二項(xiàng)式定理公開(kāi)課教案

1、.二項(xiàng)式定理公開(kāi)課教案1、重點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)、理解和初步應(yīng)用。2、難點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)。三、教學(xué)過(guò)程1、情景設(shè)置問(wèn)題1：若今天是星期一，再過(guò)30天后是星期幾？怎么算？預(yù)期回答：星期三，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求“30被7除后算余數(shù)”是多少。問(wèn)題2：若今天是星期一，再過(guò)天后是星期幾？怎么算？預(yù)期回答：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求“被7除后算余數(shù)”是多少，也就是研究的展開(kāi)式是什么？這就是本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容，學(xué)完本課后，此題就不難求解了。2、新授第一步：讓學(xué)生展開(kāi)；教師將以上各展開(kāi)式的系數(shù)整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1問(wèn)題1：請(qǐng)你找出以上數(shù)據(jù)上下行之間的

2、規(guī)律。預(yù)期回答：下一行中間的各個(gè)數(shù)分別等于上一行對(duì)應(yīng)位置的相鄰兩數(shù)之和。問(wèn)題2：以的展開(kāi)式為例，說(shuō)出各項(xiàng)字母排列的規(guī)律；項(xiàng)數(shù)與乘方指數(shù)的關(guān)系；展開(kāi)式第二項(xiàng)的系數(shù)與乘方指數(shù)的關(guān)系。預(yù)期回答：展開(kāi)式每一項(xiàng)的次數(shù)按某一字母降冪排列、另一字母升冪排列，且兩個(gè)字母的和等于乘方指數(shù)；展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)比乘方指數(shù)多1項(xiàng)；展開(kāi)式中第二項(xiàng)的系數(shù)等于乘方指數(shù)。 初步歸納出下式： （）（設(shè)計(jì)意圖：以上呈現(xiàn)給學(xué)生的由系數(shù)排成的“三角形”，起到了“先行組織者”的作用，雖然，教師將此“三角形”模型以定論的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，但是，它畢竟不是最后的結(jié)果，而是一種尋找系數(shù)規(guī)律的有效工具，便于學(xué)生將新的學(xué)習(xí)材料同自己原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起

3、來(lái)，并納入到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中而出現(xiàn)意義。這樣的學(xué)習(xí)是有意義的而不是機(jī)械的，是主動(dòng)建構(gòu)的而不是被動(dòng)死記的心理過(guò)程。）練習(xí)：展開(kāi)教師作階段性評(píng)價(jià)，告訴學(xué)生以上的系數(shù)表是我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家楊輝的杰作，稱(chēng)為楊輝三角形，這項(xiàng)發(fā)明比歐洲人帕斯卡三角早400多年。你們今天做了與楊輝同樣的探索，以鼓勵(lì)學(xué)生探究的熱情，并激發(fā)作為一名文明古國(guó)的后代的民族自豪感和愛(ài)國(guó)熱情。第二步：繼續(xù)設(shè)疑如何展開(kāi)以及呢？（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感到僅掌握楊輝三角形是不夠的，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)新的更簡(jiǎn)捷的方法的欲望。）繼續(xù)新授師：為了尋找規(guī)律，我們將中第一個(gè)括號(hào)中的字母分別記成；第二個(gè)括號(hào)中的字母分別記成；依次類(lèi)推。請(qǐng)?jiān)俅斡枚囗?xiàng)式乘法運(yùn)算法則計(jì)算

4、： （設(shè)計(jì)意圖：上述呈現(xiàn)內(nèi)容是為了搭建“認(rèn)知橋梁”，用以激活學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，便于學(xué)生進(jìn)行類(lèi)比學(xué)習(xí)，用已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)同化當(dāng)前學(xué)習(xí)的新知識(shí)，并遷移到陌生的情境之中。）問(wèn)題1：以項(xiàng)為例，有幾種情況相乘均可得到項(xiàng)？這里的字母各來(lái)自哪個(gè)括號(hào)？問(wèn)題2：既然以上的字母分別來(lái)自4個(gè)不同的括號(hào)，項(xiàng)的系數(shù)你能用組合數(shù)來(lái)表示嗎？問(wèn)題3：你能將問(wèn)題2所述的意思改編成一個(gè)排列組合的命題嗎？（預(yù)期答案： 有4個(gè)括號(hào)，每個(gè)括號(hào)中有兩個(gè)字母，一個(gè)是、一個(gè)是。每個(gè)括號(hào)只能取一個(gè)字母，任取兩個(gè)、兩個(gè)，然后相乘，問(wèn)不同的取法有幾種？）問(wèn)題4：請(qǐng)用類(lèi)比的方法，求出二項(xiàng)展開(kāi)式中的其它各項(xiàng)系數(shù)，并將式子：括號(hào)中的系數(shù)全

5、部用組合數(shù)的形式進(jìn)行填寫(xiě)。呈現(xiàn)二項(xiàng)式定理板書(shū)課題：。3、深化認(rèn)識(shí)請(qǐng)學(xué)生總結(jié)：二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的系數(shù)、指數(shù)、項(xiàng)數(shù)的特點(diǎn)是什么？二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的結(jié)構(gòu)特征是什么？哪一項(xiàng)最具有代表性？由此，學(xué)生得出二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)展開(kāi)式、二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)等概念，這是本課的重點(diǎn)。（設(shè)計(jì)意圖：教師用邊講邊問(wèn)的形式，通過(guò)讓學(xué)生自己總結(jié)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，挖掘?qū)W習(xí)材料潛在的意義，從而使學(xué)習(xí)成為有意義的學(xué)習(xí)。）4、鞏固應(yīng)用【例1】展開(kāi) 【例2】求的展開(kāi)式的第4項(xiàng)的系數(shù)及第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)。求的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)。變式：在二項(xiàng)式定理中，令，得到怎樣的公式？思考：為什么？ 【例3】解決起始問(wèn)題：，前面是7的倍數(shù)，因

6、此余數(shù)為，故應(yīng)該為星期二。說(shuō)明：解決某些整除性問(wèn)題是二項(xiàng)式定理又一方面應(yīng)用。四、課堂小結(jié)本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了二項(xiàng)式的展開(kāi)，有兩種方法，一是楊輝三角形，二是二項(xiàng)式定理，兩種方法各有千秋。二項(xiàng)式定理的表達(dá)式以及展開(kāi)式的通項(xiàng)，要正確區(qū)別“項(xiàng)的系數(shù)”和“二項(xiàng)式系數(shù)”，將二項(xiàng)式定理中的字母賦上適當(dāng)?shù)闹?，就可以求一些特殊的組合多項(xiàng)式的值。二項(xiàng)式定理由多項(xiàng)式乘法法則得(a+b)2的展開(kāi)式： (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2；從上述過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)，(a+b)n是n個(gè)(a+b)相乘，根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，每個(gè)(a+b)相乘時(shí)有兩個(gè)選擇，選a或選b，而且每個(gè)(a+b)中的a或b選定后，才能得到

7、展開(kāi)式的一項(xiàng)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以得到這樣的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，然后合并同類(lèi)項(xiàng)。探索(a+b)4的展開(kāi)式的形式。4個(gè)括號(hào)中取a和取b的個(gè)數(shù)和為4，即每一項(xiàng)的形式是a4-kbk，（1）k=0時(shí)，a4-kbk=a4，四個(gè)括號(hào)中全都取a，相當(dāng)于取0個(gè)b，有C40項(xiàng)a4，即a4的系數(shù)為得：C40；（2）k=1時(shí)，四個(gè)括號(hào)中有1個(gè)取b，剩下的3個(gè)取a，得：C41a3C33b（3）k=1時(shí)，四個(gè)括號(hào)中有2個(gè)取b，剩下的2個(gè)取a，得：C42a2C22b2（4）k=3時(shí)，四個(gè)括號(hào)中有3個(gè)取b，剩下的1個(gè)取a，得：C43aC11b3（5）k=4時(shí)，四個(gè)括號(hào)中全都取b，得：C44b4(a+b)4= C40a4+C41a

8、3b+C42a2b2+C43ab3+C44b4(a+b)n的展開(kāi)式又是什么呢？猜想：證明：對(duì)（a+b）n分類(lèi)，按b可以分n+1類(lèi)，不取b：Cn0an；取1個(gè)b：Cn1an-1b；取2個(gè)b：Cn1an-2b2；(k+1)取k個(gè)b：Cnkan-kbk；(n+1)取n個(gè)b：Cnnbn；然后將上述過(guò)程合起來(lái)，就得到二項(xiàng)展開(kāi)式，(a+b)n=an+an-1b+an-kbk+bn(nN+)這就是二項(xiàng)式定理。它有n+1項(xiàng)，各項(xiàng)的系數(shù)叫二項(xiàng)式系數(shù)，叫二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第k+1項(xiàng)：二項(xiàng)式定理中，設(shè)，則你怎么記憶這個(gè)公式？項(xiàng)數(shù):共n+1項(xiàng),是關(guān)于a與b的n次齊次多項(xiàng)式； 指數(shù):a的指數(shù)從n

9、逐項(xiàng)遞減到0，是降冪排列； b的指數(shù)從0逐項(xiàng)遞增到n，是升冪排列。例1 求的展開(kāi)式 解：例2 （1）求的展開(kāi)式的第4項(xiàng)的系數(shù)；（2）求的展開(kāi)式中x3的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)解：(1+2x)7的展開(kāi)式的第四項(xiàng)是，(1+2x)7的展開(kāi)式的第四項(xiàng)的系數(shù)是280（2）的展開(kāi)式的通項(xiàng)是，9-2r=3,r=3，x3的系數(shù)，x3的二項(xiàng)式系數(shù)例3求的展開(kāi)式中的倒數(shù)第項(xiàng)；求的展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)；解：的展開(kāi)式中共13項(xiàng)，它的倒數(shù)第4項(xiàng)是第10項(xiàng)，當(dāng)時(shí)展開(kāi)式是常數(shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)為；“楊輝三角”1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1這個(gè)表叫做二項(xiàng)式系數(shù)表，也稱(chēng)“楊輝三角”?！皸钶x三角”的特征：表中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和。當(dāng)n不大時(shí)，可以根據(jù)這個(gè)表來(lái)求二項(xiàng)式系數(shù)。設(shè)表中不為1的數(shù)Crn+1,那么它肩上的兩個(gè)數(shù)分別為Cnn-1，Cnr，所以Crn+1= Cnn-1+ Cnr。 詳解九章算術(shù)中的“楊輝三角”如右圖。二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是 從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù)f(x)，其定義域是，對(duì)于確定的n，還可以畫(huà)出它的圖象；例如，當(dāng)n=6 時(shí)，