微積分II真題含答案

1、精品資料歡迎閱讀 微積分II真題含答案 微積分II真題含答案 * 商 學(xué) 院 試 題 2009-2010學(xué)年第二學(xué)期課程名稱 微積分II（A卷） 一、填空題（每題3分，共30分） 1、函數(shù) 的定義域是_. 2、設(shè) ，則_. 3、廣義積分的斂散性為_. 4、_ . 5、若 . 6、微分方程 的通解是 _. 7、級(jí)數(shù) 的斂散性為 . 8、 已知邊際收益R/(x)=3x2+1000,R(0)=0,則總收益函數(shù)R(x)=_. 9、交換 的積分次序= . 10、微分方程 的階數(shù)為 _階. 二、單選題（每題3分，共15分） 1、下列級(jí)數(shù)收斂的是（ ） A， B， C， D， 2、，微分方程的通解為（ ）

2、A， B， C， D， 3、設(shè)D為：，二重積分=（ ） A, B, C, D，0 4、 若 A, B, C, D, 5、=（ ） A, 0 B, 1 C, 2 D, 三、計(jì)算下列各題（本題共4小題，每小題8分，共32分） 1已知 2. 求，其中D是由 ，x=1和x軸圍成的區(qū)域。 3. 已知z=f(x,y)由方程確定，求 4.判定級(jí)數(shù)的斂散性. 四、應(yīng)用題（本題共2小題，每小題9分，共18分）： 1. 求由 和x軸圍成的圖形的面積及該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。 2. 已知x表示勞動(dòng)力，y表示資本，某生產(chǎn)商的生產(chǎn)函數(shù)為，勞動(dòng)力的單位成本為200元，每單位資本的成本為400元，總預(yù)算為1000

3、00元，問生產(chǎn)商應(yīng)如何確定x和y，使產(chǎn)量達(dá)到最大？。 五、證明題（5分） 廣東商學(xué)院試題試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2009-2010學(xué)年第二學(xué)期課程名稱 微積分II（A卷） 一、填空題（每小題3分，共30分） 1, 2， 3，發(fā)散 4，0 5， 6，y=cx 7，收斂 8，R(x)=x3+1000x 9， 10，2 二、單選題（每小題3分，共15分） 1，B 2，B 3，C 4，C 5，D 三、計(jì)算題（每小題8分，共32分） 1、 解： 令 2、 3、整理方程得： 4、先用比值判別法判別 的斂散性， （2分） 收斂，所以絕對(duì)收斂。(交錯(cuò)法不行就用比較法) （8分） 四、應(yīng)用題（每小題9分，共18

4、分） 1、解： 2、 解：約束條件為200x+400y-100000=0 （2分） 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)， （4分） ,求一階偏導(dǎo)數(shù)， （6分） 得唯一解為：， （8分） 根據(jù)實(shí)際意義，唯一的駐點(diǎn)就是最大值點(diǎn)，該廠獲得最大產(chǎn)量時(shí)的x為40，y為230. （9分） 五、證明題（5分） 證明：設(shè)對(duì)等式兩邊積分，得： （2分） （4分） 解得： 題設(shè)結(jié)論得證。 （5分） 廣 東 商 學(xué) 院 試 題 2010-2011學(xué)年第二學(xué)期課程名稱 微積分II（A卷） 一、填空題（每題2分，共20分） 1、函數(shù)的定義域是_ 2、_ 3、_ 4、若_ 5、設(shè)可微，則 6. 已知滿足方程則 _ 7、交換的積分次序=_

5、8、級(jí)數(shù)_ 9、若級(jí)數(shù)的收斂，則k的取值范圍是 10、微分方程的通解是 _ 二、單選題（每題2分，共10分） 1、若廣義積分，則k=（ ） A， B， C， D， 2、若滿足方程，則 （ ） A， 0 B，1 C， D， 3、設(shè)D為：，二重積分=_ A, B, C, D， 4、下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是( ) A, B， C D 5、微分方程的階數(shù)為 （ ） A,1 B，2 C 3 D 4 三、計(jì)算下列各題（本題共4小題，每小題8分，共48分） 1計(jì)算 2. 已知，求 3. 計(jì)算二重積分，其中D由，及所圍成。 4.求一階線性微分方程的通解. 5 判別級(jí)數(shù)的收斂性，若收斂，是條件收斂還是絕對(duì)收斂？ 6 計(jì)

6、算定積分。 四、應(yīng)用題（本題共2小題，每小題9分，共18分）： 1. 求由曲線與所圍成的圖形的面積及該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。 2. 某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為x和y，總成本函數(shù)，需求函數(shù)分別為（p1 ，p2分別為兩種產(chǎn)品的價(jià)格），產(chǎn)量受的限制，求該廠獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量x和y。 五、證明題（4分） 證明： 廣 東 商 學(xué) 院 試 題 答 案 2010-2011學(xué)年第二學(xué)期 課程名稱 微積分II（A卷） 一、填空題（每題2分，共20分） 1、， 2、 ， 3、0 ， 4、 ， 5、0 ，6. 7、 ，8、2 9、 ，10、 （c為任意常數(shù)） 二、單選題（每題2分，共10分） 1、D

7、2、D， 3、 C, 4 、B， 5、C 三、計(jì)算下列各題（本題共4小題，每小題8分，共48分） 1計(jì)算 解： - 4分 -8分 2. 已知，求 解：兩邊去自然對(duì)數(shù)， 兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)數(shù)， - 4分 整理得 所以 - 8分 3. 計(jì)算二重積分，其中D由，及所圍成。 解：畫圖（2分）， Y-型， - 4 分 - 8分 4.求一階線性微分方程的通解. 解：方法1： 直接算， 方法2：原方程可以化為 ， ， 直接代入公式， - 4 分 （c為任意常數(shù)） - 8分 5這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，一般項(xiàng)為。 先判斷是否收斂，是一個(gè)P-級(jí)數(shù)，且P=，發(fā)散。 -2 -4 -6 根據(jù)萊布尼茨定理，級(jí)數(shù)收斂，而且是條件收

8、斂。 -8 6積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又為偶函數(shù)，則 =2 -2 = -4 = -6 = -8 四、應(yīng)用題（本題共2小題，每小題9分，共18分）： 1. 求由曲線與所圍成的圖形的面積及該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。 解：畫圖（2分） - 5分 = - 9分 2. 某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為x和y，總成本函數(shù)，需求函數(shù)分別為（p1 ，p2分別為兩種產(chǎn)品的價(jià)格），產(chǎn)量受的限制，求該廠獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量x和y。 解：由題意知，收入函數(shù)為 利潤(rùn)函數(shù) 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)， - 5分 ，解得 - 9分 五、證明題（4分） 利用級(jí)數(shù)的斂散性，證明： 證明：先證明級(jí)數(shù)收斂，用比值判別法 ，所以級(jí)數(shù)收斂 由

9、級(jí)數(shù)收斂的必要條件知道，即 廣 東 商 學(xué) 院 試 題 紙 2011-2012學(xué)年第_2_學(xué)期 課程名稱 微積分II（A卷） 一、填空題（每小題3分，共15分） 1 設(shè),則= . 2 當(dāng) 時(shí), 收斂. 3 交換積分次序 . 4 已知級(jí)數(shù)收斂,則= . 5 若，其中具有二階偏導(dǎo)數(shù)，則= . 二、 單選題（每小題3分，共15分） 1( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D). 2. 函數(shù)在上可積的必要條件是在上（ ） （A）連續(xù) ; （B）有界; （C） 無間斷點(diǎn); (D)有原函數(shù). 3下列反常積分收斂的是( ) (A); (B) ; (C) ; (D) . 4下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是( ).

10、(A) ; (B) ;(C) ;(D) . 5 微分方程的通解是( ) (A) ; (B) ; (C) ; (D). 三、計(jì)算題I（每題6分，共24分） 1.求. 2.設(shè),求. 3. 求，其中D由圍成. 4. 判別級(jí)數(shù)的斂散性. 四、計(jì)算題II（每題8分，共24分） 5. 求. 6. 設(shè)由方程確定,其中可微,求. 7.求微分方程的特解. 五、應(yīng)用題（每小題8分，共16分） 1.求由與所圍成的平面圖形的面積,并求此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積. 2設(shè)某工廠生產(chǎn)甲和乙兩種產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為x和y(千件),利潤(rùn)函數(shù)為(萬元) 已知生產(chǎn)每千件甲或乙產(chǎn)品均需要消耗某原料2噸,現(xiàn)有該原料12噸,問兩種產(chǎn)

11、品各生產(chǎn)多少時(shí),總 利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少? 六、證明題（6分） 證明：若收斂，則發(fā)散. 廣東商學(xué)院試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2011-2012學(xué)年第二學(xué)期課程名稱 微積分II（A卷） 一、1.; 2.; 3.; 4.; 5. . 二、BBACD 三、1.解:原式= (3分) . (6分) 2.解: (2分) (4分) (6分) 3. 解：原式= （2分） （4分） . （6分） 4.解:記,取 (4分) 又 收斂 故原級(jí)數(shù)收斂. (6分) 四、5解：令，即，則 當(dāng)時(shí)， （2分） 故原式 （4分） （6分） . （8分） 6解：記 （4分） （8分） 7解：原方程可化為-一階線性微分方程 此時(shí)

12、， （2分） 故原方程的通解為 （4分） （6分） 由,得 從而，所求原方程的特解為 . （8分） 五、1. 解：1> 故所求圖形的面積為 （4分） 2>所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 （5分） . （8分） 2.解:顯然,有條件成立,作輔助函數(shù) (3分) 令 解之得唯一駐點(diǎn) (6分) 故當(dāng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品3.8千件,乙產(chǎn)品2.2千件時(shí),利潤(rùn)最大,且最大利潤(rùn)為 (萬元). (8分) 六、證明：證明：由于 （3分）， 又因?yàn)?收斂， 故收斂，從而，絕對(duì)收斂. （6分） 廣 東 商 學(xué) 院 試 題 紙 2012-2013學(xué)年第_2_學(xué)期課程名稱 微積分II（A卷） 一、填空題（每小題3分，共30分） 1

13、 函數(shù)的定義域是 . 2 . 3 若_. 4 設(shè)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，則 . 5 = . 6 廣義積分收斂，則 . 7 交換積分次序= . 8 設(shè)D為所圍區(qū)域，則 . 9 = . 10. 方程是 階微分方程 . 三、 單選題（每小題3分，共15分） 1廣義積分收斂于( ). A.0 ; B. ; C. ; D. 2. 設(shè)積分區(qū)域D是（ ）. A.; B.; C.; D. 3下列級(jí)數(shù)中條件收斂的是（ ）. A.; B.; C.; D. 4設(shè)，其中可微，則（ ） A. ; B. C. D. 5微分方程的通解是（ ）。 A. ; B. ; C.; D. . 三、計(jì)算題（每題8分，共32分） 1.求.

14、2.設(shè)D由曲線圍成,求 3. 已知，求. 4. 判別級(jí)數(shù)的斂散性. 四、應(yīng)用題（每小題9分，共18分） 1.設(shè)D由與所圍成，求：（1）平面圖形的面積；（2）此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。 2.某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，當(dāng)產(chǎn)量分別為時(shí)，成本函數(shù),需求函數(shù)分別為,分別為兩種產(chǎn)品的價(jià)格，產(chǎn)品受的限制，求工廠獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量和價(jià)格。 五、證明題（5分） 設(shè)，其中F可微。證明：. 廣東商學(xué)院試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2012-2013學(xué)年第二學(xué)期課程名稱 微積分II（A卷） 一. 1.; 2. 0 ; 3. ; 4. ；5. 0 ; 6. ; 7. ; 8. 2(2ln2-1); 9. 1； 10. 2

15、. 二.C A D C B 三.1.解:原式= (3分) (6分) (8分) 2解:畫積分區(qū)域草圖，聯(lián)立方程求交點(diǎn)得：， （2分） 原式=. (4分) （5分） （8分） 3.解: 令，則 (3分) (5分) (8分) 4.解:用比值判別法 (2分) (4分) (6分) 原級(jí)數(shù)收斂. (8分) 四.1. 解：(1) ， （2分） 故所求圖形的面積為 （5分） (2)所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 . （9分） 2.解:由需求函數(shù)x,y得： ， 利潤(rùn)函數(shù) = = (2分) 作輔助函數(shù) = (4分) 令 解之得唯一駐點(diǎn) (6分) 故當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)量分別為及時(shí)工廠獲得的利潤(rùn)最大,此時(shí)兩種產(chǎn)品的價(jià)格分別為 (9分) 五

16、證明： （3分）， . （5分） 故等式成立。 廣 東 商 學(xué) 院 試 題 紙 2012-2013學(xué)年第_2_學(xué)期 課程名稱 微積分II（B卷） 一、填空題（每小題3分，共30分） 1.函數(shù)的定義域是 . 2.設(shè)域是，則 . 3.交換積分次序 . 4.設(shè)資本投入為，勞動(dòng)投入為時(shí)，某產(chǎn)品的產(chǎn)出量為，且為常數(shù)，則對(duì)資本的偏彈性 ，對(duì)資本的偏彈性 . 5.設(shè) . 6.若則 . 7.當(dāng)滿足條件 時(shí)收斂。 8.微分方程的通解為 . 9.設(shè)，其中可微，則 . 10. . 二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分） 1. =（ ）. A.; B. ; C. ; D. 2. 已知，則（ ）. A. B. C. D

17、. 3.若，則( ). A. B. C. D. 4.下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是( ) A. ; B. ; C .; D . . 5.微分方程的階數(shù)為（ ）. A . 3 ; B. 4 ; C .2 ; D. 6. 三 計(jì)算題（每小題8分，共32分） 1.設(shè),求. 2.若D是由所圍成的區(qū)域,求之值。 3.判別級(jí)數(shù)的收斂性。 4.求方程的通解。 四應(yīng)用題（每小題9分，共18分） 1.設(shè)平面區(qū)域D由拋物線與直線 圍成,求:（1）D的面積；（2）D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積。 2.設(shè)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量是勞動(dòng)力和原料的函數(shù)，若勞動(dòng)力單價(jià)為100元，原料單價(jià)為200元，則在投入3萬元資金用于生產(chǎn)的情況下，如何安排勞動(dòng)力

18、和原料，可使產(chǎn)量最多。 五證明題（5分）： 證明：. 廣東商學(xué)院試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2012-2013學(xué)年第二學(xué)期課程名稱 微積分II（B卷） 一. 1.; 2.; 3.; 4.; 5. ；6. 5 ; 7. ; 8. y=; 9. .10.tanx 二. D B A D A 三. 1.解: 令， (2分) 則 (4分) (8分) . 2.解: 聯(lián)立 解得兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo) （2分） （4分） （8分） 3.解: （4分） (4分) 又是幾何級(jí)數(shù)，公比收斂 故由比較判別法知原級(jí)數(shù)收斂. (8分) (或者用比較判別法的極限形式) 4. 解：，代入原方程得 （2分） 分離變量 （4分） 兩邊積分 將

19、 回代得方程的解 （8分） 四1. 解：（1）， 故所求圖形的面積為 （4分） （2），所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 （9分） 2. 解:顯然,有條件成立,作輔助函數(shù) (3分) 令 （5分） 解之得唯一駐點(diǎn) (7分) 由問題實(shí)際意義知最大產(chǎn)量存在，故當(dāng)勞動(dòng)力為單位，原料為單位時(shí)產(chǎn)量最大。 (9分) 五證明：交換積分次序： 等式左邊=右邊. 故等式成立。 廣 東 財(cái) 經(jīng) 大 學(xué) 試 題 紙 2014-20XX 學(xué)年第_ 2_學(xué)期課程名稱 微積分II（A卷） 一、 填空題（每題3分，共30分） 1.函數(shù)的定義域是 . 2.= . 3.=_ _ _ . 4. = . 5. = . 6. = 7. 設(shè)，其中 在

20、D上連續(xù)，則 = . 8. 方程是 階微分方程 . 9. 設(shè),則 = . 10.交換積分次序= . 二、 單選題（每題3分，共15分） 1. =（ ） A. B. 2C. 0D. 1 2. 設(shè) ，其中可微，則 =（ ）. A. B. C. D. 1 3. 設(shè) ， 則=（ ）. A. B. C. D. 4. 設(shè)D由圓周，及直線所圍的第一象限部分，二重積分的值=（ ） ABC.D 5. 下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是( ) . A B. C. D. 三、 計(jì)算題（每題8分，共32分） 1 . 求。 2. 設(shè)由方程確定，求。 3. 求。 4. 求微分方程的通解。 四、應(yīng)用題（每題9分，共18分） 1. 設(shè)平面區(qū)域

21、D由曲線圍成，求D的面積及D繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。 2設(shè)某工廠生產(chǎn)甲和乙兩種產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為x和y(千件),利潤(rùn)函數(shù)為(萬元)，已知生產(chǎn)每千件甲或乙產(chǎn)品均需要消耗某原料2噸,現(xiàn)有原料10噸剛好用完,問兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時(shí),總利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少? 五、證明題（5分） 證明 廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2014-20XX學(xué)年第二學(xué)期課程名稱 微積分II（A卷） 一、 填空題（每小題3分，共30分） 1. ; 2. ; 3. 0; 4. 1； 5. 1 ; 6. 2 ; 7. 2; 8. 二; 9. ； 10. . 二、單選題（每小題3分，共15分） 1. A 2 . B 3.

22、 A 4. B 5. C 三、計(jì)算題（每小題8分，共32分） 1 . 解： 令 則 原式 （5分） . （8分） 2. 解設(shè) 則 (5分) (8分) 3. 解： （4分） （6分） （8分） 4. 解： 代入原方程得 分離變量 （4分） 兩邊積分 （6分） 得 故原方程的通解為 ( C 為任意常數(shù) ) （8分） 四、應(yīng)用題（每小題9分，共18分） 1. 先求的交點(diǎn)（0，0），（1，1） (4分) (9分) 2. 解:顯然,有條件成立,作輔助函數(shù) (3分) 令 解之得唯一駐點(diǎn) (7分) 故當(dāng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品3千件,乙產(chǎn)品2千件時(shí),利潤(rùn)最大,且最大利潤(rùn)為 (9分) 五、證明題（5分） 證明：考察級(jí)數(shù)，由

23、于 （3分） 所以此級(jí)數(shù)收斂，故 （5分） 廣 東 財(cái) 經(jīng) 大 學(xué) 試 題 紙 2014-20XX 學(xué)年第_ 2_學(xué)期課程名稱 微積分II（B卷） 一、填空題（每題3分，共30分） 1.函數(shù)的定義域是 . 2.= . 3. 設(shè)，則= 4.=_ _ _ . 5. = . 6. = . 7. 設(shè)，其中 在D上連續(xù)，則 = . 8. 方程是 階微分方程 . 9. 設(shè),則 = . 10.交換積分次序= . 二、單選題（每題3分，共15分） 1. 在上的平均值是（ ）. A. B. C. D. 2. =（ ） A. B. C. D. 3. 設(shè)D由圓周，及直線所圍的第一象限部分，二重積分的值=（ ） AB

24、C.D 4. 設(shè) ，其中可微，則 =（ ）. A. B. C. D. 5. 下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是( ) . A B. C. D. 三、計(jì)算題（每題8分，共32分） 1 . 求。 2. 設(shè)由方程確定，求。 3. 求。 4. 求微分方程 的通解。 四、應(yīng)用題（每題9分，共18分） 1設(shè)某工廠生產(chǎn)甲和乙兩種產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為x和y(千件),利潤(rùn)函數(shù)為(萬元)，已知生產(chǎn)每千件甲或乙產(chǎn)品均需要消耗某原料1噸,現(xiàn)有原料5噸剛好用完,問兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時(shí),總利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少? 2. 設(shè)平面區(qū)域D由曲線圍成，求D的面積及D繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。 五、證明題（5分） 證明 廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)試題參考答案及

25、評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2014-20XX學(xué)年第二學(xué)期課程名稱 微積分II（B卷） 一， 填空題（每小題3分，共30分） 1. ; 2. ; 3. 0; 4. 0； 5. 3 ; 6. 6 ; 7. 7; 8. 二; 9. ； 10. . 二， 單選題（每小題3分，共15分） 1. B 2 . A 3. B 4. A 5. D 三， 計(jì)算題（每小題8分，共32分） 1 . 解： （4分） （8分） 2. 解設(shè) 則 （3分） (6分) （8分） 3. 解： （4分） （6分） （8分） 5. 解： 分離變量 （3分） 兩邊積分 （5分） 得 故原方程的通解為 ( C 為任意常數(shù) ) （8分） 四， 應(yīng)用題（每

26、小題9分，共18分） 1. 解:顯然,有條件成立,作輔助函數(shù) (3分) 令 解之得唯一駐點(diǎn) (7分) 故當(dāng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品3千件,乙產(chǎn)品2千件時(shí),利潤(rùn)最大,且最大利潤(rùn)為 (9分) 2. (4分) (9分) 五， 證明題（5分） 證明：考察級(jí)數(shù)，由于 （3分） 所以此級(jí)數(shù)收斂，故 （5分） 廣 東 財(cái) 經(jīng) 大 學(xué) 試 題 紙 20XX-20XX 學(xué)年第_ 2_學(xué)期課程名稱 微積分II（A卷） 四、 填空題（每題3分，共30分） 1.函數(shù)的定義域是 . 2. = . 3. =_ _ _ . 4. = . 5. = . 6. 廣義積分收斂，則 . 7. 設(shè)，其中 在D上連續(xù)，則 = . 8. 方程是 階微分方程 . 9. 設(shè),則 = . 10.交換積分次序= . 五、 單選題（每題3分，共15分） 1.