概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一節(jié)

1、第三章 隨機(jī)向量,本章開始學(xué)習(xí)多維隨機(jī)變量,一維隨機(jī)變量及其分布,多維隨機(jī)變量及其分布,由于從二維推廣到多維一般無實(shí)質(zhì)性的 困難，我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量,它是第二章內(nèi)容的推廣,第一節(jié)二維隨機(jī)向量,第二節(jié)二維隨機(jī)向量函數(shù)的分布,第三節(jié)二維隨機(jī)向量的數(shù)字特征,第五節(jié)n維隨機(jī)向量,第四節(jié)二維正態(tài)分布,第六節(jié)中心極限定理,第七節(jié)大數(shù)定理,本章共七節(jié),第1周,第2周,第3周,習(xí)題課 第4周,1 二 維 隨 機(jī) 向 量,定義,例子,Y：該地區(qū)成年男子的體重,注意,二維隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù),稱,聯(lián)合分布函數(shù)的概率意義,y,o,x, y,x,一個(gè)重要的公式,聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì),2.F (x

2、, y )是變量 x , y 的不減函數(shù)，即,對于任意固定的x , 當(dāng) y1 y2時(shí),對于任意固定的y, 當(dāng) x1 x2時(shí),4.F (x , y )關(guān)于 x 右連續(xù)，關(guān)于 y 也右連續(xù),固定y,固定x,聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)的關(guān)系,離散型二維隨機(jī)變量,聯(lián)合概率函數(shù)和邊緣概率函數(shù),相應(yīng)地，記,分別稱為關(guān)于X、關(guān)于Y的邊緣概率函數(shù),聯(lián)合概率函數(shù)可以用表格來表示,如,稱之為一維表,稱之為二維表,聯(lián)合概率函數(shù)的性質(zhì),正定性,歸一性,聯(lián)合概率與邊緣概率的關(guān)系,若離散型隨機(jī)變量( X,Y )的聯(lián)合概率函數(shù)為,則關(guān)于X的邊緣概率函數(shù)為,關(guān)于Y 的邊緣概率函數(shù)為,聯(lián)合概率與邊緣概率的關(guān)系,即在二維聯(lián)合概率

3、分布表中將各行聯(lián)合概率分別累加,即在二維聯(lián)合概率分布表中將各列聯(lián)合概率分別累加,例1 5件產(chǎn)品中有2件次品3件正品，每次從中任取一件，不放回地連續(xù)取兩次。用X、Y分別表示第一、二次取到的次品數(shù)，寫出(X,Y)的聯(lián)合分布和邊緣分布,解,隨機(jī)向量(X,Y)的所有可能值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1,X的可能取值為0,1，Y的可能取值也是0,1,與第一章學(xué)過的全概率公式吻合,例 2,顯然一維隨機(jī)變量X、Y均服從一維01分布,也可列成二維聯(lián)合概率表,X與Y的聯(lián)合概率分布和邊緣概率分布列表如下,定義 對于二維隨機(jī)變量 ( X,Y )，如果存在非負(fù)可積函數(shù) f (x , y )，使得對于平

4、面上的任意可度量的區(qū)域D，都有,則稱 ( X,Y ) 為連續(xù)型二維隨機(jī)變量，函數(shù) f (x , y )稱為二維隨機(jī)變量 ( X,Y )的密度函數(shù)，或稱為 X 和 Y 的聯(lián)合密度函數(shù)，記為,二維連續(xù)型隨機(jī)變量,聯(lián)合密度函數(shù),聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì),正定性,歸一性,事實(shí)上,聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì),正定性,歸一性,聯(lián)合密度函數(shù)與聯(lián)合分布函數(shù)的關(guān)系,計(jì)算概率的公式,例(P131) 設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的密度函數(shù)為(1).求常數(shù)C； (2).求分布函數(shù)F(x , y,3).求概率,解(1) 由密度函數(shù)的性質(zhì)得,分離變量,或,例,二維均勻分布,設(shè)D是平面上的有界區(qū)域，其面積記為,二維均勻分布幾何意義,邊緣密度

5、函數(shù),和 分別稱為(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣密度函數(shù),聯(lián)合密度函數(shù),若 (X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為,則( X,Y )關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為,若 (X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為,則( X,Y )關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為,關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)為,例（P135,關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為,若二維隨機(jī)變量(X,Y)服從矩形區(qū)域D上的均勻分布，則其分量X和Y均服從一維均勻分布,例（P135） 設(shè)(X，Y)服從區(qū)域D上的均勻分布，其中D是由直線 y = x與拋物線 圍成，求X與Y的聯(lián)合密度及邊緣密度,解 如圖，首先求區(qū)域D的面積，易得,則X與Y的聯(lián)合密度為,下面求邊緣密度,當(dāng) 或 時(shí),當(dāng) 時(shí),用類似的方法求出,區(qū)域

6、D上的二維均勻分布，其分量不一定是一維均勻分布，除非D是矩形區(qū)域,隨機(jī)變量的獨(dú)立性,兩事件A,B獨(dú)立的定義,P(AB)=P(A)P(B,設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對任意的x,y，都有 則稱X,Y相互獨(dú)立,用隨機(jī)變量的語言表達(dá)，即,有關(guān)獨(dú)立性的幾個(gè)充分必要條件,1.隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立的充分必要條件是,離散型隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立的充分必要條件是,3.連續(xù)型隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立的充分必要條件是,定理3.2,定理3.1,另外，還有如下結(jié)論,若隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立，則它們的連續(xù)函數(shù)g (X)與 h (Y) 也相互獨(dú)立,例如,若隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量 2X + 3 與 也相互獨(dú)立,例1,若X,Y相互獨(dú)立，則有,又有,解 二維隨機(jī)變量(X,Y)的所有可能取值為,0,-1) (0,0) (0,1) (1,-1) (1,0) (1,1,接下來先列出 (X,Y)的二維聯(lián)合概率分布表,進(jìn)一步可得,故X與Y不獨(dú)立,例（P141,判斷X與Y的獨(dú)立性,解 (1,所以X與Y獨(dú)立,同理可得,因?yàn)?所以X與Y不獨(dú)立,解,因?yàn)閄與Y獨(dú)立,例（補(bǔ)充,由于當(dāng) 時(shí),小 結(jié),本節(jié)介紹了二維隨機(jī)向量的概念，聯(lián)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)的概