隨機信號的參數(shù)建模法

1、第6章.功率譜的估計,6.1 經(jīng)典法,兩種經(jīng)典譜估計方法,1.直接法（ 周期圖法） 2.間接法（BT法,頻率分辨率,假設(shè)兩個正弦信號之和,頻譜泄漏,經(jīng)典譜估計的改進,窗函數(shù)法,平均法 由概率論可知，對L個具有相同的均值和方差的獨立隨機變量，新隨機變量的均值不變，方差減小了L倍,解決矛盾的方法：數(shù)據(jù)交疊,平均法的矛盾,要減小方差，需要增加段數(shù)L。 每一段的數(shù)據(jù)M不能太少，否則譜峰將展寬，偏倚變大，從而分辨率會變差。所以段數(shù)L不能太大，即方差減少不多,Welch法,經(jīng)典譜估計的說明,經(jīng)典譜估計，都用FFT快速計算 譜的分辨率較低 由于不可避免有窗函數(shù)的影響，使得譜在窗口主瓣內(nèi)的功率向邊瓣部分“泄漏

2、” 方差性能不好，不是一致估計，且N增大時譜曲線起伏加劇 周期圖的平均和窗函數(shù)的使用緊密相關(guān)。平均的目的是改善方差性能，但往往會減小分辨率,譜估計的實際問題,數(shù)據(jù)采樣率 每段數(shù)據(jù)的長度 數(shù)據(jù)總長度 數(shù)據(jù)預(yù)處理：濾除直流分量和周期分量(市電干擾,自相關(guān)和譜估計的應(yīng)用,檢測混有周期性確定信號的隨機信號(48g) 相關(guān)測速 (fla) 故障診斷(48h1-1) 各階固有頻率的識別（48a) 振型分析（48b） 機械系統(tǒng)和基礎(chǔ)振動傳遞特性的分析(48c) 結(jié)構(gòu)與設(shè)備的振動監(jiān)測與故障診斷 查找電機噪聲源 監(jiān)視機器的工作狀態(tài)或作故障診斷 查找各種振動源和噪聲源,6.2 參數(shù)模型功率譜估計,三種參數(shù)模型 A

3、R模型參數(shù)的估計 參數(shù)模型功率譜估計,假定所研究的過程x(n)是由一個輸入序列w(n)激勵一個線性系統(tǒng)H(z)的輸出 由已知的x(n)，或其自相關(guān)函數(shù)Rx(m)估計H(z)的參數(shù) 由H(z)的參數(shù)來估計x(n)的功率譜 圖1隨機信號的參數(shù)模型,兩邊取z變換,w(n)為白噪聲 方差為,三種參數(shù)模型 1.1 MA（滑動平均）模型 隨機信號 由當(dāng)前的激勵 和若干次過去的激勵 線性組合產(chǎn)生： (7-1) 該模型的系統(tǒng)函數(shù)是: (7-2) 表示系統(tǒng)階數(shù)，系統(tǒng)函數(shù)只有零點，沒有極點，所以該系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的系統(tǒng)，也稱為全零點模型，用MA（ ）來表示,1.2 AR（自回歸模型) 隨機信號 由本身的若干次過去值

4、 和當(dāng)前的激勵值 線性組合產(chǎn)生： (7-3) 該模型的系統(tǒng)函數(shù)是： (7-4) 是系統(tǒng)階數(shù)，系統(tǒng)函數(shù)中只有極點，無零點，也稱為全極點模型，系統(tǒng)由于極點的原因，要考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因而要注意極點的分布位置，用AR（ ）來表示,1.3 ARMA(自回歸滑動平均）模型 ARMA是AR與MA模型的結(jié)合： (7-5) 該模型的系統(tǒng)函數(shù)是： (7-6) 它既有零點又有極點，所以也稱極零點模型，要考慮極零點的分布位置，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定，用ARMR（ ， ）表示,2.1 AR模型參數(shù)和自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 根據(jù)式(7-3)： 對該式兩邊同時乘以 ，然后求均值： (7-7,2 AR模型參數(shù)的估計,因為自相關(guān)函數(shù)：

5、所以自相關(guān)函數(shù)呈現(xiàn)偶對稱，(7-7)式化為： (7-8) 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 是因果的，所以輸出的平穩(wěn)隨機信號和輸入的白噪聲之間的互相關(guān)函數(shù)有下列推導(dǎo)： (7-9) (7-10,7-11) 所以 (7-12) 帶入式(7-8)得到： (7-13,由于 由z變換的定義： 因而 顯然，AR模型輸出信號的自相關(guān)函數(shù)具有遞推的性質(zhì)，即： (7-14) 上式就是著名的YuleWalker（Y-W）方程，將上式變換： (7-15,從（7-13）求得輸入的白噪聲方差為： (7-16) 將(7-15)和(7-16)結(jié)合，把該式的下標簡化并寫成矩陣的形式，可以寫成單一的正規(guī)矩陣方程： (7-17,例7-1】已知

6、自回歸信號模型AR(3)為： 式中 是具有方差 =1的平穩(wěn)白噪聲，求 a. 自相關(guān)序列 ，m0，1，2，3，4，5。 b. 用a求出的自相關(guān)序列來估計AR(3)的參數(shù) ，以及輸入白噪聲的方差 大小。 c. 利用給出的AR模型，用計算機仿真給出32點觀測值 ,用觀測值的自相關(guān)序列直接來估計AR(3)的參數(shù) 以及輸入白噪聲的,32點觀測值 0.4282 1.1454 1.5597 1.8994 1.6854 2.3075 2.4679 1.9790 1.6063 1.2804 -0.2083 0.0577 0.0206 0.3572 1.6572 0.7488 1.6666 1.9830 2.69

7、14 1.2521 1.8691 1.6855 0.6242 0.1763 1.3490 0.6955 1.2941 1.0475 0.4319 0.0312 0.5802 -0.6177 解：a. 已知的是模型參數(shù) ， 14/24 9/24， 1/24，來求自相關(guān)序列,利用式（7-17）， 把 代入，利用自相關(guān)函數(shù)的偶對稱，得到一個44的的矩陣,解線性方程組得： R(0)= 4.9377 R(1)4.3287 R(2)4.1964 R(3)3.8654 利用式（7-14） 可以求出R(4)，R(5) 3.6481， 3.4027 當(dāng)然還可以求出無窮多的自相關(guān)序列值,b. 已知自相關(guān)序列值，來

8、估計3階AR模型的參數(shù) 以及 利用式（7-17）得到矩陣： (7-18) 解線性方程組得到： 14/24， 9/24， 1/24， 1,c. 利用給出的32點觀測值，先求自相關(guān)序列（按照上節(jié)的樣本自相關(guān)定義 計算） 由于偶對稱只給出m0，1，231的 1.9271 1.6618 1.5381 1.3545 1.1349 0.9060 0.8673 0.7520 0.7637 0.8058 0.8497 0.8761 0.9608 0.8859 0.7868 0.7445 0.6830 0.5808 0.5622 0.5134 0.4301 0.3998 0.3050 0.2550 0.1997

9、 0.1282 0.0637 0.0329 -0.0015 -0.0089 -0.0143 -0.0083,把頭4個相關(guān)序列值代入矩陣（7-18）求得估計值： 0.6984 , 0.2748 0.0915， 0.4678 與真實AR模型參數(shù)誤差為： 0.1151， 0.1002， 0.0498,差分方程,功率譜,AR模型（全極點模型,轉(zhuǎn)移函數(shù),AR模型的正則方程,2.2 YW方程的解法L-D算法,式中 ，k1，2，m，代表m階預(yù)測器的預(yù)測系數(shù),線性預(yù)測,7-19,若序列的模型已知而用過去觀測的數(shù)據(jù)來推求現(xiàn)在和將來的數(shù)據(jù)稱為前向預(yù)測器,已知x(n)在n時刻之前的m個數(shù)據(jù)x(n-m),x(n-m+

10、1), ,x(n-1),預(yù)測n時刻的值x(n,把 看成是系統(tǒng)的輸出， 看成是系統(tǒng)的輸入，得到系統(tǒng)函數(shù),預(yù)測出來的結(jié)果與真實的結(jié)果存在預(yù)測誤差,7-20,假如mp，且預(yù)測系數(shù)和AR模型參數(shù)相同,7-21,即有 ，即前向預(yù)測誤差系統(tǒng)中的輸入為 ，輸出為預(yù)測誤差 等于白噪聲。 前向預(yù)測誤差系統(tǒng)對觀測信號起了白化的作用。 AR模型和前向預(yù)測誤差系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)互為倒數(shù)，所以求AR模型參數(shù)就可以通過求預(yù)測誤差系統(tǒng)的預(yù)測系數(shù)來實現(xiàn),圖2預(yù)測誤差系統(tǒng)和AR模型,預(yù)測誤差均方值,最小均方估計的正交原理： 欲選取最佳的系數(shù)向量，應(yīng)是數(shù)據(jù)向量和誤差正交,7-22,7-23,最小均方誤差,或,7-24,7-25,7-

11、26,也就是p階預(yù)測器的預(yù)測系數(shù)等于p階AR模型的參數(shù)，由于 ，所以最小均方預(yù)測誤差等于白噪聲方差，即,特點：每一階次參數(shù)的計算是從低一階次的模型參數(shù)推算出來的，既可減少工作量又便于尋找最佳的階數(shù)值，滿足精度時就停止遞推,估計AR模型參數(shù)，也即要估計參數(shù),L-D算法的基本思想根據(jù),L-D遞推算法是模型階數(shù)逐漸加大的一種算法,先計算階次m1時的預(yù)測系數(shù),然后計算m2時的預(yù)測系數(shù),一直計算到mp階時的,m1,m=2,把（7-27）的（1）代入上式得到,7-27,7-28,根據(jù)(7-25)，估計的方差為,把(7-28)的（1）代人,7-29,其中 稱為反射系數(shù)，從上式知道整個迭代過程需要已知自相關(guān)函

12、數(shù)，給定初始值 ， 以及AR模型的階數(shù) ，就可以按照下圖所示流程圖進行估計,這樣遞推下去可得到預(yù)測系數(shù)和均方誤差估計的通式,7-30,例7-3】已知自回歸信號模型AR（3）為： 式中 是具有方差 =1的平穩(wěn)白噪聲，利用給出的AR模型，用計算機仿真給出32點觀測值 0.4282 1.1454 1.5597 1.8994 1.6854 2.3075 2.4679 1.9790 1.6063 1.2804 -0.2083 0.0577 0.0206 0.3572 1.6572 0.7488 1.6666 1.9830 2.6914 1.2521 1.8691 1.6855 0.6242 0.1763

13、 1.3490 0.6955 1.2941 1.0475 0.4319 0.0312 0.5802 -0.6177，用L-D算法來估計AR(3)的參數(shù) 以及輸入白噪聲的方差,解：步驟1 利用給出的32點觀測值，先求自相關(guān)序列，由于偶對稱，只給出m0，1，231的 1.9271 1.6618 1.5381 1.3545 1.1349 0.9060 0.8673 0.7520 0.7637 0.8058 0.8497 0.8761 0.9608 0.8859 0.7868 0.7445 0.6830 0.5808 0.5622 0.5134 0.4301 0.3998 0.3050 0.2550

14、0.1997 0.1282 0.0637 0.0329 -0.0015 -0.0089 -0.0143 -0.0083,步驟2，初始化,步驟3，根據(jù)式（7-30）計算,m1,m2,m3,因而當(dāng) 時，估計到的AR模型參數(shù)為,估計的輸入信號的方差為,3 以參數(shù)模型做譜估計,下圖中隨機信號x的譜估計為,以參數(shù)模型做譜估計的特點,AR譜的平滑特性,AR譜的分辨率,4 信號建模的本質(zhì),信號建模的思路： 假定所研究的過程x(n)是由一個輸入序列w(n)激勵一個線性系統(tǒng)H(z)的輸出 問題？ 任意地給定一個平穩(wěn)過程x(n)，均可由一個白噪序列w(n)激勵一個線性系統(tǒng)H(z)來精確地產(chǎn)生,對信號x(n)建立參

15、數(shù)模型，并不是要求模型的輸出x(n)在時域等于x(n),而是要求它們在某一階次上的統(tǒng)計特性相同,準確建?！钡亩x：設(shè)平穩(wěn)隨機過程x(n)存在 r 階模型，使得模型的輸出x(n)在 r 階統(tǒng)計特性上和x(n)的同價統(tǒng)計特性相一致，則把x(n)稱為在 r 階統(tǒng)計意義上可準確建模的隨機過程,5 關(guān)于線性預(yù)測的進一步討論,前向預(yù)測 x(n-m),x(n-m+1),x(m-1,后向預(yù)測 x(n+1),x(n+2),x(n+m,由此可得,前、后向預(yù)測誤差和反射系數(shù)在不同階次的遞推關(guān)系,反射系數(shù),前后預(yù)測誤差之間的相關(guān)系數(shù),6 AR模型系數(shù)的求解,n的取值范圍 在令預(yù)測誤差功率最小時，是單獨使前向預(yù)測誤差功率最小，還是使前后向預(yù)測誤差功率之和最小 是先估計自相關(guān)函數(shù)再求解還是直接由數(shù)據(jù)遞推求解,6.1自相關(guān)法,由自相