對(duì)中考“兄弟連”試題的對(duì)比與評(píng)析

1、對(duì)中考“兄弟連”試題的對(duì)比與評(píng)析2000年上海市的中考?jí)狠S題與廣州市的中考?jí)狠S題，在幾何圖形背景與考查的知識(shí)都有相似之處，是屬于“兄弟連”試題?！暗堋痹囶}較好地繼承了 “兄”試題的亮點(diǎn)，并在新 課程背景下進(jìn)了自主創(chuàng)新， 有效考查了學(xué)生運(yùn)用已學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的綜合分析能 力。下面對(duì)“兄弟連”試題對(duì)比評(píng)析如下：例1、(2000年上海市中考試題)如圖，在半徑為6,圓心角為90o的扇形OAB的弧AB上，有一個(gè)動(dòng)點(diǎn) P, PHL OA垂足為 H OPH的重心為 G(1) 當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段 GO GP GH中，有無(wú)長(zhǎng) 度保持不變的線(xiàn)段？如果有，請(qǐng)指出這樣的線(xiàn)段，并求出相應(yīng)的 長(zhǎng)度；(2

2、) 設(shè)PH=x,GP=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的 定義域；(3) 如果 PGH是等腰三角形，試求出線(xiàn)段PH的長(zhǎng)。解(1)長(zhǎng)度保持不變的線(xiàn)段是 GH,且GU=2延長(zhǎng)HG交OP于C, / G是厶O(píng)PH的重心，CH是斜邊OP上的中線(xiàn)， GH=2 CHOP=1 6 = 2333 延長(zhǎng) PG交 OH于 D,t PH=x 二 OH= 36 - X2 ,而 DP=Jdh 2+PH2 =J（1j36_x2）2+x2 =136+3x22 1 r2- y=GPPD36 x（ 0v x v 6）3 3分類(lèi)討論：在厶PGH中 若 GP=PH寸，則有 1 , 36 3x2 = x 化簡(jiǎn)得：x2 =6 ,

3、x = J63 若GP=GH寸,則有36 - 3x2 = 2 解得x = 0 （不合題意舍去）3 若PH=GH寸,則有 X = 2 .【評(píng)析】第(1)小題中主要抓住了同圓的半徑相等的性質(zhì)，雖然點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng),但OP是O O的半徑始終保持不變，即OP = 6。再結(jié)合直角三角形和三角形重心的性質(zhì) ，使所求 線(xiàn)段GH與已知半徑OP聯(lián)系起來(lái)，從而使問(wèn)題解決；在第(3)小題中，已知 PGH是等腰三角形，但題中沒(méi)有指明哪兩邊是腰， 因此解題中必須對(duì)三角形的三邊進(jìn)行分類(lèi)討論解決,滲透了數(shù)學(xué)中的分類(lèi)思想。例2、(廣州市中考試題)如圖 2,扇形OAB的半徑0A=3，圓心角/ AOB=90，點(diǎn)C是弧AB上異于

4、A、B的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) C作CD丄0A于點(diǎn)D,作CE丄0B于點(diǎn)E,連結(jié)DE，點(diǎn)G、H在線(xiàn)段DE上，且DG=GH=HE(1) 求證：四邊形OGCH是平行四邊形(2) 當(dāng)點(diǎn)C在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在 CD、CG、DG中，是否存在長(zhǎng)度 不變的線(xiàn)段？若存在，請(qǐng)求出該線(xiàn)段的長(zhǎng)度(3) 求證：CD2 3CH 2是定值解：(1)如圖3,連結(jié)0C交DE于M，由矩形得 0M = CG , EM =DM圖2因?yàn)?DG=HE 所以 EM EH = DM DG 得 HM = DG所以四邊形0GCH是平行四邊形。(2) DG 不變，在矩形 0DCE 中，DE = 0C = 0A=3 ,1 1所以DG =丄DE3=133(3)

5、一題多解：方法一：利用三角形的中位線(xiàn)與勾股定理解：如圖3，設(shè)CD = x,延長(zhǎng)0G交CD于N , v 0G=CH，且0G /1CH , CN=DN = - x，在 Rt 0DN 中，0N 2 二 DN 2 0D 2 , 2v CE2 =0D2 =9-x2 ,212232DN x , 0N = 9x44而 0N =3CHCH 2 =4x2,2 3 CD2 +3CH 2 =x2 +3 4x2 = x2 +12_x2 =123丿【評(píng)析】本解法充分利用了題中的三等分點(diǎn)、平行四邊形和三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，較好地實(shí) 現(xiàn)了把線(xiàn)段 0N轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段 CH的倍分關(guān)系，再以 Rt DND為基礎(chǔ)，通過(guò)勾股定理，使問(wèn)題得

6、以解決。方法二：利用相似三角形與勾股定理解：如圖4 ,分別過(guò)H、G作HM/ GN/ DC,則有EM _ EH _ 1CE ED 3 CE = 9 -x2CM 9 - x231 .2EM 9 -x31MH x o3在 Rt CMH中, v ch2 2 2=CMMH9922 22二 CD2 3CH 22=x2 +3 4 _x2I 312 一 x2 =12【評(píng)析】本解法充分利用了題中的三等分點(diǎn)、相似三角形的性質(zhì),得出相關(guān)線(xiàn)段關(guān)于 x的代方法三：利用三角形面積與勾股定理數(shù)式，再以RtCMH為基礎(chǔ)，通過(guò)勾股定理，使問(wèn)題得以解決。5,過(guò)點(diǎn)C作CK ED于K,在RtECD中，由面解：如圖積法得:ED CK

7、=CD CE2 2 2DK 2 二 CD 2 -CK22x29-x2=x x4圖5冰十RtCKH 中，CH2 =CK2 HK2x2 9 x29化簡(jiǎn)得：1 2CH -4x232 2 2 1 1 2 2CD +3CH =x 34匚 xJ =12【評(píng)析】本解法充分利用了幾何中的面積法,得出斜邊上的高 CK和HK關(guān)于X的表達(dá)式,再以RtCKH為基礎(chǔ)，通過(guò)勾股定理，使問(wèn)題得以解決。方法四：三角函數(shù)與勾股定理解：如圖5,過(guò)點(diǎn)C作CKL ED于K,在Rt CEK和Rt CHK中，由勾股定理得:2 2 2 2CE - EK 二 CH -HKCH2 二 EC2 HK2 EK2 二 EC2 HK EK HK EK

8、二 EC2 EH HK EK 二 EC- EH 2EK 一 EH=EC2 EH -2EH EK在 Rt EKC和 Rt ECD 中,COS：2-x9-x2229-x2二 EK二 CH =9-x 1-2 1 -3 32 1 2化簡(jiǎn)得：CH =4- x3 CD2 +3CH 2 =x2 +3 4 1 x2 Lx2 +12_x2 =123丿【評(píng)析】本解法充分利用了三角函數(shù)，使線(xiàn)段EK能用x的代數(shù)式表示，再通過(guò)勾股定理和乘法公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題得以解決。上海試題考查的知識(shí)點(diǎn)有：同圓的半徑相等，直角三角形的性質(zhì)，三角形重心的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想。第（1）小題起點(diǎn)較高，三個(gè)小題層次不明顯，第（3）小題注重了數(shù)學(xué)思想的滲透，對(duì)等腰三角形的各種情況進(jìn)行分類(lèi)求解， 考查了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力。廣州試題在上海試題的基礎(chǔ)上進(jìn)行自主創(chuàng)新，它所涉及的知識(shí)點(diǎn)有：同圓的半徑相等，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，勾股定理，相似三角形或三角函數(shù)等。第（1）小題比較基礎(chǔ)，學(xué)