專升本高數(shù)第一章極限與連續(xù)ppt課件

1、第一章 極限和連續(xù),一） 數(shù)列的極限,1. 數(shù)列,單調數(shù)列,有界數(shù)列,1.1 極限,2. 數(shù)列的極限,如果當n 無限增大時, xn 無限地接近于常數(shù) a , 那末稱 a 為數(shù)列xn的極限,表示 n 很大時， xn 幾乎都凝聚在點 a 的近旁,數(shù)列極限的幾何解釋,有極限的數(shù)列稱為收斂數(shù)列，反之稱為發(fā)散數(shù)列,定理2（有界性）收斂數(shù)列必有界,二) 收斂數(shù)列的性質,定理1（唯一性）若數(shù)列xn收斂，則其極限值唯一,極限存在準則,準則1.單調有界數(shù)列必有極限,有界是數(shù)列收斂的必要條件， 單調有界是數(shù)列收斂的充分條件,極限運算法則,三） 函數(shù)的極限,1. 當 x 時函數(shù)的極限,1)定義 對于函數(shù) f (x)

2、，如果當 x 時， f (x) 無限趨近于常數(shù)A，則稱A為函數(shù) f (x) 當 x 時的極限，記為,3)定義 對于函數(shù) f (x)，如果當 x- 時， f (x) 無限趨近于常數(shù)A，則稱A為函數(shù) f (x) 當 x -時的極限，記為,2)定義 對于函數(shù) f (x)，如果當 x+ 時， f (x) 無限趨近于常數(shù)A，則稱A為函數(shù) f (x) 當 x +時的極限，記為,無極限舉例,2. 當 x x0 時函數(shù)的極限,1)定義 對于函數(shù) f (x)，如果當 x 無限地趨近于 x0 時，函數(shù) f (x)無限地趨近于一個常數(shù)A，則稱A為函數(shù) f (x)當 x x0時的極限，記為,3)定義 對于函數(shù) f (

3、x)，如果當 x 從x0右邊無限地趨近于 x0 時，函數(shù) f (x)無限地趨近于一個常數(shù)A，則稱A為函數(shù) f (x)當 x x0時的右極限，記為,2)定義 對于函數(shù) f (x)，如果當 x 從x0左邊無限地趨近于 x0 時，函數(shù) f (x)無限地趨近于一個常數(shù)A，則稱A為函數(shù) f (x)當 x x0時的左極限，記為,1,無極限舉例,在討論分段函數(shù)的分割點的極限時， 一定要考慮左、右極限,四) 函數(shù)極限的性質,極限運算法則,0”是作為無窮小的唯一的常數(shù),五) 無窮小(量)和(無窮大量,1. 無窮小(量,定義：極限為零的數(shù)列和函數(shù)稱為無窮小,定義：絕對值無限增大的數(shù)列或函數(shù)稱為無窮大,2. 無窮大

4、,3. 無窮小與無窮大的關系,定理2. 設 為無窮小，u 有界，則 u 也是無窮小,推論1. 常數(shù)乘以無窮小仍是無窮小,推論2. 無窮小乘以無窮小仍是無窮小,推論. 有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小,有限個無窮小的乘積仍是無窮小,定理1. 設 和 為無窮小，則 也是無窮小,4. 無窮小(量)的基本性質,1. 兩個重要極限,六) 兩個重要極限,兩個無窮小的商實際反映了在變化過程中趨于零的速度快慢程度。為此引入定義,兩個無窮小的代數(shù)和、積仍為無窮小，那么兩個無窮小的商會是什么呢,2. 無窮小的比較,3. 無窮小的主部,等價無窮小的代換定理,當 x 0 時，常見的等價無窮小,1.2 函數(shù)的連續(xù)性,連續(xù)

5、的三個要素,一) 函數(shù)連續(xù)的概念,定義1設函數(shù) f (x) 在點 x0 的某個鄰域內有定義, 如果當自變量增量 x 趨于零時，對應的函數(shù)增量 y = f ( x0+ x)f ( x0 )也趨于零，那末稱函數(shù) f (x) 在 x0 處連續(xù),f (x) 在 x0 點處有定義、有極限、極限值等于函數(shù)值,1. 函數(shù)在點 x0 處連續(xù),定理1.函數(shù) f (x) 在點 x0 處連續(xù)的充要條件是： 函數(shù) f (x) 在點 x0 處既左連續(xù)又右連續(xù),左、右連續(xù),如果 f (x) 在 (a,b) 內任意一點連續(xù)，則稱 f (x) 在(a,b) 上連續(xù)，或稱 f (x) 為 (a,b) 上的連續(xù)函數(shù)。如果 f (

6、x) 在 (a,b) 上連續(xù)，且在 x=a 處右連續(xù)，在 x=b 處左連續(xù)，則稱 f (x) 在 a,b 上連續(xù),2. 函數(shù)在區(qū)間a,b 上連續(xù),3. 函數(shù)的間斷點,間斷點的常見類型,如果函數(shù) f (x) 在 x0 處不 連續(xù)(即連續(xù)的三個要素中有一個不滿足)，那末稱 f (x) 在 x0 處間斷,無窮間斷點,震蕩間斷點,左、右極限均存在的間斷點,稱為第一類間斷點，其余的間斷點,稱為第二類間斷點,跳躍間斷點,可去間斷點,二) 函數(shù)在一點處連續(xù)的性質,定理4. 如果函數(shù) y = f (x) 在某個區(qū)間上嚴格單調增(或降) 且連續(xù)，那末它的反函數(shù) x = (y) 在對應的區(qū)間上也嚴格單調增(或降) 且連續(xù),推論：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是有界函數(shù),定理5. (最大值、最小值定理,三) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質,結論：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的,閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)至少取得最大值，最小值各一次,定理 6. (介值定理,推論