勾股定理難題精選

1、勾股定理一、選擇題1、直角三角形的兩直角邊分別為5厘米、12厘米，則斜邊上的高是（ ）A、6厘米 B、8厘米 C、厘米 D、厘米2、若等腰三角形腰長為10cm，底邊長為16 cm,那么它的面積為 ( ) A. 48 cm2 B. 36 cm2 C. 24 cm2 D.12 cm23、Rt一直角邊的長為11，另兩邊為自然數(shù)，則Rt的周長為（） A、121B、120C、132D、不能確定解：設(shè)該Rt的三邊分別為a、b、c，a、b為直角邊，c為斜邊由勾股定理知：，即：112b2 = c2 所以（b+c）（cb）=121因為b、c都為自然數(shù)，所以b+c，cb，都為正自然數(shù)。又因為121只有1、11、1

2、21這三個正整數(shù)因式，所以b+c=121，cb=1。所以b=60，c=61評論，本題以直角三角形為載體，同過勾股定理將初中幾何知識和代數(shù)知識很好地串聯(lián)起來考察學(xué)生的能力。4、如圖，由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形，若大正方形面積是9，小正方形面積是1，直角三角形較長直角邊為a，較短直角邊為b，則ab的值是（）A4B6C8D105、ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則ABC的周長為（）A42B32C42或32D37或3310、某市在舊城改造中，計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要（）A、4

3、50a元B、225a 元C、150a元 D、300a元15020m30m第10題圖ABEFDC第11題圖北南A東第12題圖11已知，如圖，長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則ABE的面積為（）A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm212已知，如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里8、直角三角形的一條直角邊長為12，另外兩條邊長均為自然數(shù)，則其周長可以為（ ）A36

4、B28 C56 D不能確定9、已知a、b、c是三角形的三邊長，如果滿足，則三角形的形狀是（ ）A底與邊不相等的等腰三角形 B、等邊三角形 圖1C、鈍角三角形 D、直角三角形10、2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的勾股圓方圖，它是由四個全等的直角三角形與中間的小小正方形拼成的一個大正方形（如圖1所示），如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的短直角邊為a，較長直角邊為b，那么的值為（ ）A13 B19 C25 D169二、填空題15、如圖，從電線桿離地面3米處向地面拉一條長為5米的拉線，這條拉線在地面的固定點距離電線桿底部有 米。16、如圖，

5、沿傾斜角為30的山坡植樹，要求相鄰倆棵樹的水平距離AC為2m，那么相鄰兩棵樹的斜坡距離AB約為 m。（精確到0.1m，可能用到的數(shù)據(jù)，）。17、已知一個三角形的三邊長分別是12cm，16cm，20cm，則這個三角形的面積為 。18、在高5m，長13m的一段臺階上鋪上地毯，臺階的剖面圖如圖所示，地毯的長度至少需要_m18、若正方形的面積為18cm2，則正方形對角線長為_cm。來19、在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖所示）已知斜放置的三個正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4=20、有一長、寬、高分別為5cm、4cm、3cm

6、的木箱，在它里面放入一根細木條（木條的粗細、形變忽略不計），要求木條不能露出木箱，請你算一算，能放入的細木條的最大長度是_cm21、已知等邊三角形的邊長為2cm，則面積為 。22、“對頂角相等?！钡哪婷}是_ 。23、如圖，ABC為一鐵板零件，AB=AC=15厘米，底邊BC=24厘米，則做成這樣的10個零件共需 平方厘米的材料24、已知ABC的三邊a、b、c滿足等式|a-b-1|+|2a-b-14|=-|c-5|，則ABC的面積為_.三、解答題1、如圖：A、B兩點與建筑物底部D在一直線上，從建筑物頂部C點測得A、B兩點的俯角分別是30、60，且AB=20，求建筑物CD的高。2、如圖，海中有一小

7、島A，在該島周圍10海里內(nèi)有暗礁，今有貨船由西向東航行，開始在A島南偏西45的B處，往東航行20海里后達到該島南偏西30的C處，之后繼續(xù)向東航行，你認為貨船繼續(xù)向東航行會有觸礁的危險嗎？計算后說明理由。3、如圖，長方體的長為15 cm，寬為10 cm，高為20 cm，點B離點C 5 cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是多少？ 4、如圖，A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處，以每小時40km的速度向北偏東60的BF方向移動，距離臺風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域.（1） A城是否受到這次臺風(fēng)的影響？為什么？（2） 若A城受到這次臺風(fēng)影

8、響，那么A城遭受這次臺風(fēng)影響有多長時間？分析：（1）點到直線的線段中垂線段最短，故應(yīng)由A點向BF作垂線，垂足為C，若AC200則A城不受影響，否則受影響；（2）點A到直線BF的長為200千米的點有兩點，分別設(shè)為D、G，則ADG是等腰三角形，由于ACBF，則C是DG的中點，在RtADC中，解出CD的長，則可求DG長，在DG長的范圍內(nèi)都是受臺風(fēng)影響，再根據(jù)速度與距離的關(guān)系則可求時間解答：解：（1）由A點向BF作垂線，垂足為C，在RtABC中，ABC=30，AB=320km，則AC=160km，因為160200，所以A城要受臺風(fēng)影響；（2）設(shè)BF上點D，DA=200千米，則還有一點G，有AG=200

9、千米因為DA=AG，所以ADG是等腰三角形，因為ACBF，所以AC是DG的垂直平分線，CD=GC，在RtADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD=120千米，則DG=2DC=240千米，遭受臺風(fēng)影響的時間是：t=24040=6（小時）點評：此題主要考查輔助線在題目中的應(yīng)用，勾股定理，點到直線的距離及速度與時間的關(guān)系等，較為復(fù)雜5、一只螞蟻如果沿長方體的表面從A點爬到B點，那么沿哪條路最近，最短的路程是多少？已知長方體的長2cm、寬為1cm、高為4cm考點：平面展開-最短路徑問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將正方體展開，然后利用兩

10、點之間線段最短解答解答：解：如圖：根據(jù)題意，如上圖所示，最短路徑有以下三種情況：（1）沿AA，AC，CB，BB剪開，得圖（1）AB2=AB2+BB2=（2+1）2+42=25；（2）沿AC，CC，CB，BD，DA，AA剪開，得圖（2）AB2=AC2+BC2=22+（4+1）2=4+25=29；（3）沿AD，DD，BD，CB，CA，AA剪開，得圖（3）AB2=AD2+BD2=12+（4+2）2=1+36=37；綜上所述，最短路徑應(yīng)為（1）所示，所以AB2=25，即AB=5cm點評：此題考查最短路徑問題，將長方體從不同角度展開，是解決此類問題的關(guān)鍵，注意不要漏解6、如圖2（1），是小紅用硬紙板做成

11、的兩個全等的直角三角形，兩直角邊的長分別為a和b，斜邊長為c，如圖2（2）是以c為直角邊的等腰直角三角形，她想將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形，可以嗎？（1）如果能，請你畫出拼成的這個圖形的示意圖，寫出它是什么圖形？（2）用這個圖形證明勾股定理（3）假設(shè)圖2（1）中的圖有若干個，你能運用（1）中所示的直角三角形拼出另一個能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的示意圖（無需證明）解：（1）如圖是直角梯形.（2）因為S梯形(a+b)(a+b)(a+b)2，S2ab+c2ab+c2，所以(a+b)2ab+c2，即a2+b2c2.（3）如圖所示.評論：這是一道圖形換的題，具體涉及到圖形的拼湊，解決勾股定

12、理這方面的試題關(guān)鍵是要對課本勾股定理證明涉及到的幾種常見的圖形以及證明過程和原理要熟練掌握，再利用適當(dāng)?shù)倪w移便可以解答了。7、小明有一根70cm長的木棒，現(xiàn)有一個長、寬、高分別為30cm、40cm、50cm的木箱，這個木箱能夠容下小明的這根木棒嗎？請你說明理由。（8分）6、臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強的破壞力，據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220km的B處有一臺風(fēng)中心其中心最大風(fēng)力為12級，每離臺風(fēng)中心20km，風(fēng)力就會減弱一級，該臺風(fēng)中心現(xiàn)在正以15km/h的速度沿北偏東30方向往C移動，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變，如圖14-10，若城市所受風(fēng)

13、力達到或超過4級，則稱為受臺風(fēng)影響 （1）該城市是否會受到這次臺風(fēng)的影響？請說明理由； （2）若會受臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間有多長？該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級？解：（1）如圖，過點A作ADBC于D，則AD是該城市離臺風(fēng)中心最短的距離，在RtABD中，B=30，AB=220千米，AD=110千米，故城市A受到此次臺風(fēng)影響（2）在BC上取E、F兩點，使AE=AF=160，當(dāng)臺風(fēng)中心從E處移到F處時，該城市都會受到臺風(fēng)的影響在RtADE中，DE=116.19千米，EF232.38（千米），故這次臺風(fēng)影響該城市的連續(xù)時間約為15.49（小時）當(dāng)臺風(fēng)中心位于D處時，A市所受這次臺風(fēng)

14、的風(fēng)力最大，其最大風(fēng)力為12-=6.5級 點撥：該城市是否會受到此次臺風(fēng)的影響，取決于該城市距臺風(fēng)中心的最近距離，若大于160km，則不受臺風(fēng)影響風(fēng)力達到或超過4級稱受臺風(fēng)影響，故該城市從開始受臺風(fēng)影響到結(jié)束受臺風(fēng)影響之間的距離除以其速度即為影響的時間，在離臺風(fēng)中心最近處風(fēng)力最大 25、如圖，在ABC中，AB=AC=6，P為BC上任意一點，請用學(xué)過的知識試求+PA2的值。ABPC第25題圖DABC26、在RtABC中，ACB=900，CDAB于D，設(shè)AC=b，BC=a，AB=c，CD=h。試說明以a+b、h、c+h三邊組成的三角形是直角三角形。 ECPBA25解：過點A作AEBC于E，AB =

15、 AC BE = CE ，PB= BEPE ，PC = ECPE 在RtAPE中，PA2 = PE2AE2 +PA2 = （ECPE）（BEPE）+PA2 = （BEPE）（BEPE）+PA2 = BE2PE2+PA2 = BE2 AE2 =AB2 = 62 = 36 26、由SABC=ab =ch，可得ab=ch在RtABC中，由勾股定理可得： a2+b2=c2(a+b)2+h2=a2+2ab+b2+h2 =c2+2ch+h2 =(c+h) 2由勾股定理的逆定理可得：以a+b、h、c+h為邊27、已知、 為的三邊，且滿足試判斷的形狀28、如圖，ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC邊上的高AD29、知識擂臺：街道的兩旁共有45盞街燈，每兩盞燈之間間隔30米、每一盞燈的位置正好在對面街道相對的兩盞燈的中間，請問這條街道有多長？勾股定理的應(yīng)用。分析：根據(jù)題意可知45