北師版數學七年級上冊一元一次方程經典例題

1、第三章 一元一次方程 教學重點：1、一元一次方程和方程的解的概念；2、理解和應用等式的性質；3、找相等關系列一元一次方程，用合并、移項解一元一次方程；4、去括號法則在解方程中的熟練應用；5、利用“去分母”將方程作變形處理；6、建立方程解決實際問題，會解 “axb=c”類型的一元一次方程。7、將實際問題抽象為方程，列方程解應用題。精例精析例1、判斷下列各式中，哪些是方程？哪些是一元一次方程？ (1)1+2=3 ； (2)； (3) =0； (4) R2； (5)； （6）分析：判斷一個式子是不是方程，第一要看是不是含有未知數；第二要看是不是等式；判斷方程是不是一元一次方程，第一要看是不是只含有一

2、個字母（看作未知數）；第二要看，未知數的次數是不是都為1.解：方程：(2)； (3)=0；(5)；（6） 一元一次方程：(2)；(5)【小結】：在運用定義進行判斷時，通?？蓮恼磧蓚€方面著手：完全符合條件的，必屬所定義類別；只要有一個條件不符合，必不屬于所定例2、已知是關于的一元一次方程，求的值.分析：本題的解題關鍵是緊扣一元一次方程系數和指數的限制，建立相應全面的數量關系.解：由題意可知該方程是一元一次方程，所以二次項的系數必須為0，即，;而一次項系數，則，綜合以上， 【小結】：正確識別一元一次方程應注意以下幾點：（1）只含有一個未知數：（2）未知數的次數是1（若次數不是1的項，其系數必須為

3、0）；（3）未知數的系數不為0.例3、解下列一元一次方程：（1） （2）分析：將方程中含有未知數的項移到左邊，把常數項移到右邊，通過合并，把系數化為1就可以求出方程的解.解：（1）移項，得： 合并同類項，得：系數化為1，得：（2）移項，得： 合并同類項，得： 系數化為1，得：【小結】：（1）合并同類項：合并是指根據分配律，把含的幾項合并成一個式子.如： （2）移項：方程中的任何一項，都可以在改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這類變形叫做移項，這個法則叫做移項法則，利用移項求出方程解的方法叫做移項法.移項的根據是等式的性質.例4、解方程 (1) ； (2) .分析：與前面學過的方程相比，本題多

4、了括號，只要能去掉括號，就轉化為已經學過的問題了；含有多重括號的方程，在解題過程中應按照由內到外（或由外到內）的順序依次去括號.解：（1）去括號，得： 移項，得： 合并同類項，得： 系數化為1，得： （2）去中括號，得： 去小括號，得： 移項，得： 合并同類項，得： 系數化為1，得：【小結】：去括號法則：括號外的因數是正數時，去括號后各項的符號與原括號內相應各項的符號相同；括號外的因數是負數時，去括號后各項的符號與原括號內相應各項的符號相反；有多重括號時，要按照由內到外（或由外到內）的順序依次去括號.例5、解方程 （1）； （2）分析：與前面學過的方程相比，本題多了分母，如果能去掉分母就可以轉

5、化為整式方程；方程中含有小數，特別是分母含有小數，計算起來比較麻煩。解這類方程時，先利用分數的性質把分子、分母同時擴大相同的倍數.解：（1）去分母，得： 去括號，得： 移項，得： 合并同類項，得： 系數化為1，得： （2）利用分數基本性質去掉分母中的小數，得： 去分母，得： 去括號，得： 移項，得： 合并同類項，得： 系數化為1，得：【小結】：去分母的方法：對于含有分數系數的方程，可以運用等式的性質2，在方程的兩邊同乘以所有分母的最小公倍數，將方程化為整系數的方程.這種化簡的方法叫做去分母.例6、解方程 （1）； （2）分析：與前面學過的方程相比，本題多了分母，如果能去掉分母就可以轉化為整式方

6、程；方程中含有小數，特別是分母含有小數，計算起來比較麻煩.解這類方程時，先利用分數的性質把分子、分母同時擴大相同的倍數.解：（1）去分母，得：10x5（x1）=202(x3) 去括號，得：10x5x+5=202x+6 移項，得：10x5x+2x=20+65 合并同類項，得：7x=21 系數化為1，得：x=3 （2）利用分數基本性質去掉分母中的小數，得： 去分母，得：4（x1）0.8x=1.2 去括號，得：4x40.8x=1.2 移項，得：4x0.8x=1.2+4 合并同類項，得：3.2x=5.2 系數化為1，得：x=【小結】：（1）在解方程時，應注意觀察方程的特點，根據方程的特點，靈活把握求解

7、的方法步驟；（2）求解過程中的步驟并不是固定不變的；（3）通過解方程體驗轉化思想.例7、學校新進一批教學設備，共由若干個小箱組成，讓七（1）班的學生去運，若每人8箱，還余36箱；若每人10箱，還缺少44箱. 問這批設備共有多少箱？這個班有多少人？分析：若設這批設備為未知數，那么相等關系是“表示七（1）班多少人的兩個不相同的式子”；同樣可以設七（1）班的人數為未知數。解：設七（1）班有名學生，則這批設備可以表示為箱或箱，根據題意列方程，得： 移項，得： 合并同類項，得： 系數化為1，得：，那么答：這批設備有356箱，這個班有40人.【小結】：列一元一次方程解實際問題找等量關系是關鍵， 注意抓住基

8、本等量關系：表示同一個量的兩個不同的式子相等。 例8、根據我省“十二五”鐵路規(guī)劃，連云港至徐州客運專線項目建成后，連云港至徐州的最短客運時間將由現在的2小時18分鐘縮短為36分鐘，其速度每小時將提高260km,求提速后的火車速度.(精確到1km/h)解：設提速后的火車速度是x km/h，根據題意，得：2.3(x260)=0.6x, 解得x=352.答：提速后的火車速度是352km/h.1、總結：解較簡單的一元一次方程的步驟：移項：將常數項放在等號的右邊，未知數的項放在等號的左邊；合并：將同類項進行合并，一般要逆用分配律；系數化為1：用等式的性質2，化成的形式.2、列方程解應用題的一般步驟：（1

9、）設恰當的未知數，并用表示相關的量；（2）根據相等關系列一元一次方程；（3）解一元一次方程；（4）作答.3、去括號解方程時，一是：要注意不要漏乘項，二是：當括號外的因數是負數時，要注意去掉括號后的各項都要變號例題變招例9、已知方程，求整式的值.分析：如果按照解含分母的一元一次方程的一般步驟，最小公分母就會比較大，給我們計算帶來麻煩，再觀察已知方程和要求整式，方程中含有，整式中含有，它們只相差個負號.解：由，得：，即： 原整式=【小結】：對于解分母比較大的方程，應該首先觀察方程的結構特征，然后運用技巧根據特征可以簡化計算.例10、已知關于x的方程和有相同的解，求這個相同的解.解：甲的研究 先用a

10、分別表示兩個方程的解，再求出a，從而解出x. 由得：7x=2a， x=. 由得：21x=272a, x=. 兩個方程的解相同，=，a=. 相同的解為x=. 乙的探究 3，得：21x=6a. 由知，27-2a=6a, a=. x=. 丙的探究 由得：a=， ，解得：x=.【小結】：解答此類題目首先要用含有字母的式子表示方程的解，然后根據特征計算出結果；本題采用了三種方法求出了x的值，請同學們比較一下哪種方法簡單。中考直通車例11、去年秋季以來，我市某鎮(zhèn)遭受百年一遇的特大干旱，為支援該鎮(zhèn)抗旱，上級下撥專項抗旱資金80萬元用于打井已知用這80萬元打灌溉用井和生活用井共58口，每口灌溉用井和生活用井分

11、別需要資金4萬元和0.2萬元，求這兩種井各打多少口？解：設灌溉用井打x口，生活用井打58x口，由題意得： 4x+0.2(58x)=80 解得：x=18 那么58x=40答：灌溉用井打18口，生活用井打40口【小結】：找等量關系是關鍵，注意抓住基本等量關系：總量各部分量的和。例12、在長為10m,寬為8m的矩形空地中，沿平行于矩形各邊的方向分割出三個全等的小矩形花圃，其示意圖如圖所示求小矩形花圃的長和寬 解：設小矩形的長為x m，由題意得： 10x=8（102x） 解得：x=4 那么102x=2答：小矩形花圃的長和寬分別為4m, 2m.四、歸納小結 1、解一元一次方程的一般步驟：去分母，注意方程

12、中所有項都乘以最小公倍數.去括號，注意括號前的數和符號一起與括號內每項相乘.移項，注意移的項變號，未移的項不變.合并同類項，注意未知項的系數相加作為未知項的系數，常數項合并作常數項.系數化為1，方程兩邊都除以未知項的系數或都乘以未知項系數的倒數.注意：上述步驟不是一成不變的，要根據方程的特點，靈活處理，如有時可以先合并同類項再移項。2、解決較復雜的一元一次方程問題時，要靈活運用分類思想和整體代換思想。3、知識總結等式等式的性質方程方程的解一元一次方程和它的解法解方程一元一次方程的應用 例13、某糧庫裝糧食，第一個倉庫是第二個倉庫存糧的3倍，如果從第一個倉庫中取出20噸放入第二個倉庫中，第二個倉

13、庫中的糧食是第一個中的.問每個倉庫各有多少糧食？解：設第二個倉庫有x噸糧食，則第一個倉庫有3x噸糧食，根據題意，得： x+20=(3x20)解得：x=30 那么3x=90答：第一個倉庫有90噸糧食，第二個倉庫有30噸糧食.【小結】：在解答應用題時，若題中出現“幾倍”、共、多、少、快、慢、提前、超過、增加、相差等含數量關系的句子，應抓住它們進行分析，以使相等關系顯現出來.例14、某種商品的標價是650元，打8折銷售，仍可獲得4%的利潤，這種商品的進價是多少？分析：打折是相對標價而言，而利潤率是相對于進價而言，本題的等量關系是：售價進價 =利潤=進價利潤率. 解：設進價為x元，則：65080%x=

14、4%x. 解得： x=500 經檢驗，符合題意. 答：這種商品的進價是500元.【小結】：商品的利潤率問題常見數量關系：利潤率=；利潤=售價-進價；注意事項：分清利潤與利潤率；打幾折就是按原價的百分之幾十后出售.例15、儲戶到銀行存款，一段時間后，銀行要向儲戶支付存款利息，同時銀行還將代扣由儲戶向國家繳納的利息稅，稅率為利息的20%.（1）將8500元錢以一年期的定期儲蓄存入銀行，年利率為2.2%，到期支取時可得到利息_元.扣除個人所得稅后實得_元；（2）小明的父親將一筆資金按一年期的定期儲蓄存入銀行，年利率為2.2%，到期支取時，扣除所得稅后得本金和利息共計71232元，問這筆資金是多少元？

15、（3）王紅的爸爸把一筆錢按三年期的定期儲蓄存入銀行，假設年利率為3%，到期支取時扣除所得稅后實得利息為432元，問王紅的爸爸存入銀行的本金是多少？分析：利息=本金利率期數，存幾年，期數就是幾，另外，還要注意，實得利息=利息利息稅. 解：（1）利息=本金利率期數=85002.2%1=187元 實得利息=利息（120%）=1870.8=149.6元. （2）設這筆資金為x元，依題意，得： x(12.2%0.8)=71232. 解方程，得：x=70000. 經檢驗，符合題意. 答：這筆資金為70000元. （3）設這筆資金為x元，依題意，得： x33%(120%)=432 解方程，得：x=6000.

16、 經檢驗，符合題意. 答：這筆資金為6000元. 【小結】：利息問題常用公式：利息=本金利率期數；本息=本金+利息；常見數量關系：利息稅=利息稅率；實得利息=利息利息稅；注意月利率與年利率的區(qū)別例16、甲、乙兩地相距162千米，甲地有一輛貨車，速度為每小時48千米，乙地有一輛客車，速度為每小時60千米，求：（1）若兩車同時相向而行，多長時間可以相遇？（2）若兩車同時背向而行，多長時間兩車相距270千米？（3）若兩車相向而行，貨車先開1小時，再過多長時間可以相遇？分析：在行程問題，我們可以先畫示意圖，從圖中就可以得到等量關系解：（1）設x小時可以相遇則由題意可列：48x+60x=162解得：x=

17、1.5答：若兩車同時相向而行，1.5小時可以相遇。（2）設x小時兩車相距270千米則由題意可列：48x+162+60x=270解得：x=1答：若兩車同時背向而行，行駛1小時兩車相距270千米。（3）設再過x小時兩車可以相遇則由題意可列：48(x+1)+60x=162解得：x=答：再過小時兩車可以相遇?！拘〗Y】：能利用示意圖作為建模策略，分析行程問題中的等量關系列方程. 分析問題重在理順路程、時間、速度三者的關系，抓住其中的一條線索路程（或時間或速度）找相等關系，這是解題的關鍵.例17、修筑一條公路，甲工程隊單獨承包要80天完成，乙工程隊單獨承包要120天完成.（1）現在由兩個工程隊合作承包，幾

18、天可以完成？（2）如果甲乙兩工程隊合作了30天，因甲工作隊另有任務，剩下工作由乙工作隊完成，則修好這條公路共需要幾天?分析：工程總量為單位1，甲工程隊每天完成，乙工程隊每天完成（1）解：設由兩個工程隊合作承包，x天可以完成.由題意可列方程：解方程得：所以兩個工程隊合作承包，48天可以完成. （2）分析：甲乙兩工程隊合作了30天，那他們完成的工程為：解：設剩下工作由乙工作隊完成還需要天.由題意可列方程：解方程得： 所以修好這條公路共需要：30+45=75天【小結】： 工程問題中要善于把握什么是總工作量，總工作量可以看成“1”；工程問題中的等量關系一般是各部分完成的工作量之和等于總工作量“1”。例

19、18、如右圖：小杰、小麗分別在400米環(huán)形跑道上練習跑步與競走，小杰每分鐘跑320米，小麗每分鐘走120米，兩人同時由同一點出發(fā)，問幾分鐘后，小麗與小杰第一次相遇？分析：問題中給出的已知量和未知量各是什么？圖中給出了什么信息？如果設x分鐘后，小麗與小杰第一次相遇，請試著完成下表：路程速度時間小麗小杰已知量與未知量之間存在著怎樣的相等關系？小杰跑的路程小麗走的路程=環(huán)形跑道一周的長問題二：小杰、小麗分別在400米環(huán)形跑道上練習跑步與競走，小杰每分鐘跑320米，小麗每分鐘走120米，兩人同時由同一點反向而跑，問幾分鐘后，小麗與小杰第一次相遇？分析：已知量與未知量之間存在著怎樣的相等關系？小杰跑的路

20、程+小麗走的路程=環(huán)形跑道一周的長（1）解：設x分鐘后，小麗與小杰第一次相遇.320x120x=400解得： x=2（2）解：設x分鐘后，小麗與小杰第一次相遇.320x+120x=400解方程得：x=答：分鐘后，小麗與小杰第一次相遇.【小結】：借助示意圖和列表格分析問題，建立等量關系.中考直通車例19、目前“自駕游”已成為人們出游的重要方式“五一”節(jié)，林老師駕轎車從舟山出發(fā)，上高速公路途經舟山跨海大橋和杭州灣跨海大橋到嘉興下高速，其間用了4.5小時；返回時平均速度提高了10千米小時，比去時少用了半小時回到舟山嘉興舟山東海（1）求舟山與嘉興兩地間的高速公路路程；（2）兩座跨海大橋的長度及過橋費見下表：大橋名稱舟山跨海大橋杭州灣跨海大橋大橋長度48千米36千米過橋費100元80元省交通部門規(guī)定：轎車的高速公路通行費（元）的計算方法為：，其中（元千米）為高速公路里程費，（千米）為高速公路里程（不包括跨海大橋長），（元）為跨海大橋過橋費若林老師從舟山到嘉興所花的高速公路通行費為295.4元，求轎車的高速公路里程費解：（1）設舟山與嘉興兩地間的高速公路路程為s千米，由題意得： 解得：s=360答：舟山與嘉興兩地間的高速公路路程為360千米(2) 將x=3604836=276，b=100+80=180，y=295.4，