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1、二元一次方程組知識(shí)點(diǎn)歸納、解題技巧匯總、練習(xí)題及答案把兩個(gè)一次方程聯(lián)立在一起,那么這兩個(gè)方程就組成了一個(gè)二元一次方程組。 有幾個(gè)方程組成的一組方程叫做方程組。如果方程組中含有兩個(gè)未知數(shù),且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是一次,那么這樣的方程組叫做二元一次方程組。 二元一次方程定義:一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的都指數(shù)是1的整式方程,叫二元一次方程。 二元一次方程組定義:兩個(gè)結(jié)合在一起的共含有兩個(gè)未知數(shù)的一次方程,叫二元一次方程組。 二元一次方程的解:使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值,叫做二元一次方程的解。 二元一次方程組的解:二元一次方程組的兩個(gè)公共解,叫做二元一次方程組的解。 一般解法,消
2、元:將方程組中的未知數(shù)個(gè)數(shù)由多化少,逐一解決。 消元的方法有兩種: 代入消元法 例:解方程組x+y=5 6x+13y=89 解:由得 x=5-y 把帶入,得 6(5-y)+13y=89 y=59/7 把y=59/7帶入, x=5-59/7 即x=-24/7 x=-24/7 y=59/7 為方程組的解 我們把這種通過“代入”消去一個(gè)未知數(shù),從而求出方程組的解的方法叫做代入消元法,簡(jiǎn)稱代入法。 加減消元法 例:解方程組x+y=9 x-y=5 解:+ 2x=14 即 x=7 把x=7帶入 得7+y=9 解得y=-2 x=7 y=-2 為方程組的解 像這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法,簡(jiǎn)稱加減
3、法。 二元一次方程組的解有三種情況: 1.有一組解 如方程組x+y=5 6x+13y=89 x=-24/7 y=59/7 為方程組的解 2.有無(wú)數(shù)組解 如方程組x+y=6 2x+2y=12 因?yàn)檫@兩個(gè)方程實(shí)際上是一個(gè)方程(亦稱作“方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”),所以此類方程組有無(wú)數(shù)組解。 3.無(wú)解 如方程組x+y=4 2x+2y=10, 因?yàn)榉匠袒?jiǎn)后為 x+y=5 這與方程相矛盾,所以此類方程組無(wú)解。 注意:用加減法或者用代入消元法解決問題時(shí),應(yīng)注意用哪種方法簡(jiǎn)單,避免計(jì)算麻煩或?qū)е掠?jì)算錯(cuò)誤。 教科書中沒有的幾種解法 (一)加減-代入混合使用的方法. 例1, 13x+14y=41 (1) 14x
4、+13y=40 (2) 解:(2)-(1)得 x-y=-1 x=y-1 (3) 把(3)代入(1)得 13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把y=2代入(3)得 x=1 所以:x=1, y=2 特點(diǎn):兩方程相加減,單個(gè)x或單個(gè)y,這樣就適用接下來(lái)的代入消元. (二)換元法 例2, (x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令x+5=m,y-4=n 原方程可寫為 m+n=8 m-n=4 解得m=6, n=2 所以x+5=6,y-4=2 所以x=1, y=6 特點(diǎn):兩方程中都含有相同的代數(shù)式,如題中的x+5,y-4之類,換元后可簡(jiǎn)化方程也是主
5、要原因。 (三)另類換元 例3, x:y=1:4 5x+6y=29 令x=t, y=4t 方程2可寫為:5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以x=1,y=4 二元一次方程組的解 一般地,使二元一次方程組的兩個(gè)方程左、右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值,叫做二元一次方程組的解。 求方程組的解的過程,叫做解方程組。 一般來(lái)說,二元一次方程組只有唯一的一個(gè)解。 注意 :二元一次方程組不一定都是由兩個(gè)二元一次方程合在一起組成的! 也可以由一個(gè)或多個(gè)二元一次方程單獨(dú)組成。 重點(diǎn)一元一次、一元二次方程,二元一次方程組的解法;方程的有關(guān)應(yīng)用題(特別是行程、工程問題) 內(nèi)容提要 一、 基本概念 1方程
6、、方程的解(根)、方程組的解、解方程(組) 2 分類: 二、 解方程的依據(jù)等式性質(zhì) 1a=ba+c=b+c 2a=bac=bc (c0) 三、 解法 1一元一次方程的解法:去分母去括號(hào)移項(xiàng)合并同類項(xiàng) 系數(shù)化成1解。 2 元一次方程組的解法:基本思想:“消元”方法:代入法 加減法 四、 一元二次方程 1定義及一般形式: 2解法:直接開平方法(注意特征) 配方法(注意步驟推倒求根公式) 公式法: 因式分解法(特征:左邊=0) 3根的判別式: 4根與系數(shù)頂?shù)年P(guān)系: 逆定理:若 ,則以 為根的一元二次方程是: 。 5常用等式: 五、 可化為一元二次方程的方程 1分式方程定義基本思想:基本解法:去分母法
7、換元法(如, )驗(yàn)根及方法 2無(wú)理方程定義基本思想:基本解法:乘方法(注意技巧?。Q元法驗(yàn)根及方法 3簡(jiǎn)單的二元二次方程組由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的二元二次方程組都可用代六、 列方程(組)解應(yīng)用題 一概述 列方程(組)解應(yīng)用題是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的一個(gè)重要方面。其具體步驟是: 審題。理解題意。弄清問題中已知量是什么,未知量是什么,問題給出和涉及的相等關(guān)系是什么。 設(shè)元(未知數(shù))。直接未知數(shù)間接未知數(shù)(往往二者兼用)。一般來(lái)說,未知數(shù)越多,方程越易列,但越難解。 用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量。 尋找相等關(guān)系(有的由題目給出,有的由該問題所涉及的等量關(guān)系給出),列方程。一般地,未知
8、數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)是相同的。 解方程及檢驗(yàn)。 答案。 綜上所述,列方程(組)解應(yīng)用題實(shí)質(zhì)是先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題(設(shè)元、列方程),在由數(shù)學(xué)問題的解決而導(dǎo)致實(shí)際問題的解決(列方程、寫出答案)。在這個(gè)過程中,列方程起著承前啟后的作用。因此,列方程是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。 二常用的相等關(guān)系 1 行程問題(勻速運(yùn)動(dòng)) 基本關(guān)系:s=vt 相遇問題(同時(shí)出發(fā)): + = ; 追及問題(同時(shí)出發(fā)):若甲出發(fā)t小時(shí)后,乙才出發(fā),而后在B處追上甲,則 水中航行: ; 2 配料問題:溶質(zhì)=溶液濃度 溶液=溶質(zhì)+溶劑 3增長(zhǎng)率問題: 4工程問題:基本關(guān)系:工作量=工作效率工作時(shí)間(常把工作量看著單位“1”)。 5幾何
9、問題:常用勾股定理,幾何體的面積、體積公式,相似形及有關(guān)比例性質(zhì)等。 三注意語(yǔ)言與解析式的互化 二元一次方程組練習(xí)題一、選擇題:1下列方程中,是二元一次方程的是( )A3x2y=4z B6xy+9=0 C+4y=6 D4x=2下列方程組中,是二元一次方程組的是( ) A3二元一次方程5a11b=21 ( ) A有且只有一解 B有無(wú)數(shù)解 C無(wú)解 D有且只有兩解4方程y=1x與3x+2y=5的公共解是( ) A5若x2+(3y+2)2=0,則的值是( ) A1 B2 C3 D6方程組的解與x與y的值相等,則k等于( )7下列各式,屬于二元一次方程的個(gè)數(shù)有( ) xy+2xy=7; 4x+1=xy;
10、 +y=5; x=y; x2y2=2 6x2y x+y+z=1 y(y1)=2y2y2+x A1 B2 C3 D48某年級(jí)學(xué)生共有246人,其中男生人數(shù)y比女生人數(shù)x的2倍少2人,則下面所列的方程組中符合題意的有( )A二、填空題9已知方程2x+3y4=0,用含x的代數(shù)式表示y為:y=_;用含y的代數(shù)式表示x為:x=_10在二元一次方程x+3y=2中,當(dāng)x=4時(shí),y=_;當(dāng)y=1時(shí),x=_11若x3m32yn1=5是二元一次方程,則m=_,n=_12已知是方程xky=1的解,那么k=_13已知x1+(2y+1)2=0,且2xky=4,則k=_14二元一次方程x+y=5的正整數(shù)解有_15以為解的一個(gè)二元一次方程是_16已知的解,則m=_,n=_三、解答題17當(dāng)y=3時(shí),二元一次方程3x+5y=3和3y2ax=a+2(關(guān)于x,y的方程)有相同的解,求a的值18如果(a2)x+(b+1)y=13是關(guān)于x,y的二元一次方程,則a,b滿足什么條件?19二元一次方程組的解x,y的值相等,求k20已知x,y是有理數(shù),且(x1)2+(2y+1)2=0,則xy的值是多少?21已知方程x+3y=5,請(qǐng)你寫出一個(gè)二元一次方程,使它與已知方程所組成的方程組的解為22根據(jù)題意列出方程組:(1)明明到郵局買0.8元與2元的郵票共13枚,共花去20元錢,問明明兩種郵票各買了
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