量子力學第7章周世勛

1、原子中的電流和磁矩(1)原子中的電流密度iti,Je 二 一 =一 e 丁 #伽V 屮伽 * _ % * V 0伽 2 a 1 a id 球坐標系中V二0 +e +e -r dr e r d3 rsin d(p由于 =他幾（廠比”（）的悝向波函數(shù)心（廠）和0與有關(guān)的函數(shù)部分甲（cos 0）都是實函數(shù)，所以代入上式后必如T:H。紡 J7|艸 ouisj r! iuia爲Q Q如嚴阡=d)uq+Vf 二吶 + e3ef + 帖二 74 4 # 4 JL4叫0U陽吃7血噥涵二*g如唄0豎冬 但廠r2 sin3drd3d(p波函數(shù)已歸一(2)軌道磁矩J是繞z軸的環(huán)電流密度, (pde的電流元為：貝U總

2、磁矩(沿Z軸方向)是:匸|%忙sin妙d0所以通過截面em7th兀M廣emh2“di = Je ds = jds = JrdOdr 由 此求得J 園周 電流的璉矩dM. = nr1 sin2 Odl = nr J)(D sin2 OdOdremTJisin0 2iP 丫小k/J dedremh2juC= -Bm關(guān)于磁矩幾點討論:由上式可以看出，磁 矩與興,這就是把加 稱為磁量子數(shù)的原由?！? 二=9.274x10_24J/T2他玻爾磁子對S態(tài)，(7 = 0),磁矩 胚二0,這廷由于電流為 零的緣故。由上面的磁矩表達式mh是軌道耳|動量的Z分量。mti2 juCL上式比值稱為取比值(軌道轉(zhuǎn)磁比)

3、,戒稱為 g子。(e/2“C)為單位，則g二-1。記稱為軌道片動量磁矩前面的理論尚有兩方面的局卩艮:1未考慮粒子的自旋特征,微觀粒子都有自旋特征。2僅考慮了單粒子體系，實際粒子體系一般是多粒子體系。電子的自旅特征具有 自 旅特征粒子的 波函數(shù)多粒子體系實際應(yīng)用講授內(nèi)容7.1電子自旋Electron spin7.2電子自旋算符與自旋波函數(shù)Electron spin operator and spin wave function7.3簡單塞曼效應(yīng)Simple Zeeman effect7.4兩個角動量的耦合Coupling of two angular momentum7.5光譜的精細結(jié)構(gòu)Fine

4、 structure of the spectrum7.6全同粒子的性質(zhì)The characterization of similar particles7.7全同粒子系統(tǒng)的波函數(shù)泡利原理The wave function of similar particle system Pauli principle7.8兩個電子的波函數(shù)The spin wave function of two electronsGEO 上 OEOO 2 saop Eaqod(pg 21ew)01a=aledues -a-aled (lueluoluolaubew) s羈曹也*兇縫也*毀轉(zhuǎn)-uownouoo8 SO0W

5、WH 法會拯 lpe_e0u$SA烏侖貝克. 哥徳斯米脫假設(shè)(1) 毎個電子具有自旋開動量 s，它在空間任意方7。(2)毎個電子具有自旋璉矩歷s，它與自旋斥動量的關(guān)系是flf上的投影(SI)Ms 二S(CGS)JLICr M =5ZYen-土=2“(SI)M :J 1Y sz,en-土2/x= MB(CGS)(Mb 玻爾磁子)旋璉比卒:6e(SI)Sz M軌道璉矩與軌道片動量的關(guān)系:(CGS)同二寺(SI)M/ =2 pic(CGS)e(SI)2“Lz2 yc(CGS)自磁矩是軌道磁矩的兩倍 7. 2 電子的自旋蘇符和自旋函數(shù)1 . 自旋算符為了描述電子的 自旅特性，弓I入一個厄米算符 5 來

6、表征電子的自旋免動量 s注意:自旋開動量是電子內(nèi)部的一種有特性,在經(jīng)典理論中沒有對應(yīng)量，也不同于一般的力學量, 它不口邑農(nóng)示為坐標和 動*的 函 數(shù)。是自旅片動畳，應(yīng)滿足用動畳算持的普通對 易關(guān)系zS x S = ihS自 旋耳i動量平方算符平方分量間 的對易關(guān)系/ / /SxSy SQx/ / zZ ZYZ ZY=ihS 乙z=加xSS； + S； + S；反彳=0( = % Z)525X-S3=0ZVZV525y-SQ2=0525-5 52Z=0ZVS 的本征值是A cA cS； S；S?的本征值都是Z52X4= s2 = s2 =- y z 42的本征值宀s： + s； + s； = |

7、 九若將自旋片動量本征值表示為開動量本征值的 一般形式：S2 = $($ + 1)方 2二=msh3. 泡利算符 為了討論問題方便,ms為“磁”量子g =)數(shù)A弓I入泡利算符&Sx = -a2XZ對易關(guān)系axa = 2ia泡利算符平方算符$2夕庁=0AAa a -x yAAC (7y xr 八=2A Aa a -y zAAcr crz yc 八=2zoAACTQ、-AA06r 八=2zoI Z x兀zy2 2?.2. 2a =a+o+ CFayzf d-2況1 =二 0 CT21 二二 0e二二 0本征值/八/6 Gy az的本征值都是土 12 -方 cr =- v s =-汽 x 2叮1 r

8、 2 _ r 2 _ r 2 _ 1 crx - (Jy-a z -1& 的本征值 a2 =a +af + a =3反對易關(guān)系伉，二嚇+ 56 = 0Prove z， z y y4自旋算符的矩陣表示自旅算符在S?衣象中的矩陣形式，可根據(jù) 算符的一般理論，空符在其自身表象中為對用矩0、一1丿fl0-1/八現(xiàn)在來研究CTX、J的矩陣形式(c d)八八(a b、設(shè)q的矩陣形式為=由(*故有cT =d(a bd丿(a, d必為實數(shù))F 二cb、丿i-*O0、oo00*oo0IIIIOqX 2OO+OIIIIOIIOO+a0IIaOO、IoIIOL OIIOAIIy 1hIIo、10丨11oqzqoX1

9、oq1hqyh、oo1bN)II1IIJ bF t賀o11oIIo泡利矩陣o rU 丿算符矩陣210 -八A6 二1 0、i 0丿/Z一1丿(0 -八A flS= 10、J 0丿1 20-1/5自旋函數(shù)電子既然有自旋，則其波函數(shù)就應(yīng)考慮自旋量子數(shù)S （構(gòu)成力學量完全集合的力學量數(shù)Z為4個），波函數(shù)表示為fh屮二屮（兀莎乙亍力 屮二屮（x,y,z,Sz，f） ?殊図弊2(0)w(* y V 斜 SI) H 弋(* y斜02(0 )*() IT一 二 22OI)H a 、 (UJ1 o2 H2(H)H自施函數(shù)的正交歸一性Zi=(l20)Zi=(l20)ZlZ 1 =(o2 21)0、=1 J1a

10、0七自旋算符的本征值方程八3(SJ = S(S +1)方 2孤(SJ =才滬丸(/)八1Szxms(丄)=msh%ms (Sz) = -hxms (S?)任意一個算符0的平均值將G 表示為二行二列矩陣21G22 丿對自旋求平均:G=y/Gy/ = 屮;(気GJ( 屮6G22 丿UJ對坐標和自 旋同時求平均G = y/+Gy/dr7.3 簡單塞曼效應(yīng)考慮氫原子和類氫廉子在磁場中的 情況在無外磁場的情況下，體系的定態(tài)Schrddinger方程育（0） _ _y22 r4-2r 22“-V2 - - 0（C = E0（C本征函數(shù)：0伽（門=心（廠）乙（。,。）” ）0伽（門=&必伽本征能量:氫原子

11、E = En（僅與有關(guān)）類氫原子E = Enl （與弘/有關(guān)）由2P態(tài)遷到1S態(tài)的嘆遷頻卒5 =（耳1 do）/力在有強磁場的1*況下（忽略自 旋與軌道運動的 相 互作用能）磁場弓I起的附加能量U =-（ML+MS）BS 二 一（L + 2S）-Bs2juc取的萬方向為z軸方向，則（乙+2乞）冬BeBs = $ B(SI)(CGS)定態(tài)Schr6dinger方程力22幺2fB 八八本征函數(shù)：屮嘰=0伽（匕3Xms/Vjnlmms =加方蝕=必 九sAs弘叭=叫人叭=叫人屮亦叫代入以上方程，寫成2e efiBV2+(m + 2ms) i/nl2nmi s nlnm s nlnvn snlm2r

12、2/lic%貯乞+瓷働+ 2%)1時叫=q ,口 ehB2/zc當s込=_2時=乞+讐働-1)+濁2/zc1.當原子處在態(tài)時，/ = o , m = 0F 一 F匕。丄f200-1=En02/zc由于電子存在 自旋，原子處在石玆場中，原來的 翁乞級分裂為兩條，正如斯特思一革拉赫實驗中所觀察到的。2. 2P態(tài)1S態(tài)的躍遷情況1S態(tài)的能級=Eg +2jnc2/uc2P態(tài)的能級 n = 2, I = 1, m = l, 0, 1氣1丄=鳳12E I = 21212E i di 21七efiBs+(1 + 1) = di +2/ncefiBs+ (0 + 1) = E2 +2/ncehBsjLLC2/

13、c= E21+ 羅（0-H212jlicehBs2jnc氣亠丄2=力21etiBetiB+ L（T 1）=疋212jlicpc無磁場IPISafm = +lm = 0加二一1有磁場m - +1m = 0m 二-1m = 02P1S氐遷頻率E iEnlmnTm2 2hE廠Enlm nVm co =h由此和選擇定則Zl/ = 1 ，Am 0,1，215=0ehB知 CD COCO (D2/tc即2P1S朕遷頻卒可取三個值a, 。譜線頻率co :b, bf譜線頻率:c, /譜線頻率 =m = +1m = 0m = 102c二 0)2cf abfctl77.6 全同粒子的特征1.全同粒子有性質(zhì)相同 的

14、粒子稱為全同粒子有性質(zhì)指的是質(zhì)量.電荷、自旋同位旋、宇稱、奇異數(shù)例：電子、質(zhì)子.中子、超子.重子、輕子.微子同類核原子、分子2.不可區(qū)分4生經(jīng)典力學中，兩物體性質(zhì)相同時，仍然可以區(qū)分, 因各自有確定軌道。微觀體系（粒子）,因為 運動具有波粒二象生，無確定軌道,在位置幾率重迭處就不育W區(qū)分是哪個粒子。例如： 在電子雙縫衍射實驗中，考察兩個電 子，無法判別哪個電子通過哪條縫，也無法判 別屏上觀察到 的 電子，哪個是通過哪條纟逢來的, 也無法判別哪個是第一個電子， 哪個是第二個 電子3.全同性原理由于全同粒子的不可區(qū)分丿I生，在全同粒子所組成的系統(tǒng)中，任意兩個全同 粒子相 互交換（位置等）,不會引起系統(tǒng)狀態(tài)的改變。幾率分布不變：2肖