Routh(勞斯)穩(wěn)定判據(jù)

1、5.2 routh()穩(wěn)定判據(jù),定常線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 是其全部特征根均具有負(fù)實(shí)部。 判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也就是要解出系統(tǒng)特征方程的根，看這些根是否均具有負(fù)實(shí)部。 問題提出 但在實(shí)際工作系統(tǒng)中，特征方程式的階次往往較高，當(dāng)階次高于4時(shí)，根的求解就較困難。 為避開對(duì)特征方程的直接求解，討論特征根的分布，看其是否全部具有負(fù)實(shí)部，以此來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性,routh判據(jù)是基于方程式根和系數(shù)的關(guān)系建立的。 通過對(duì)系統(tǒng)特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，得出全部根具有負(fù)實(shí)部的條件，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 這種穩(wěn)定判據(jù)又稱代數(shù)判據(jù),一、系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件,設(shè)系統(tǒng)特征方程為： 將式5. 2. 1)中各項(xiàng)同除以

2、qn并分解因式，得,5.2.1,從式(5.2.4)可知，要使全部特征根均具有負(fù)實(shí)部，就必須滿足以下兩個(gè)條件，即系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。 (1)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)都不等于零。 因?yàn)槿粲幸幌禂?shù)為零，則必出現(xiàn)實(shí)部為零的特征根或?qū)嵅坑姓胸?fù)的特征根，才能滿足式（5.2-4)中各式，此時(shí)系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定或不穩(wěn)定。 (2）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)都相同 按習(xí)慣，一般取ai為正值，因此，上述兩個(gè)條件可歸結(jié)為系統(tǒng)穩(wěn)定的一個(gè)必要條件，即 an0，an-10，a10，a00 (5.2.5,5.2.4,必要條件,定理：對(duì)特征方程 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：特征方程各項(xiàng)系數(shù)為正，且不缺項(xiàng),二、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件,1. rout

3、h表 將式(5.2.1)所示的系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)按下列形式排列成routh表,第n1行(s0行）僅有一項(xiàng)，并等于特征方程常數(shù)項(xiàng)a0,routh表,routh表一共有n +1行，n為特征方程的階次。routh表第一、二行是特征方程的系數(shù)，第一行為an、an-2、an-4、，第二行為an-1、an-3、an-5、。第三行以后，需要逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算。缺項(xiàng)的位置，按零計(jì)算,2. routh穩(wěn)定判據(jù),routh判據(jù) routh表中第一列各元符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)。 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 routh表中第一列各元的符號(hào)均為正，且值不為零。特征方程具有正實(shí)部根的個(gè)數(shù)等于routh表

4、第一列中系數(shù)改變符號(hào)的次數(shù),例1系統(tǒng)的特征方程為： d(s)s4+s3-19s2+11s+300 因其系數(shù)符號(hào)不同，因此，不滿足穩(wěn)定的必要條件，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 應(yīng)用routh表確知其具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)。列routh表如下,第一列各元符號(hào)改變次數(shù)為2，從而，不但可知系統(tǒng)不穩(wěn)定，而且可知系統(tǒng)有兩個(gè)具有正實(shí)部的特征根,對(duì)于階次較低的系統(tǒng)（如二階和三階系統(tǒng)），routh穩(wěn)定判據(jù)可以化為如下的簡(jiǎn)單形式。 (1)二階系統(tǒng)(n=2)穩(wěn)定的充要條件為： a20，a10，a00 （5. 2. 6） (2)三階系統(tǒng)(n=3)穩(wěn)定的充要條件為： a30，a20，a10，a00，a1a2-a0a30 (5. 2.

5、7) 式（5.2. 7）中，由a1a2-a0a30可看出，在a3,a2和a0均為正的情況下，若a1為負(fù)，則不能滿足上式，因此必須a10,其實(shí)，這就是a3,a2,a1,a0均應(yīng)大于零。 式(5.2.7)中，充要條件之一a1a2-a0a3 0可改寫為 a1a2a0a3 它表示中間二項(xiàng)系數(shù)之積應(yīng)大于前后兩項(xiàng)系數(shù)之積。 因此，對(duì)于三階系統(tǒng)，只要校驗(yàn)其特征方程的系數(shù)，若不滿足上述條件，就可立即判斷為不穩(wěn)定；若滿足上述條件，且各項(xiàng)系數(shù)均為正，則為穩(wěn)定,例 控制系統(tǒng)特征方程如下，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性,s4 2 8 2 s3 2 3 0 s2 0 s1 0 0 s0 2 0 0,routh表為,故系統(tǒng)穩(wěn)定,例3,s

6、4 1 8 20 s3 5 16 0 s2 4.8 20 0 s1 4.83 0 0 s0 20 0 0,第一列符號(hào)改變兩次，說明有兩個(gè)根在右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定,例2,解：由圖5.2.1可分別求得系統(tǒng)的開環(huán)及閉環(huán)傳遞函數(shù)，即 開環(huán) 閉環(huán) 閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征方程 代入已知參數(shù),設(shè)有系統(tǒng)的方框圖如圖5.2.1所示。已知=0.2及n=86. 6,試確定k取何值時(shí)，系統(tǒng)方能穩(wěn)定,列routh表,由系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，有 (1) 7500k0,亦即k 0, 顯然，這就是由必要條件所得的結(jié)果。 (2）(34.6x7500-7500k)/34.60，亦即k 34. 6 故能使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)k的取值范圍為0

7、k 34.6,例3設(shè)某系統(tǒng)的特征方程 試確定待定參數(shù)及，以便使系統(tǒng)穩(wěn)定。 解根據(jù)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)，列出routh表,根據(jù)routh表，由系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，有 所以，使系統(tǒng)穩(wěn)定的叔產(chǎn)的取值范圍為 0及1,三、routh判據(jù)的特殊情況,1)如果在routh表中任意一行的第一個(gè)元為零，而其后各元均不為零或部分地不為零，則在計(jì)算下一行第一個(gè)元時(shí)，該元必將趨于無(wú)窮大。于是，routh表的計(jì)算將無(wú)法進(jìn)行。 為了克服這一困難，可以用一個(gè)很小的正數(shù)。來代替第一列等于零的元，然后計(jì)算routh表的其余各元,routh表第一列出現(xiàn)零元素，用很小的正數(shù)代替，繼續(xù)進(jìn)行,例,s5 1 2 1 s4 2 4 1 s3

8、 0 0 s2 1 0 s1 0 0 s0 1 0 0,系統(tǒng)不穩(wěn)定，第一列元素兩次變號(hào)，有兩個(gè)正根在右半平面,例4設(shè)系統(tǒng)的特征方程為 d(s)=s5+2s4+24s3+48s2-25s-50=0 試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 根據(jù)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)，列出routh表,由于第一列各元符號(hào)不完全一致，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列各元符號(hào)改變次數(shù)為2，因此有兩個(gè)具有正實(shí)部的根。 其實(shí)，從特征方程各項(xiàng)系數(shù)不全為正，即可知系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 若上下各元符號(hào)不變，且第一列元符號(hào)均為正，則有共扼虛根，此時(shí)系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，而非漸近穩(wěn)定,2)如果當(dāng)routh表的任意一行中的所有元均為零時(shí)，系統(tǒng)的特征根中，或存在兩個(gè)符號(hào)相

9、異、絕對(duì)值相同的實(shí)根；或存在一對(duì)共扼純虛根；或上述兩種類型的根同時(shí)存在；或存在實(shí)部符號(hào)相異、虛部數(shù)值相同的兩對(duì)共扼復(fù)數(shù)根。 利用該行的上一行的元構(gòu)成一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并用這個(gè)多項(xiàng)式方程的導(dǎo)數(shù)的系數(shù)組成routh表的下一行。 routh表中其余各元的計(jì)算繼續(xù)進(jìn)行下去。 這些數(shù)值相同、符號(hào)相異的成對(duì)的特征根，可通過解由輔助多項(xiàng)式構(gòu)成的輔助方程得到，即2p階的輔助多項(xiàng)式有這樣的p對(duì)特征根,某一行全為零，用上一行對(duì)應(yīng)系數(shù)構(gòu)成輔助方程，對(duì)s求導(dǎo)，將得到的新方程系數(shù)取代原零行，繼續(xù)進(jìn)行,例3,s6 1 6 9 4 s5 1 5 4 0 s4 1 5 4 0 s3 s2 2.5 4 0 0 s1 3.6 0 0 0 s0 4 0 0 0,0 0 0 0,4 10 0 0,輔助方程,某行全為零，說明存在對(duì)稱于原點(diǎn)的根,求導(dǎo),輔助多項(xiàng)式還可用于求得關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根。階數(shù)為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱根的個(gè)數(shù),s1,2=j, s3,4=2j,因式分解得另兩個(gè)根為,3，特征方程在虛軸上有重根,s5 1 2 1 s4 1 2 1 s3 0 s2 1 1 0 s1 0 0 s0 1 0 0,虛根為重根，系統(tǒng)響應(yīng)具有tsin(t+) 形式，不穩(wěn)定。首列元素沒變號(hào)，但與s2、s4對(duì)應(yīng)的輔助多項(xiàng)式分別為（s2+1）和（s4+2 s2 +1），說明特征方程虛軸上有重根,例5