函數(shù)的Fourier展開,取節(jié)點系xk, k = 0,1,N為N階Chebyshev多項式的極值點(稱Gauss-Lobatto點)，即， 權(quán)系數(shù) 則上面的展開式變?yōu)椋?此式亦可看作f(x)在配置點上的插值, g(x)為插值函數(shù),2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,6,1.4 插值函數(shù)的導數(shù),對 微分得： 插值函數(shù)在配置點的導數(shù)可表示為,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,7,1.5 二維函數(shù)的Chebyshev譜近似,對二維函數(shù)u(,)，在標準正方形單元內(nèi)，定義,方向節(jié)點系j，j=0,1,Nx

4、和k ，k=0,1,Ny,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,8,2 譜方法求解微分方程,2.1 解微分方程的加權(quán)殘量法MWR （Method of Weight Residuals) 2.2 譜方法求解微分方程 2.3 小結(jié),2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,9,2.1 解微分方程的加權(quán)殘量法MWR（Method of Weight Residuals,基本思想 MWR的步驟 MWR的基本方法,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,10,加權(quán)殘量法基本思想(1,設微分方程邊值問題為， 加權(quán)余量法，是求微分方程

5、形式如下的近似解。 a=a0,a1,aNT為待定向量，0, 1, N為為基函數(shù)，且是一組線性無關的函數(shù),2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,11,加權(quán)殘量法基本思想(2,殘量”定義如下， 顯然只有當試函數(shù)為邊值問題的精確解時，余量(2.31)才為零。 加權(quán)殘量法 適當選取待定向量a=a0,a1,aNT，使得“殘量”極小。通常某一權(quán)函數(shù)系wi(x),i=0,1,N，使得權(quán)函數(shù)與“殘量”正交，來確定待定向量,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,12,MWR的步驟,選取一組滿足要求的基函數(shù) 構(gòu)造試函數(shù) 并滿足所有邊界條件； 選取一組權(quán)函數(shù) 運用

6、MWR準則， 得到 的代數(shù)方程組； 解上述代數(shù)方程組，確定待定參數(shù),2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,13,MWR的基本方法,按權(quán)函數(shù)的不同有以下幾種基本方法 Galerkin法(Galerkin Method) 配置法(Collocation Method) Tan方法(Tan Method) 類似于Galerkin法，Tan方法中，試函數(shù)不需要滿足邊界條件，增加邊界約束系數(shù)來滿足邊界條件,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,14,2.2 譜方法求解微分方程,以非線性Burger方程為例來說明譜方法的離散過程,并區(qū)別Galerkin法

7、,Tau方法和Collocation方法。Burger方程如下,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,15,Chebyshev Galerkin方法 (Galerkin Method,方程的近似解表達為， 由MWR準則得,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,16,Chebyshev Tau方法(Tan Method,方程的近似解表達為， 由MWR準則得, 邊界約束,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,17,Chebyshev Collocation方法(Collocation Method,選取節(jié)點系為N階Che

8、byshev多項式的極值點, 方程的近似解用下式表示， 由Collocation方程得,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,18,2.3 小結(jié),一種求解偏微分方程的高階精度數(shù)值方法。 屬于求解偏微分方程加權(quán)殘量法的特例。 譜方法使用高階正交多項式作為展開函數(shù) 。 譜方法最受人青睞的優(yōu)越性在于它具有“無窮階”的收斂速度，其確切含義為，若原微分方程的解無限可微，則由適當?shù)淖V方法所得到的近似解對原問題的收斂速度比1/N的任何冪都更快，這里N是所取基函數(shù)的個數(shù)。 Kreiss和Oliger, Orszag Gottlieb和Orszag,2021年1月31日,Tel：826

9、63537 e-mail：,19,3 譜元方法求解微分方程,回顧譜方法 使用加權(quán)殘量法 譜元方法基本思想 常微分方程邊值問題的Galerkin變分原理 偏微分方程的Galerkin變分原理 Galerkin逼近解 常微分方程元素矩陣的形成 偏微分方程元素矩陣的形成 極坐標系下環(huán)形區(qū)域的譜元方法 總剛度矩陣的形成,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,20,3.1 回顧譜方法 使用加權(quán)殘量法,選取一組滿足要求的基函數(shù),構(gòu)造試函數(shù)，滿足所有的邊界條件,選取一組權(quán)函數(shù),利用MWR準則，得到ai 的代數(shù)方程,求解上述代數(shù)方程組，確定待定參數(shù),2021年1月31日,Tel：82

10、663537 e-mail：,21,3.2 譜元方法基本思想,使用有限元方法的思想 ，將求解域分成若干子域 采用譜方法中譜近似技術代替有限元中的插值函數(shù) 采用有限元中等參單元,亦可逼近復雜求解邊界,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,22,3.3 常微分方程邊值問題的Galerkin變分原理,考察二點邊值問題 上述問題的Galerkin變分問題是：求 ，使得， 其中,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,23,3.4 偏微分方程的Galerkin變分原理,考察二維橢圓邊值問題 上述問題的Galerkin變分問題是：求 ，使得,2021年1月

11、31日,Tel：82663537 e-mail：,24,3.5 Galerkin逼近解,設Vh是V的有限維子空間，當h-0時，Vh的維數(shù)無限增加，直到充滿V為止，那么Galerkin逼近解 ，使得， 設 是Vh的基函數(shù)系，那么由于 ，故有， 其中 得 由于 的任意性，得， 即得線性代數(shù)方程組，可以證明此代數(shù)方程組的解唯一存在，即可解出Galerkin逼近解,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,25,3.6 常微分方程元素矩陣的形成,考察以下微分方程 用譜方法求解此微分方程,先將求解區(qū)域分成若干單元,設單元總數(shù)為N,考察第i個單元ei,將ei轉(zhuǎn)化為標準求解單元,設x為

12、總體坐標,為標準求解單元內(nèi)的局部坐標,并設,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,26,插值點和插值函數(shù),在第i個元素內(nèi)選取Nx+1個點作為u(x)和f(x)的插值點,本文選取階Chebyshev多項式的極值點作為插值點,即 , u(x)和f(x)可以表達為,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,27,元素矩陣形成,對一維邊值問題,在ei單元內(nèi)線性方程式變?yōu)?其中， 上面線性方程組變?yōu)?2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,28,的推導過程,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,29,3.7

13、 偏微分方程元素矩陣的形成,具體考察Helmholtz方程， 其中， 作以下坐標變換 在標準正方形單元內(nèi)，使用偽譜Chebyshev譜逼近u(,)，則元素內(nèi)線性方程組式變?yōu)?2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,30,總體坐標系與局部坐標系,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,31,元素矩陣,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,32,3.8 極坐標系下環(huán)形區(qū)域的譜元方法,在極坐標系下，Helmholtz方程表達為， 將極坐標系下環(huán)形段單元，變換為直角坐標系下的正方形單元，坐標變換關系如下， 元素矩陣的形式為,20

14、21年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,33,極坐標坐標系與局部坐標系,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,34,元素矩陣,式中各變量的表達式如下,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,35,3.9 總剛度矩陣的形成,節(jié)點影響元素集，節(jié)點所在的元素的并集 影響節(jié)點，對某點，其影響元素內(nèi)的所有節(jié)點 相互影響元素集，兩個節(jié)點和影響元素之交集 對節(jié)點和，總體矩陣元素為， 由于 在一個元素e內(nèi)計算，故稱它為單元矩陣，上式表明矩陣有貢獻的只是()影響元素集所有單元矩陣相應的元素,2021年1月31日,Tel：82663537 e-

15、mail：,36,4 復雜區(qū)域的譜元方法,采用譜逼近的等參數(shù)單元 總體坐標系下導數(shù)的計算 坐標變換矩陣及變換行列式 局部坐標系下偏導數(shù)的計算 總體坐標系下偏導數(shù)的計算 復雜求解區(qū)域的譜元方法,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,37,總體坐標與局部坐標系,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,38,4.1采用譜逼近的等參數(shù)單元,總體坐標與局部坐標(如圖所示) 等參單元，插值函數(shù)表達式和坐標變換表達式一致 函數(shù)的插值表達為， 坐標變換的表達式為， 導數(shù)表達式,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,39,4.2 總體坐

16、標系下導數(shù)的計算,坐標變換矩陣(Jacobi矩陣)及變換行列式(Jacobi行列式,微元面積、微元弧長 (為常數(shù))時， (為常數(shù))時,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,40,局部坐標系下偏導數(shù)的計算,由插值式對求偏導得， 上式在(m,n)處的值為， 比照函數(shù)得， 則局部坐標系下的偏導數(shù)表達為,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,41,總體坐標系下偏導數(shù)的計算,由插值函數(shù)得， 由Jacobi矩陣得總體坐標系下，偏導數(shù)計算式為,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,42,4.3 復雜求解區(qū)域的譜元方法,考察Helm

17、holtz方程 則元素矩陣為,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,43,元素矩陣各變量表達式,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,44,5 非定常不可壓縮流動與自然對流換熱問題求解,不可壓縮流動控制方程 封閉空腔內(nèi)自然對流換熱基本控制方程 解非定常不可壓縮Navier-Stokes方程的時間分裂法 時間分裂法求解自然對流問題 時間分裂法求解Navier-Stokes方程的誤差分析,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,45,5.1 非定常不可壓縮流動控制方程,非定常不可壓縮流動無因次Navier-Stokes方程

18、為， 以頂蓋移動的方腔驅(qū)動流為例，定義無因次參量如下,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,46,5.2 封閉空腔內(nèi)自然對流換熱基本控制方程,封閉空腔內(nèi)自然對流換熱基本控制方程,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,47,無因次量定義,對正方形封閉空腔，無因次參數(shù)的定義如下， 對空氣來說,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,48,5.3 解非定常不可壓縮Navier-Stokes方程的時間分裂法,Navier-Stokes可寫成如下形式， 對時間積分得， 設 為三步中間值，則分三步求解的過程為：非線性步、壓力步、粘

19、性步,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,49,非線性步,非線性步使用顯式4階Runge-Kutta方法，替代傳統(tǒng)時間分裂法的Adams-Bashforth方法，使本時間步僅與上一時間步有關， 此步中代入初始條件，不使用邊界條件,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,50,壓力步,假設 滿足不可壓縮條件，且在邊界上法向上的投影為零，即， 得, 此步為解帶有第二類邊界條件的壓力Poisson方程，解出壓力Poisson方程后，再由上式求解,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,51,粘性步,利用Crank-Nicol

20、son格式離散粘性步，得Helmholtz方程，施以固體壁面邊界條件即可求解,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,52,5.4 時間分裂法求解自然對流問題,求解自然對流問題的過程同Navier-Stokes方程，也是將一個時間步分為三步求解，所不同的是在一個時間步內(nèi)除了解Navier-Stokes外，還需求解能量方程，能量方程中沒有壓力項，因此在第二步壓力Poisson方程求解中與能量方程無關,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,53,非線性步,非線性步仍使用顯式4階Runge-Kutta方法,2021年1月31日,Tel：8266353

21、7 e-mail：,54,壓力步,為解帶有第二類邊界條件的壓力Poisson方程，解出壓力Poisson方程后，再由(5.34)式求解,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,55,粘性步,利用Crank-Nicolson格式離散粘性步，得Helmholtz方程，施以固體壁面邊界條件即可求解,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,56,5.5 時間分裂法求解Navier-Stokes方程的誤差分析,利用時間分裂法求解Navier-Stokes方程基于以下兩個假設， 滿足不可壓縮約束，即滿足連續(xù)性方程， 在邊界的法線上的投影為零， 高精度壓力邊界

22、條件描述， 壓力Poisson方程變?yōu)?2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,57,6 面向?qū)ο笞V元方法程序設計,面向?qū)ο蟪绦蛟O計思想 面向?qū)ο笞V元方法程序設計 節(jié)點類 標準單元類 單元類 整體區(qū)域類 譜元方法程序設計中的幾個問題 插值函數(shù)積分的存儲 節(jié)點的編碼及總體矩陣的形成 Navier-Stokes方程和能量方程的求解過程,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,58,6.1 面向?qū)ο蟪绦蛟O計思想,按人們通常的思維方式建立模型，設計盡可能自然地表現(xiàn)求解方法的軟件。為此，必須建立直接表現(xiàn)問題中事物與事物相互聯(lián)系的概念，建立適合人們思維方式的

23、描述方法； 在面向?qū)ο蟮姆椒ㄖ兄饕幸韵赂拍睿簩ο?、消息傳遞、類和繼承、方法等。 對象和消息傳遞是表示事物與事物間的關系； 類和繼承是適應人們思維方式對事物的描述方法； 方法是作用在對象上的各種操作,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,59,6.2 面向?qū)ο笞V元方法程序設計,面向?qū)ο蟮某绦蛟O計包括面向?qū)ο蠓治?、面向?qū)ο笤O計和面向?qū)ο髮崿F(xiàn) 對譜元方法來說，從譜元方法分析問題的思路出發(fā)，找出描述譜元方法的對象類（數(shù)據(jù)和方法的結(jié)合體），建立對象類的關系，并集成這些對象。 設計節(jié)點類、標準單元、單元類、總體區(qū)域類。這些類中用屬性來描述類的特性，用方法來實現(xiàn)某些操作。有些類中

24、的屬性可能又需要用對象類來描述，方法的作用對象也可能是某一類的實體,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,60,節(jié)點類,主要的數(shù)據(jù)及方法包含節(jié)點的屬性，如節(jié)點的編號、節(jié)點的位置坐標、節(jié)點的邊界屬性、微分方程右端項及邊界條件值、所要求解的變量及其導數(shù)值。 節(jié)點類定義， class CGridPoint protected: /節(jié)點的屬性 標準節(jié)點，編碼，坐標，邊界屬性，方程右端項； 壓力，速度及其導數(shù)； public: /節(jié)點類方法 屬性設置，邊界設置，壓力和速度設置； 屬性取值，邊界屬性取值；,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,61,標準

25、單元類,包括了在各求解單元中的常量。類中的數(shù)據(jù)及方法主要有：單元內(nèi)網(wǎng)格的劃分(含兩方向的節(jié)點數(shù)及總節(jié)點數(shù))、標準插值節(jié)點、插值函數(shù)的導數(shù)矩陣及有關標準插值函數(shù)的積分。 標準單元類定義， class CStdElement protected: /標準單元類的屬性 網(wǎng)格屬性，標準插值節(jié)點，插值函數(shù)的導數(shù)，插值函數(shù)積分； public: /標準單元類方法 標準單元類的構(gòu)造，Chebyshev多項式及其導數(shù)； 插值函數(shù)的積分，屬性設置及取值；,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,62,單元類,主要數(shù)據(jù)及方法包含元素序號、單元內(nèi)節(jié)點劃分(和標準單元內(nèi)劃分相對應)、標準單元類

26、、節(jié)點類和總體坐標與局部坐標的變換關系。 單元類定義， class CElement protected: /單元類的屬性 單元及網(wǎng)格屬性，標準單元類，坐標變換，單元矩陣； public: /單元類方法 單元構(gòu)造，標準單元類的構(gòu)造，節(jié)點類構(gòu)造； 元素矩陣的形成，屬性設置及取值；,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,63,總體區(qū)域類,主要數(shù)據(jù)及方法包含區(qū)域內(nèi)單元數(shù)、總節(jié)點數(shù)、節(jié)點類、標準單元類、總體矩陣等。 總體區(qū)域類定義， class CDomain protected: /整體區(qū)域類的屬性 區(qū)域的屬性，單元及網(wǎng)格屬性，單元類，標準單元類； 總體矩陣，對角元位置，邊

27、界節(jié)點序號； public: /整體區(qū)域類方法 單元構(gòu)造，標準單元類的構(gòu)造，節(jié)點類構(gòu)造； 元素矩陣的形成，屬性設置及取值；,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,64,6.2 譜元方法程序設計中的幾個問題,插值函數(shù)積分的存儲 節(jié)點的編碼及總體矩陣的形成 對稱帶狀矩陣的一維存儲 元素的編碼 影響元素和影響節(jié)點 對角元的位置及一維數(shù)組的長度 總剛度矩陣 第一類邊界條件的處理,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,65,插值函數(shù)積分的存儲,在形成元素矩陣時，要計算如下積分， 可以看出， 在(i,j,k)變化時，不必占用(Nx+1)3個存儲單元，這樣

28、既節(jié)約了存儲空間又節(jié)省了計算時間。Bijk所占的空間可由下式計算， Bijk的檢索按如下方式進行，先將i,j,k按由大到小排列，設ijk，則Bijk在數(shù)組中的位置為,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,66,6.3 Navier-Stokes方程和能量方程的求解過程,構(gòu)造標準單元stdElement，求出對各單元不變的量。 構(gòu)造求解域pGeometry，對求解域進行網(wǎng)格劃分，同時構(gòu)造節(jié)點類pDotNG，構(gòu)造各求解單元pElementNe，對節(jié)點類中U、V、賦初值，賦零值，在熱邊界上賦值1，在冷邊界上賦0，其余兩邊為第二類邊界條件，在形成單元矩陣時自動滿足。 利用Ru

29、nge-Kutta法求解 、 、 ，將求解結(jié)果存于 、 、 解壓力Poisson方程，第二類邊界條件，解出壓力后更新 、 、 求解關于 、 、 的Helmholtz方程，邊界條件第一或第二類。解出Helmholtz方程后更新 、 、 ，即完成了一個時間步的求解,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,67,7 計算實例,常微分方程求解 Helmholtz和Poisson的求解 簡單邊界Helmholtz方程求解 復雜邊界Poisson的求解 移動頂蓋方腔驅(qū)動非定常流動 封閉方腔中的自然對流,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,68,7.1 常

30、微分方程求解,例1】用譜方法求解下面方程 該問題的精確解的表達式為： 將求解域0,-1等分為10個求解單元,單元內(nèi)使用5階Chebyshev多項式進行譜逼近。數(shù)值計算結(jié)果與精確解的比較如下,比較表明譜元方法具有相當高的精度,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,69,例1 數(shù)值計算結(jié)果與精確解的比較如下,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,70,例2,例2】用譜元方法求解下面方程 該問題的精確解的表達式為： 將求解域0,-1等分為4個求解單元,單元內(nèi)使用5階Chebyshev多項式進行譜逼近。數(shù)值計算結(jié)果與精確解的比較如下,比較表明譜元方法

31、具有相當高的精度,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,71,例2 數(shù)值計算結(jié)果與精確解的比較如下,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,72,7.2 簡單邊界Helmholtz方程求解,具體考察Helmholtz方程， 精確解為， 采用矩形單元 采用曲邊四邊形單元,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,73,兩種單元求解結(jié)果比較(簡單邊界,表7-1(采用矩形單元的求解結(jié)果) 表7-2(采用曲邊四邊形單元的求解結(jié)果,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,74,復雜邊界Poisson的求解,考

32、察方程 邊界條件由精確解給出 采用環(huán)形段單元 采用曲邊四邊形單元,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,75,兩種單元求解結(jié)果比較(復雜邊界,表7-3(采用環(huán)形段單元的求解結(jié)果) 表7-4(采用曲邊四邊形單元的求解結(jié)果,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,76,7.3 移動頂蓋方腔驅(qū)動非定常流動,是計算流體力學典型數(shù)值實驗模型，在很多情況下都是用它來檢驗數(shù)值方法的有效性； 除移動頂蓋外，初始速度場為零； 移動頂蓋上速度u=1,v=0，其余邊界速度為零； 取9個求解單元，使用8階Chebyshev多項式插值； 計算了Re=100的情況，取兩種時間步長T1=0.004，T2=0.005，計算2000和1600步，各需12和9.6小時,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,77,移動頂蓋方腔驅(qū)動流物理模型,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,78,豎直中心線上的速度U, 水平中心線上的速度V,圖7-3 豎直中心線上的速度U,圖7-4 水平中心線上的速度V,2021年1月31日,Tel：82663537 e-mail：,79,方腔內(nèi)中心點的速度U 和 速度V隨時間的變化,圖7-5 方腔內(nèi)中心點的速度U,圖7-6 方腔內(nèi)中心點的速度V,2021年1月31日,Tel：8266353