梁山縣第一中學(xué)第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)（理）模擬測試題（含答案）

1、期中考試 高二數(shù)學(xué)（理科）模擬測試題（三） 一、選擇題（每小題正確答案均唯一，每小一、選擇題（每小題正確答案均唯一，每小題題 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 1. 曲線 2 x y x 在點(diǎn)(1, 1)處的切線方程為( ) A 2yx B 32yx C 23yx D 21yx 2. 函數(shù) y=1 3 xax有極值的充要條件是 （ ） A. a0 B. a0 C. a0 D. a0 3. 已知 2 ( ) (1),(1)1 ( )2 f x f xf f x N*x（），猜想(f x）的表達(dá)式為 ( ) A. 4 ( ) 22 x f x B. 2 ( ) 1 f x x C. 1 (

2、 ) 1 f x x D. 2 ( ) 21 f x x 4. 已知3)2( 3 1 23 xbbxxy是 R 上的單調(diào)增函數(shù)，則b的取值范圍是 （ ） A. 21bb，或 B. 21bb，或 C. 21bD. 21b 5. 若曲線 C:axaxxy22 23 上任意點(diǎn)處的切線的傾斜角都是銳角,那么整數(shù)a=( ) A. -2 B. 0 C.1 D.-1 6. 內(nèi)接于半徑為 R 的半圓且周長最大的矩形的邊長為( ) A. 2 R 和 2 3R B. 5 4R 和 5 7R C. 5 R 和 5 16R D. 5 5R 和 5 54R 7若復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)是z，且|z|=1，則|(z+1)(z

3、-i)|的最大值是（ ） A2+2 B2-2 C1+2 D3+2 8如圖，A1B1C1ABC 是直三棱柱，BCA=90，點(diǎn) D1、F1分別是 A1B1、A1C1的中點(diǎn)，若 BC=CA=CC1，則 BD1與 AF1所成角的余弦值是（ ） A 10 30 B 2 1 C 15 30 D 10 15 9. 如圖是函數(shù) 32 ( )f xxbxcxd的大致圖象，則 22 12xx 等于（ ） A. 3 2 B. 3 4 C. 3 8 D. 3 12 2 x 10已知實(shí)數(shù), , ,a b c d成等比數(shù)列，且曲線 3 3yxx的極大值點(diǎn)坐標(biāo)為( , )b c，則ad等于( ) A2 B1 C1 D2 1

4、1設(shè) f x、 g x是R上的可導(dǎo)函數(shù)， fx、 gx分別為 f x、 g x的導(dǎo)函數(shù)，且 0fx g xf x gx ，則當(dāng)axb時，有 ( ) A f x g bf b g x B f x g af a g x C f x g xf b g b D f x g xf a g a 12已知函數(shù)), 2)(的定義域?yàn)閤f，且(4)( 2)1ff，)()(xfxf為的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù))(xfy的圖 象如圖所示 則平面區(qū)域 0 0 (2)1 a b fab 所圍成的面積是 ( ) 12 1 x y x O A2 B4 C5 D8 二、填空題：二、填空題：（本題共（本題共 4 4 道小題，每小道小題，每

5、小題題 4 4 分，共分，共 1616分）分） 13設(shè) n 27 的個位數(shù)為 n a ，如,.9,.7 21 aa則 2012 a . 14函數(shù) 2 ( )276f xxx 與( )g xx 的圖象所圍成封閉圖形的面積為 . 15已知空間四邊形 OABC，點(diǎn) M，N 分別為 OA，BC 的中點(diǎn)，且OAa ，OBb ，OCc 用a ， b ，c 表示MN ，則MN _ 16對正整數(shù)n，設(shè)曲線)1 (xxy n 在2x 處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 n a，則數(shù)列 1 n a n 的前 n項(xiàng)和的公式是 . 三、解答題：三、解答題：（本題共（本題共 6 6 道小題，共道小題，共 7474分）分） 1

6、7求同時滿足下列條件的所有復(fù)數(shù)z:(1) z z 10 是實(shí)數(shù)，且6 10 1 z z(2)z的實(shí)部和虛部都是整 數(shù) 18已知數(shù)列 n S nn n , ) 12() 12( 8 , 53 28 , 31 18 222222 為其前 n 項(xiàng)和，計算得 9 8 1 S, 81 80 , 49 48 , 25 24 432 SSS,觀察上述結(jié)果，推測出計算 Sn的公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明 19如圖所示，曲線段 OMB 是函數(shù) f(x)x2 (0 x6)的圖象，BAx 軸于 A，曲線段 OMB 上一點(diǎn) M(t,f(t)處的切線 PQ 交 x 軸于 P，交線段 AB 于 Q. 試用 t 表示切線

7、PQ 的方程； 試用 t 表示出QAP 的面積 g(t)；若函數(shù) g(t)在(m，n)上單調(diào)遞減，試求出 m 的 最小值； 若 SQAP64, 4 121 ，試求出點(diǎn) P 橫坐標(biāo)的取值范圍 20. 某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量 y（單位：千克）與銷售價格 x（單位：元/ 千克）滿足關(guān)系式 2 10(6) 3 a yx x ，其中 3x6，a 為常數(shù)，已知銷售價格為 5 元/千克時，每日可 售出該商品 11 千克 （I）求 a 的值。 （II）若該商品的成本為 3 元/千克，試確定銷售價格 x 的值，使商場每 日銷售該商品所獲得的利潤最大 21如圖，已知正方形ABCD和矩形A

8、CEF所在平面互相垂直，2AB， 1AF，M是線段EF的中點(diǎn) （1）求證：AM平面 BDF; （2）求二面角BDFA的大小； （3）試在線段AC上確定一點(diǎn)P，使得PF與CD所成的角是 60 22已知函數(shù) 23 32)(axxxf，xxxg63)( 2 ，函數(shù))(xf在) 1 , 0(單調(diào)遞減，在), 1 ( 單調(diào)遞 增 （）求a的值； （2）求M的最小值，使對2 , 2 21 xx 、，有Mxgxf)()( 21 成立； （）是否存在正實(shí)數(shù)m，使得)()()(xmgxfxh在)2 , 2(上既有最大值又有最小值？若存在，求 A BC D E F M 出 m 的取值范圍；若不存在，請說明理由.

9、梁山縣第一中學(xué) 20112012 學(xué)年度第二學(xué)期期中考試 高二數(shù)學(xué)（理科）模擬測試題（三）參考答案 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.A 8.A 9.C 10.A 11.C 12.B 13. 1 14. 8 3 15. 1 () 2 bca 16 1 22 n /11 2 22 ,:222 (2) nnn x ynynx 切線方程為， 令0 x ，求出切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 0 1 2nyn，所以2 1 n n a n ，則數(shù)列 1 n a n 的 前n項(xiàng)和 1 2 1 2 22 1 2 n n n S 17【解】：設(shè) z=a+bi (a,bR,且 a2+b20). 則 2

10、2 )(101010 ba bia bia bia bia z z i ba b ba a) 10 1 () 10 1 ( 2222 由(1)知 z z 10 是實(shí)數(shù)，且6 10 1 z z, 0) 10 1 ( 22 ba b 即 b=0 或 a2+b2=10. 又6) 10 1 (1 22 ba a * 當(dāng) b=0 時，*化為6 10 1 a a無解 當(dāng) a2+b2=10 時，*化為 12a6, 3 2 1 a. 由(2)知 a=1,2,3. 相應(yīng)的 b=3, 6(舍)，1， 因此，復(fù)數(shù) z 為：13i 或 3i. 18. 【解】：推測)( ) 12( 1) 12( 2 2 Nn n n

11、Sn . 證明：i) 略 ii) 假設(shè) n=k(kN)時等式成立，即 2 2 ) 12( 1) 12( k k Sk， 則 22 1 )32() 12( ) 1(8 kk k SS kk 222 2 )32() 12( ) 1(8 ) 12( 1) 12( kk k k k 22 22 )32() 12( ) 1(8)32(1) 12( kk kkk 2 2 22 222 22 222 )32( 1)32( )32() 12( ) 12()32() 12( )32() 12( ) 1(8)32()32() 12( k k kk kkk kk kkkk 即 n=k+1 時，等式成立 由 i),

12、ii) 可知，對一切 nN，等式均成立 19 【解】：設(shè)點(diǎn) M(t，t2)，又 f(x)=2x， 過點(diǎn) M 的切線 PQ 的斜率 k=2t 切線 PQ 的方程為：y=2txt2 由可求得，P(0 , 2 t )，Q(6,12tt2)g(t)SQAP) 2 1 6( 2 1 t(12tt2)=,366 4 2 3 tt t (0t6) 由于 g(t)=3612 4 3 2 t t ,令 g(t)0，則 4t12，考慮到 0t6,4t6， 函數(shù) g(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是(4,6)，因此 m 的最小值為 4 由知，g(t)在區(qū)間(4,6)上遞減，此時 SQAP(g(6)，g(4)=(54,64) 令

13、 g(t)0，則 0t4，g(t) 在區(qū)間(0，4)上遞增， SQAP(g(0)，g(4)=(0，64)，又 g(4)64 g(t)的值域?yàn)?0，64) 由 4 121 g(t)64，得 1t6 2 1 2 t 3，點(diǎn) P 的橫坐標(biāo) 2 1 ,3 20. 【解】：（I）因?yàn)?x 時，11y ，所以1011, 2 a 所以2a （II）由（1）可知，該商品每日的銷售量 2 2 10(6) , 3 yx x 所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤 22 2 ( )(3)10(6) 2 10(3)(6) ,36. 3 f xxxxxx x 從而 2 ( )10(6) +2(3)(6)30(4)(6).f

14、xxxxxx 于是，當(dāng)x變化時，( ),( )fxf x的變化情況如下表， x 3,4 4(4,6) ( )fx0 由上表可得，4x 是函數(shù)( )f x在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn) 所以，當(dāng)4x 時，函數(shù)( )f x取得最大值，且最大值等于 42 當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大 21【解】：（）如圖建立直角坐標(biāo)系，則 D)0 , 0 ,2(，B) 0 , 2, 0(，F(xiàn)) 1 ,2,2(， ) 0 , 2,2(A，) 1 , 2 2 , 2 2 (M ) 0 , 2,2(DB，) 1 ,2, 0(DF，AM) 1 , 2 2 , 2 2 ( 0DBA

15、M，0DFAM DBAM ，DFAM BDFAM面 （）AFAB，ADAB， AB平面ADF， )0 , 0 ,2(AB為平面ADF的法向量 由（1）知AM為面BDF的法向量 AB指向二面角BDFA的內(nèi)部 AM指向二面角BDFA的外部 向量AB與AM所成的角的大小即二面角BDFA的大小 又 AM AM AM,ABcos AB AB 2 1 22 ) 2 2 ()2( AB與AM的夾角為 60，即所求二面角BDFA的大小為 60 （）設(shè))0 ,( ttP)20( t，則) 1 ,2,2(ttPF，)0 , 0 ,2(CD 又PF與CD所成的角為 60， 2 1 2122 2)2( 22 tt t ， ( )f x單調(diào)遞增極大值 42單調(diào)遞減 解之得 2 2 t或 2 23 t（舍去） ，即點(diǎn)P為AC的中點(diǎn) 22 【解】：（）由題意知1x是函數(shù))(xf的一個極值點(diǎn)，即0) 1 ( f，066 a，即 1a， 此時 23 32)(xxxf，) 1(666)( 2 xxxxxf滿足條件，1a （）由0) 1(6)( xxxf得，0 x或1x， 列表可得， 0)0(f，1) 1 (f，4)2(f，28)2(f， 當(dāng)2 , 2 1 x時，4)(28 1 xf； 又3) 1(363)( 22 xxxxg， 當(dāng)2 , 2 2 x時，24)(3 2 xg； 因此，7)(