小學(xué)奧數(shù)-幾何五大模型(鳥頭模型

1、三角形等高模型與鳥頭模型模型二 鳥頭模型兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比如圖在中，分別是上的點(diǎn)如圖 (或在的延長線上，在上如圖 2)，則 圖 圖【例 1】 如圖在中，分別是上的點(diǎn)，且，平方厘米，求的面積 【解析】 連接，所以，設(shè)份，則份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米由此我們得到一個(gè)重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比 【鞏固】如圖，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面積等于1，那么三角形的面積是多少？ 【解析】 連接 又

2、，【鞏固】如圖，三角形ABC被分成了甲(陰影部分)、乙兩部分，乙部分面積是甲部分面積的幾倍？ 【解析】 連接，又，【例 2】 如圖在中，在的延長線上，在上，且，平方厘米，求的面積 【解析】 連接， ，所以，設(shè)份，則份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米由此我們得到一個(gè)重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比【例 3】 如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，三角形AFE(圖中陰影部分)的面積為8平方厘米平行四邊形的面積是多少平方厘米？【解析】 連接FB三角形AFB面積是三角形CFB面積的2倍，而三角形AFB面積是三

3、角形AEF面積的2倍，所以三角形ABC面積是三角形AEF面積的3倍；又因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e是三角形ABC面積的2倍，所以平行四邊形的面積是三角形AFE面積的倍因此，平行四邊形的面積為(平方厘米)【例 4】 已知的面積為平方厘米，求的面積【解析】 ，設(shè)份，則份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米【例 5】 如圖，三角形的面積為3平方厘米，其中，三角形的面積是多少？【解析】 由于，所以可以用共角定理，設(shè)份，份，則份， 份，由共角定理，設(shè)份，恰好是平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，三角形的面積是平方厘米【例 6】 (2007年”走美”五年級初賽試題)如圖所示，正方形邊長為6厘米，三角

4、形的面積為_平方厘米【解析】 由題意知、，可得根據(jù)”共角定理”可得，；而；所以；同理得，;，故(平方厘米)【例 7】 如圖，已知三角形面積為，延長至，使；延長至，使；延長至，使，求三角形的面積 【解析】 (法)本題是性質(zhì)的反復(fù)使用連接、，同理可得其它，最后三角形的面積(法)用共角定理在和中，與互補(bǔ)，又，所以同理可得，所以【例 8】 如圖，平行四邊形，平行四邊形的面積是， 求平行四邊形與四邊形的面積比 【解析】 連接、根據(jù)共角定理 在和中，與互補(bǔ)，又，所以同理可得，所以所以【例 9】 如圖，四邊形的面積是平方米，求四邊形的面積 【解析】 連接由共角定理得，即同理，即所以連接，同理可以得到所以平方

5、米【例 10】 如圖，將四邊形的四條邊、分別延長兩倍至點(diǎn)、，若四邊形的面積為5，則四邊形的面積是 【解析】 連接、由于，于是，同理于是再由于，于是，同理于是那么【例 11】 如圖，在中，延長至，使，延長至，使，是的中點(diǎn)，若的面積是，則的面積是多少？【解析】 在和中，與互補(bǔ)，又，所以同理可得，所以【例 12】 如圖，求【解析】 本題題目本身很簡單，但它把本講的兩個(gè)重要知識點(diǎn)融合到一起，既可以看作是”當(dāng)兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等或互補(bǔ)時(shí)，這兩個(gè)三角形的面積比等于夾這個(gè)角的兩邊長度的乘積比”的反復(fù)運(yùn)用，也可以看作是找點(diǎn)，最妙的是其中包含了找點(diǎn)的種情況最后求得的面積為【例 13】 如圖所示，正方形邊長為厘

6、米，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，三角形的面積是多少平方厘米？ 【解析】 連接、因?yàn)椋鶕?jù)”當(dāng)兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等或互補(bǔ)時(shí)，這兩個(gè)三角形的面積比等于夾這個(gè)角的兩邊長度的乘積比”，再根據(jù)”當(dāng)兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等或互補(bǔ)時(shí)，這兩個(gè)三角形的面積比等于夾這個(gè)角的兩邊長度的乘積比”，得到，所以平方厘米【例 14】 四個(gè)面積為的正六邊形如圖擺放，求陰影三角形的面積 【解析】 如圖，將原圖擴(kuò)展成一個(gè)大正三角形，則與都是正三角形假設(shè)正六邊形的邊長為為，則與的邊長都是，所以大正三角形的邊長為，那么它的面積為單位小正三角形面積的49倍而一個(gè)正六邊形是由6個(gè)單位小正三角形組成的，所以一個(gè)單位小正三角形的面積為，三角形的面積為由于，所以與三角形的面積之比為同理可知、與三角形的面積之比都為，所以的面積占三角形面積的，所以的面積的面積為【鞏固】已知圖中每個(gè)正六邊形的面積都是1，則圖中虛線圍成的五邊形的面積是 【解析】 從圖中可以看出，虛線和虛線外的圖形都等于兩個(gè)正六邊形的一半，也就是都等于一個(gè)正六邊形的面積；