第七章 歐拉方程

第七章歐拉方程§7.1歐拉運動學(xué)方程§7.2歐拉動力學(xué)方程§7.3重剛體定點轉(zhuǎn)動的求解1.剛體定點轉(zhuǎn)動的例子陀螺(一)歐拉角常平架§7.1歐拉運動學(xué)方程

剛體繞固定點轉(zhuǎn)動時，自由度是3，因而確定剛體的位置需要三個獨立變量。這三個獨立變量可以有各種取法，最常用的一種取法是用兩個角度確定瞬時轉(zhuǎn)軸的方位，再用另一個角度確定剛體繞這個軸所轉(zhuǎn)過的角度。這三個角通常稱為歐拉角。

為描述定點轉(zhuǎn)動，選定點為坐標(biāo)原點，用三個獨立變化的角度（歐拉角）確定轉(zhuǎn)軸取向和繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過的角度.2.歐拉角節(jié)線ON進動角自轉(zhuǎn)角章動角Z軸位置由θ,φ角決定一般說來，剛體若作定點轉(zhuǎn)動，則其歐拉角是時間的函數(shù)。如果確定了三個函數(shù)關(guān)系式，就確定了剛體的運動，也就是說，如果選歐拉角為坐標(biāo)，有這就是剛體定點轉(zhuǎn)動的運動方程。由（7.1—1）式可以確定剛體在任何時刻歐拉角的數(shù)值，從而就確定了剛體的位置。（7.1—1）3.剛體定點轉(zhuǎn)動的運動方程(二).瞬時角速度與瞬時轉(zhuǎn)軸由上面的論述可知，如果采用歐拉角描述剛體的定點轉(zhuǎn)動，則剛體在每一時刻都具有互相獨立的自轉(zhuǎn)角速度、章動角速度和進動角速度。因此，剛體的瞬時角速度應(yīng)是這三個角速度的矢量和，即

(7.1—3)

1.瞬時角速度

定點轉(zhuǎn)動的獨立變量有三個，其中兩個確定轉(zhuǎn)動軸的方向，一個確定其它點繞軸轉(zhuǎn)動的角度。定點轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)動軸的方向隨時間變化，轉(zhuǎn)動瞬軸在空間描繪的錐面稱空間極面，在剛體內(nèi)描繪的錐面稱本體極面。定點轉(zhuǎn)動時，一個角速度矢量（有三個分量）就足以描述剛體運動。2.瞬時轉(zhuǎn)軸(三).歐拉運動學(xué)方程在直角坐標(biāo)系1.速度2.加速度（四）速度和加速度轉(zhuǎn)動加速度向軸加速度解：這個是一般運動問題

例7-1

B當(dāng)飛機在空中以定值速度V沿半徑為R的水平圓形軌道C轉(zhuǎn)彎時，求當(dāng)螺旋槳尖端B與中心A的聯(lián)線和沿垂線成θ角時，點的速度及加速度。已知螺旋槳的長度AB＝l，螺旋槳自身旋轉(zhuǎn)的角速度為ω1。因此，B點的速度為：B點的加速度為：

求解剛體定點轉(zhuǎn)動的基本方程是角動量方程。如果剛體繞定點O以角速度轉(zhuǎn)動，則由角動量定理可得(一)定點轉(zhuǎn)動的角動量定理§7.2歐拉動力學(xué)方程利用第三章的慣量張量,可以寫出角動量定理的分量形式(二).歐拉的兩點簡化2.取慣量主軸為坐標(biāo)軸1.采用本體坐標(biāo)系由于剛體相對于靜止坐標(biāo)系是運動的，故上式左部所包含的慣量系數(shù)必然都是時間t的函數(shù)。這使得方程（7.2—3）的求解極為復(fù)雜。如果采用本體坐標(biāo)系則慣量系數(shù)將均為常數(shù).從而使問題的求解得以簡化。所謂本體坐標(biāo)系就是固著在剛體上的坐標(biāo)系。當(dāng)取慣量主軸為本體坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸時,全部慣量積便均為0,于是可以使問題的求解大為簡化.(三).歐拉方程基本方程將坐標(biāo)系固聯(lián)于剛體，則但為什么？取慣量主軸為坐標(biāo)軸，有歐拉動力學(xué)方程機械能守恒(四)由拉格朗日方程推導(dǎo)歐拉方程

以三個歐拉角、、為廣義坐標(biāo)，取剛體的三條慣量主軸為動坐標(biāo)系的x、y、z軸。由第五章討論知道，當(dāng)廣義坐標(biāo)為角量時，對應(yīng)的廣義力為沿轉(zhuǎn)動軸方向的外力炬分量。但與、對應(yīng)的廣義力并不是沿慣量主軸方向的力矩分量，而是沿著節(jié)線方向和固定坐標(biāo)系Z軸的力矩分量，只有與廣義坐標(biāo)對應(yīng)的廣義力才是沿主軸（z軸）方向的力矩分量。下面，利用拉格朗日方程推導(dǎo)z分量的歐拉動力學(xué)方程。利用歐拉運動學(xué)方程這就是z分量的歐拉動力學(xué)方程。由于把哪一個主軸作為z軸是完全任意的，因此我們可以通過輪換下標(biāo)的方法寫出沿其它兩個方向的歐拉動力學(xué)方程。對所有軸的方程為這就是由拉格朗日方程推導(dǎo)出的剛體定點運動時的歐拉動力學(xué)方程。

值得指出的是，如只限于在正交系中求解，則方程（7.2-11）的第三式是唯一能夠直接用拉格朗日方程導(dǎo)出的方程，而其它兩式都不能通過拉格朗日方程直接求得，其原因如前面所述，與廣義坐標(biāo)對應(yīng)的廣義力不是，而是沿節(jié)線方向和固定坐標(biāo)系Z軸方向的力矩分量。事實上，在很多情況下，我們并不需要知道歐拉動力學(xué)方程，而是直接利用拉格朗日方程給出以歐拉角為廣義坐標(biāo)的剛體定點運動的微分方程。以歐拉角為廣義坐標(biāo)的剛體定點運動的拉格朗日函數(shù)為(一).幾種可解情況

一個剛體，除約束反力外，有時只在重力作用下作定點轉(zhuǎn)動，我們把這種剛體叫重剛體，例如陀螺．陀螺下端和地面接觸的那一點是一個定點．已知的可解情況

1.歐勒—潘索情況外力的合力通過固定點O，固定點O和剛體的重心G相重合，形狀沒有限制——不對稱陀螺或歐勒陀螺。

2.拉格朗日—泊松情況

I1＝I2≠I3，剛體的重心則位于動力對稱軸上但不與固定點重合——回轉(zhuǎn)儀，也叫拉格朗日陀螺或簡稱陀螺。

3．C．D．可娃列夫斯卡雅情況

I1＝I2

＝2I3，重心在慣量橢球的赤道平面上——對稱陀螺?！?.3重剛體定點轉(zhuǎn)動的求解(二).歐勒—潘索情況歐勒動力學(xué)方程一般情況仍難以求解，若I1=I2，求導(dǎo)總角速度的大小方向繞Oz作勻速轉(zhuǎn)動，繪圓錐體周期為利用第一積分和歐勒運動學(xué)方程，可求出運動規(guī)律。歐勒運動學(xué)方程首先注意，動量矩是恒矢量（M=0）取其方向為ζ（與同方向），它在固定坐標(biāo)系的分量與也相同。再以代入積分，得除了繞z軸自轉(zhuǎn)，還繞ζ軸進動天文地軸地理地軸從地球看天文地軸（地球轉(zhuǎn)動瞬軸）繞地理地軸（地球的對稱軸）轉(zhuǎn)動因這種現(xiàn)象在天文學(xué)上叫做緯度變遷。由于太陽引力和月球引力對地球質(zhì)心的力矩不為零，這只是一種近似。實際測量的結(jié)果為為14個月。所以，天文地軸繞地理地軸轉(zhuǎn)動的周期為K與進動角速度同方向(三).拉格朗陀螺因為現(xiàn)在我們所研究的對象是對稱陀螺，如果如取對稱軸為z軸，則三個主轉(zhuǎn)動慣量可用

表示，其轉(zhuǎn)動動能為

勢能1.動能和勢能可寫出拉格朗日函數(shù)和因中不顯含，即和都是循環(huán)坐標(biāo)，得2.拉格朗日函數(shù)與守恒量即因為，廣義能量守恒令3.章動的求解只要知道x與t的關(guān)系，運動