二項式定理公開課教案

1、.二項式定理公開課教案1、重點：二項式定理的發(fā)現(xiàn)、理解和初步應(yīng)用。2、難點：二項式定理的發(fā)現(xiàn)。三、教學(xué)過程1、情景設(shè)置問題1：若今天是星期一，再過30天后是星期幾？怎么算？預(yù)期回答：星期三，將問題轉(zhuǎn)化為求“30被7除后算余數(shù)”是多少。問題2：若今天是星期一，再過天后是星期幾？怎么算？預(yù)期回答：將問題轉(zhuǎn)化為求“被7除后算余數(shù)”是多少，也就是研究的展開式是什么？這就是本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容，學(xué)完本課后，此題就不難求解了。2、新授第一步：讓學(xué)生展開；教師將以上各展開式的系數(shù)整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1問題1：請你找出以上數(shù)據(jù)上下行之間的

2、規(guī)律。預(yù)期回答：下一行中間的各個數(shù)分別等于上一行對應(yīng)位置的相鄰兩數(shù)之和。問題2：以的展開式為例，說出各項字母排列的規(guī)律；項數(shù)與乘方指數(shù)的關(guān)系；展開式第二項的系數(shù)與乘方指數(shù)的關(guān)系。預(yù)期回答：展開式每一項的次數(shù)按某一字母降冪排列、另一字母升冪排列，且兩個字母的和等于乘方指數(shù)；展開式的項數(shù)比乘方指數(shù)多1項；展開式中第二項的系數(shù)等于乘方指數(shù)。 初步歸納出下式： （）（設(shè)計意圖：以上呈現(xiàn)給學(xué)生的由系數(shù)排成的“三角形”，起到了“先行組織者”的作用，雖然，教師將此“三角形”模型以定論的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，但是，它畢竟不是最后的結(jié)果，而是一種尋找系數(shù)規(guī)律的有效工具，便于學(xué)生將新的學(xué)習材料同自己原有的認知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起

3、來，并納入到原有認知結(jié)構(gòu)中而出現(xiàn)意義。這樣的學(xué)習是有意義的而不是機械的，是主動建構(gòu)的而不是被動死記的心理過程。）練習：展開教師作階段性評價，告訴學(xué)生以上的系數(shù)表是我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝的杰作，稱為楊輝三角形，這項發(fā)明比歐洲人帕斯卡三角早400多年。你們今天做了與楊輝同樣的探索，以鼓勵學(xué)生探究的熱情，并激發(fā)作為一名文明古國的后代的民族自豪感和愛國熱情。第二步：繼續(xù)設(shè)疑如何展開以及呢？（設(shè)計意圖：讓學(xué)生感到僅掌握楊輝三角形是不夠的，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習新的更簡捷的方法的欲望。）繼續(xù)新授師：為了尋找規(guī)律，我們將中第一個括號中的字母分別記成；第二個括號中的字母分別記成；依次類推。請再次用多項式乘法運算法則計算

4、： （設(shè)計意圖：上述呈現(xiàn)內(nèi)容是為了搭建“認知橋梁”，用以激活學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中已有的知識與經(jīng)驗，便于學(xué)生進行類比學(xué)習，用已有的知識與經(jīng)驗同化當前學(xué)習的新知識，并遷移到陌生的情境之中。）問題1：以項為例，有幾種情況相乘均可得到項？這里的字母各來自哪個括號？問題2：既然以上的字母分別來自4個不同的括號，項的系數(shù)你能用組合數(shù)來表示嗎？問題3：你能將問題2所述的意思改編成一個排列組合的命題嗎？（預(yù)期答案： 有4個括號，每個括號中有兩個字母，一個是、一個是。每個括號只能取一個字母，任取兩個、兩個，然后相乘，問不同的取法有幾種？）問題4：請用類比的方法，求出二項展開式中的其它各項系數(shù)，并將式子：括號中的系數(shù)全

5、部用組合數(shù)的形式進行填寫。呈現(xiàn)二項式定理板書課題：。3、深化認識請學(xué)生總結(jié)：二項式定理展開式的系數(shù)、指數(shù)、項數(shù)的特點是什么？二項式定理展開式的結(jié)構(gòu)特征是什么？哪一項最具有代表性？由此，學(xué)生得出二項式定理、二項展開式、二項式系數(shù)、項的系數(shù)、二項展開式的通項等概念，這是本課的重點。（設(shè)計意圖：教師用邊講邊問的形式，通過讓學(xué)生自己總結(jié)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，挖掘?qū)W習材料潛在的意義，從而使學(xué)習成為有意義的學(xué)習。）4、鞏固應(yīng)用【例1】展開 【例2】求的展開式的第4項的系數(shù)及第4項的二項式系數(shù)。求的展開式中含項的系數(shù)。變式：在二項式定理中，令，得到怎樣的公式？思考：為什么？ 【例3】解決起始問題：，前面是7的倍數(shù)，因

6、此余數(shù)為，故應(yīng)該為星期二。說明：解決某些整除性問題是二項式定理又一方面應(yīng)用。四、課堂小結(jié)本節(jié)課我們主要學(xué)習了二項式的展開，有兩種方法，一是楊輝三角形，二是二項式定理，兩種方法各有千秋。二項式定理的表達式以及展開式的通項，要正確區(qū)別“項的系數(shù)”和“二項式系數(shù)”，將二項式定理中的字母賦上適當?shù)闹担涂梢郧笠恍┨厥獾慕M合多項式的值。二項式定理由多項式乘法法則得(a+b)2的展開式： (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2；從上述過程中可以發(fā)現(xiàn)，(a+b)n是n個(a+b)相乘，根據(jù)多項式乘法法則，每個(a+b)相乘時有兩個選擇，選a或選b，而且每個(a+b)中的a或b選定后，才能得到

7、展開式的一項，由分步乘法計數(shù)原理，可以得到這樣的項的項數(shù)，然后合并同類項。探索(a+b)4的展開式的形式。4個括號中取a和取b的個數(shù)和為4，即每一項的形式是a4-kbk，（1）k=0時，a4-kbk=a4，四個括號中全都取a，相當于取0個b，有C40項a4，即a4的系數(shù)為得：C40；（2）k=1時，四個括號中有1個取b，剩下的3個取a，得：C41a3C33b（3）k=1時，四個括號中有2個取b，剩下的2個取a，得：C42a2C22b2（4）k=3時，四個括號中有3個取b，剩下的1個取a，得：C43aC11b3（5）k=4時，四個括號中全都取b，得：C44b4(a+b)4= C40a4+C41a

8、3b+C42a2b2+C43ab3+C44b4(a+b)n的展開式又是什么呢？猜想：證明：對（a+b）n分類，按b可以分n+1類，不取b：Cn0an；取1個b：Cn1an-1b；取2個b：Cn1an-2b2；(k+1)取k個b：Cnkan-kbk；(n+1)取n個b：Cnnbn；然后將上述過程合起來，就得到二項展開式，(a+b)n=an+an-1b+an-kbk+bn(nN+)這就是二項式定理。它有n+1項，各項的系數(shù)叫二項式系數(shù)，叫二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第k+1項：二項式定理中，設(shè)，則你怎么記憶這個公式？項數(shù):共n+1項,是關(guān)于a與b的n次齊次多項式； 指數(shù):a的指數(shù)從n

9、逐項遞減到0，是降冪排列； b的指數(shù)從0逐項遞增到n，是升冪排列。例1 求的展開式 解：例2 （1）求的展開式的第4項的系數(shù)；（2）求的展開式中x3的系數(shù)及二項式系數(shù)解：(1+2x)7的展開式的第四項是，(1+2x)7的展開式的第四項的系數(shù)是280（2）的展開式的通項是，9-2r=3,r=3，x3的系數(shù)，x3的二項式系數(shù)例3求的展開式中的倒數(shù)第項；求的展開式常數(shù)項；解：的展開式中共13項，它的倒數(shù)第4項是第10項，當時展開式是常數(shù)項，即常數(shù)項為；“楊輝三角”1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1這個表叫做二項式系數(shù)表，也稱“楊輝三角”?！皸钶x三角”的特征：表中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和。當n不大時，可以根據(jù)這個表來求二項式系數(shù)。設(shè)表中不為1的數(shù)Crn+1,那么它肩上的兩個數(shù)分別為Cnn-1，Cnr，所以Crn+1= Cnn-1+ Cnr。 詳解九章算術(shù)中的“楊輝三角”如右圖。二項式系數(shù)的性質(zhì)展開式的二項式系數(shù)依次是 從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù)f(x)，其定義域是，對于確定的n，還可以畫出它的圖象；例如，當n=6 時，