衍生金融工具復(fù)習(xí)

1、付息票債券的遠(yuǎn)期價(jià)格偏高時(shí)的套利機(jī)會市場情況一年后交割的附息票債券遠(yuǎn)期合約的價(jià)格為930美元。債券的即期價(jià)格為900美元。預(yù)期債券在6個(gè)月后12個(gè)月后各支付40美元的利息。6個(gè)月期和12個(gè)月期的無風(fēng)險(xiǎn)利率分別為9%和10%。套利機(jī)會遠(yuǎn)期價(jià)格偏高，套利者可以：1. 即期借900美元，買入一份債券。2. 賣空一份債券的遠(yuǎn)期合約。在即期所借900美元中，其中38.24美元以9%的年利率借入6個(gè)月，另外861.76美元以10%的年利率借入一年。首次利息支付40美元正好用來償還6個(gè)月期38.24美元貸款的本金和利息。一年之后，收到了第二次利息40美元，根據(jù)遠(yuǎn)期合約條款賣出債券收到930美元。861.76

2、美元的貸款到期共需償還本金和利息952.39美元。該策略凈盈利為：操作賣空買入借入合計(jì)付息票債券的遠(yuǎn)期價(jià)格偏低時(shí)的套利機(jī)會市場情況一年后交割的附息票債券遠(yuǎn)期合約的價(jià)格為905美元。債券的即期價(jià)格為900美元。預(yù)期債券在6個(gè)月后12個(gè)月后分別支付利息40美元。6個(gè)月期和12個(gè)月期的無風(fēng)險(xiǎn)利率分別為9%和10%。套利機(jī)會遠(yuǎn)期價(jià)格偏低，套利者可以：3. 賣出一份債券。4. 簽署一年后購買一份債券的遠(yuǎn)期合約。賣出債券得到900美元，其中38.24美元作6個(gè)月無風(fēng)險(xiǎn)投資，另外861.76美元作一年無風(fēng)險(xiǎn)投資。此策略在6個(gè)月和12個(gè)月后分別產(chǎn)生40美元和952.39美元的現(xiàn)金流入。前面40美元用來支付6個(gè)

3、月后的債券利息；后面952.39美元中40美元用來支付一年后的債券利息，905美元用來根據(jù)遠(yuǎn)期合約條款購回債券，即期出售債券而遠(yuǎn)期將該債券購回的策略所產(chǎn)生的凈收益為：比簡單的持有一年該債券的收益更多。操作買入賣空存銀行合計(jì)3.5 一種股票預(yù)計(jì)在兩個(gè)月后會每股支付1美元紅利，5個(gè)月后再支付一次。股票價(jià)格為50美元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為8%（對任何到期日連續(xù)復(fù)利計(jì)息）。一位投資者剛剛持有這種股票的6個(gè)月遠(yuǎn)期合約的空頭寸。（a）遠(yuǎn)期價(jià)格為多少？遠(yuǎn)期合約的初始價(jià)值為多少？（b）3個(gè)月后，股票價(jià)格為48美元，無風(fēng)險(xiǎn)利率不變。遠(yuǎn)期價(jià)格和遠(yuǎn)期合約空頭頭寸的價(jià)值為多少？（a） 股票分配股息的現(xiàn)值為：遠(yuǎn)期價(jià)格：因?yàn)橥顿Y

4、者剛剛持有該頭寸，所以遠(yuǎn)期合約初始價(jià)值，且（b）3個(gè)月后， 股票分配股息的現(xiàn)值為： 遠(yuǎn)期價(jià)格：遠(yuǎn)期合約空頭頭寸價(jià)值：5.31 一家銀行向企業(yè)客戶提供兩種選擇：一種是按11%的利率借入現(xiàn)金，另一種是以2%利率借入黃金（當(dāng)借入黃金時(shí)，必須以黃金形式支付利息，因此，如果今天借入100盎司，在1年后必須償還102盎司黃金）。無風(fēng)險(xiǎn)利率為每年9.25%，貯存費(fèi)為每年0.5%。討論同現(xiàn)金貸款利率相比，借入黃金的利率是太高還是太低？這里兩種貸款的利率均為每年復(fù)利一次，無風(fēng)險(xiǎn)利率和貯存費(fèi)用利率均為連續(xù)復(fù)利。設(shè)黃金價(jià)格為1000美元/盎司，并且這個(gè)客戶想借入的資金為1000000美元。該客戶既可以直接借入100

5、0000美元現(xiàn)金，也可以借入1000盎司黃金。如果直接借入現(xiàn)金，則到期需償還10000001.11=1110000美元。如果借入1000盎司黃金，到期需償還1020盎司黃金。由于，根據(jù)教材公式，可得遠(yuǎn)期價(jià)格為：通過在遠(yuǎn)期市場買入1020盎司黃金，該企業(yè)客戶可以鎖定借入黃金的到期償還額為：很明顯，直接借入現(xiàn)金要優(yōu)于借入黃金（11244601110000）。計(jì)算結(jié)果表明，借入黃金的利率過高。那么多高的利率是合理的呢？假定R是借入黃金的利率，那么到期該企業(yè)客戶需償還黃金數(shù)為1000（1+R）盎司，根據(jù)上面的遠(yuǎn)期價(jià)格，則借款成本為：因此借入黃金的利率比合理利率高出1.31個(gè)百分點(diǎn)。老師課上做法：所以應(yīng)

6、該選擇直接借入現(xiàn)金。3.10 瑞士和美國按連續(xù)復(fù)利計(jì)息的兩個(gè)月期的年利率分別為3%和8%。瑞士法郎的即期價(jià)格為0.65美元。兩個(gè)月后交割的期貨合約的期貨價(jià)格為0.66美元。問存在什么樣的套利機(jī)會？理論上期貨價(jià)格：所以實(shí)際的期貨價(jià)格被高估，套利者可以通過借入美元買入瑞士法郎同時(shí)賣出瑞士法郎期貨合約進(jìn)行套利。3.11、一家公司持有價(jià)值為2000萬美元、的股票組合。該公司想利用標(biāo)普500期貨來對沖風(fēng)險(xiǎn)。股指期貨的當(dāng)前水平是1080，每一份期貨合約是關(guān)于250美元乘股指。什么樣的對沖可以使風(fēng)險(xiǎn)最小化？公司怎么做才可以將組合的值降低到0.6？應(yīng)賣空的合約數(shù)量近似為整數(shù)，應(yīng)賣空的合約數(shù)為89份。如果欲將組

7、合的值降低到0.6，應(yīng)賣空的合約數(shù)為前者的一半，即應(yīng)賣空44份合約。3.12假定今天是7月16日，一家公司持有價(jià)值1億美元的股票組合，組合的，這家公司希望用CME的12月標(biāo)普500股指期貨組合在7月16日至11月16日之間變化的由1.2變成0.5.當(dāng)前股指期貨價(jià)格為1000，每一份期貨合約的規(guī)模是250美元與股指的乘積。（a）公司應(yīng)做什么樣的交易？（b）假如公司改變初衷而想將投資組合的由1.2增加到1.5，公司應(yīng)持有什么樣的頭寸？（a）公司應(yīng)賣出的期貨合約的數(shù)量：（b）公司應(yīng)買入的期貨合約的數(shù)量：3.13、標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)=200，股票組合的價(jià)值=204萬美元，無風(fēng)險(xiǎn)年利率=10%，指數(shù)紅利收益率

8、=4%，股票組合的=1.5.假設(shè)利用4個(gè)月有效期的標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)期貨合約對沖股票組合在未來3個(gè)月的風(fēng)險(xiǎn)。一份指數(shù)期貨合約的價(jià)值等于指數(shù)乘以500美元。則目前的期貨價(jià)格應(yīng)該為：于是期貨合約價(jià)格美元。由假設(shè)指數(shù)在3個(gè)月內(nèi)變?yōu)?80，期貨的價(jià)格為：賣空股票指數(shù)期貨合約可獲利美元在股票指數(shù)上的損失為10%，指數(shù)每年支付4%的股利，即每3個(gè)月為1%。如果將股利考慮在內(nèi)，投資者在3個(gè)月內(nèi)獲得的指數(shù)收益為9%。無風(fēng)險(xiǎn)利率大約為每3個(gè)月2.5%。由組合的=1.5。得到股票組合的期望收益率為：在3個(gè)月末，股票組合的價(jià)值（包含股利）為：美元套期保值者的頭寸期望值（包含在指數(shù)期貨上的盈利）：美元當(dāng)一個(gè)變量增加而

9、其他變量保持不變時(shí)，對于股票期權(quán)價(jià)格的影響變量歐式看漲歐式看跌美式看漲美式看跌當(dāng)前股票價(jià)格執(zhí)行價(jià)格時(shí)間期限？波動率無風(fēng)險(xiǎn)利率股息數(shù)量期權(quán)價(jià)格的上限與下限期權(quán)類型上下限無股息股票美式看漲無股息股票歐式看漲無股息股票美式看跌無股息股票歐式看跌歐式看漲看跌平價(jià)關(guān)系美式期權(quán)看漲看跌關(guān)系考慮股息歐式看漲期權(quán)下限考慮股息歐式看跌期權(quán)下限支付股息平價(jià)關(guān)系考慮股息時(shí)的應(yīng)為貼現(xiàn)值歐式看跌看漲期權(quán)不滿足平價(jià)關(guān)系時(shí)的套利機(jī)會相對看跌期權(quán)價(jià)格而言看漲期權(quán)價(jià)格太低市場情況某投資者剛剛獲得如下股票歐式期權(quán)的報(bào)價(jià)，股票價(jià)格為31美元，3個(gè)月期無風(fēng)險(xiǎn)利率為年利率10%，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格都是30美元，3個(gè)月后到期。

10、歐式看漲期權(quán)價(jià)格：3美元?dú)W式看跌期權(quán)價(jià)格：2.25美元策略1、購買看漲期權(quán)2、出售看跌期權(quán)3、賣空一股股票結(jié)果這個(gè)策略給出的初試現(xiàn)金流為：31-3+2.25=30.25美元。將這筆資金按無風(fēng)險(xiǎn)利率投資3個(gè)月，3個(gè)月末本息為：美元。3個(gè)月末，有如下兩種可能性：1、如果股票價(jià)格大于30美元，投資者執(zhí)行看漲期權(quán)。即按照30美元價(jià)格購買一份股票，平倉空頭，獲利31.02-30=1.02美元。2、如果股票價(jià)格小于30美元，該投資者的對手執(zhí)行看跌期權(quán)。即投資者按照30美元的價(jià)格購買一份股票，平倉空頭，獲利31.02-30=1.02美元。操作買入看漲賣出看跌賣空股票存入銀行合計(jì)1、.2、6、執(zhí)行價(jià)格為20美

11、元，3個(gè)月后到期的歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)，售價(jià)都為3美元。無風(fēng)險(xiǎn)年利率為10%，股票現(xiàn)價(jià)為19美元，預(yù)計(jì)1個(gè)月后發(fā)放紅利1美元。說明投資者存在什么樣的套利機(jī)會？根據(jù)看漲期權(quán)平價(jià)關(guān)系：這個(gè)值高于3美元，說明看跌期權(quán)被低估。套利方法：買入看跌期權(quán)和股票，同時(shí)賣出看漲期權(quán)。8.8、一個(gè)無紅利支付股票的美式看漲期權(quán)的價(jià)格為4美元。股票價(jià)格為31美元，執(zhí)行價(jià)格為30美元，3個(gè)月后到期。無風(fēng)險(xiǎn)利率為8%。請推出相同股票、相同執(zhí)行價(jià)格、相同到期日的美式看跌期權(quán)的價(jià)格上下限。美式看跌看漲期權(quán)存在如下關(guān)系：在本題中：即：8.6、執(zhí)行價(jià)格為30美元，6個(gè)月后到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為2美元。標(biāo)的股票價(jià)格為29

12、美元，2個(gè)月后和5個(gè)月后分紅利0.5美元。期限結(jié)構(gòu)為水平，無風(fēng)險(xiǎn)利率為10%。執(zhí)行價(jià)格為30美元，6個(gè)月后到期的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格為多少？根據(jù)看漲看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系：移項(xiàng)得：在本題中：9.3假設(shè)執(zhí)行價(jià)格為30美元和35美元的看跌期權(quán)成本分別為4美元和7美元，怎樣用期權(quán)構(gòu)造牛市價(jià)差期權(quán)和熊市價(jià)差期權(quán)？作出表格說明這兩個(gè)期權(quán)的收益和盈虧狀況可以通過購買執(zhí)行價(jià)格為30美元的看跌期權(quán)和賣出執(zhí)行價(jià)格為35美元的看跌期權(quán)構(gòu)建牛市差價(jià)，該策略初始現(xiàn)金流為3美元，收益和盈虧如下表所示：股票價(jià)格收益盈虧可以通過賣出執(zhí)行價(jià)格為30美元的看跌期權(quán)和買入執(zhí)行價(jià)格為35美元的看跌期權(quán)構(gòu)建熊市差價(jià)，該策略初始成本為3元，收

13、益和盈虧如下表：股票價(jià)格收益盈虧9.4、三個(gè)同一股票上具有同樣期限的看跌期權(quán)執(zhí)行價(jià)格分別為55美元、60美元和65美元，這3種期權(quán)的市場價(jià)格分別為3美元、5美元和8美元。解釋如何構(gòu)造蝶式差價(jià)。用表來說明這一策略的盈利形式。股票在什么價(jià)位時(shí)，這一交易策略會導(dǎo)致虧損。蝶式差價(jià)的構(gòu)造方法為：購買一份執(zhí)行價(jià)格為55美元的看跌期權(quán)，購買一份執(zhí)行價(jià)格為65美元的看跌期權(quán)，同時(shí)賣出兩份執(zhí)行價(jià)格為60美元的看跌期權(quán)。初始成本為3+8-25=1美元。該交易策略的損益情況如表所示：股票價(jià)格收益盈虧當(dāng)最后的股票價(jià)格大于64或者小于56美元時(shí)，蝶式差價(jià)交易策略會導(dǎo)致?lián)p失10.1、某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為50美元，已知兩個(gè)月后，

14、股票的價(jià)格為53美元或者48美元。無風(fēng)險(xiǎn)年利率為10%（連續(xù)復(fù)利）。請用無套利原理說明，執(zhí)行價(jià)格為49美元的2個(gè)月后到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為多少？方法一（無套利原理）：2個(gè)月結(jié)束的時(shí)候，期權(quán)的價(jià)值為4美元（如果股價(jià)為53美元）或者0美元（如果股價(jià)為48美元）?？紤]一份資產(chǎn)組合的構(gòu)成： 單位股票和一份看中期權(quán)的空頭。兩個(gè)月后組合的價(jià)值或者為或者為。如果：即資產(chǎn)組合的價(jià)值為。因此對組合來說，其收益是無風(fēng)險(xiǎn)的。組合的現(xiàn)值為：，其中為期權(quán)的價(jià)值。因?yàn)榻M合必須以無風(fēng)險(xiǎn)的利率盈利所以：方法二（風(fēng)險(xiǎn)中性）：直接利用公式：其中：有題意所以10.9、某個(gè)股票的現(xiàn)價(jià)為25美元。已知兩個(gè)月后，股價(jià)變?yōu)?3美元或者

15、27美元。無風(fēng)險(xiǎn)年利率10%（連續(xù)復(fù)利）。設(shè)為2個(gè)月后股票價(jià)格。在這時(shí)收益為的期權(quán)的價(jià)值為多少？方法一（無套利原理）：2個(gè)月結(jié)束的時(shí)候，金融工具的價(jià)值為529美元（如果股價(jià)為23美元2323）或者729美元（如果股價(jià)為27美元2727）?？紤]一份資產(chǎn)組合的構(gòu)成： 單位股票和一份看漲期權(quán)的空頭。兩個(gè)月后組合的價(jià)值或者為或者為。如果：即資產(chǎn)組合的價(jià)值為。因此對組合來說，其收益是無風(fēng)險(xiǎn)的。組合的現(xiàn)值為：，其中為期權(quán)的價(jià)值。因?yàn)榻M合必須以無風(fēng)險(xiǎn)的利率盈利所以：方法二（風(fēng)險(xiǎn)中性）：直接利用公式：其中：有題意所以美元10.5、某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為50美元。有連續(xù)2個(gè)時(shí)間步，每個(gè)時(shí)間步的步長為3個(gè)月，每個(gè)單步二叉

16、樹的股價(jià)或者上漲6%或者下跌5%。無風(fēng)險(xiǎn)利率年利率為5%（連續(xù)復(fù)利）。執(zhí)行價(jià)格為51美元，有效期為6個(gè)月的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為多少？風(fēng)險(xiǎn)中性概率公式可得：二叉樹圖如上所示對于最高的末端節(jié)點(diǎn)（兩個(gè)向上的復(fù)合），期權(quán)收益為56.18-51=5.18美元，而在其他情況中的收益為零。因此，期權(quán)的價(jià)值為：10.6、考慮10.5中的情況，執(zhí)行價(jià)格為51美元，有效期為6個(gè)月的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值為多少？證明歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)滿足看漲看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系。如果看跌期權(quán)是美式期權(quán)，在樹圖上的任何節(jié)點(diǎn)，提前執(zhí)行期權(quán)是否會更優(yōu)惠？二叉樹圖：（1）處于中間的末端節(jié)點(diǎn)，將會得到收益為51-50.35=0.65美元，處于最

17、下面的末端節(jié)點(diǎn)，將會得到的收益為51-45.125=5.875美元。因此期權(quán)的價(jià)值為：（2）看跌-看漲期權(quán)平價(jià)關(guān)系：看跌期權(quán)加上股票價(jià)格的值為：看漲期權(quán)加上執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)值為：二者相等，從而驗(yàn)證了看跌-看漲期權(quán)平價(jià)關(guān)系。（3）為了檢驗(yàn)是否值得提前執(zhí)行該期權(quán)，應(yīng)該比較從立即執(zhí)行中得到的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的收入計(jì)算出來的期權(quán)的值。在節(jié)點(diǎn)C，立即執(zhí)行的收益為51-47.5=3.5美元。因?yàn)檫@個(gè)值大于2.8664美元，期權(quán)應(yīng)該在這個(gè)節(jié)點(diǎn)執(zhí)行，而不在節(jié)點(diǎn)A或者節(jié)點(diǎn)B執(zhí)行。也就是說，在價(jià)格樹的任意節(jié)點(diǎn)上，提前執(zhí)行并不一定是最優(yōu)的。11.1、目前股票價(jià)格為50美元，假設(shè)該股票的期望收益率為18%，波動率為30%。兩年內(nèi)

18、此種股票價(jià)格的概率分布是什么？計(jì)算該分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差（95%的置信區(qū)間）。在本題中，,未來兩年股票價(jià)格符合對數(shù)正態(tài)分布：即：股票價(jià)格的均值：股票價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)差：在給定95%的置信度下，的置信區(qū)間為： 即：股票價(jià)格在95%的置信度下的置信區(qū)間是： 即：11.2、股票當(dāng)前的價(jià)格為50美元，假定其收益率期望為15%，波動率為25%。在兩年內(nèi)的股票收益率（連續(xù)復(fù)利）的概率分布是什么？在本題中，根據(jù)公式可得2年期連續(xù)復(fù)利的回報(bào)率的概率分布是：即，預(yù)期的價(jià)值回報(bào)率為每年11.875%，標(biāo)準(zhǔn)差為每年17.7%11.3、某股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動，其中收益率期望為16%，波動率為35%，股票的當(dāng)前價(jià)格為38美

19、元。（1）一個(gè)該股票上具有執(zhí)行價(jià)格為40美元，期限為6個(gè)月的歐式看漲期權(quán)被行使的概率為多少？（b）一個(gè)該股票上具有同樣執(zhí)行價(jià)格及期限的歐式看跌期權(quán)被行使的概率為多少？（a）要求的概率是6個(gè)月后股票價(jià)格超過40美元的概率。假設(shè)6個(gè)月后股票的價(jià)格是，則有：即：因?yàn)閘n40=3.689，則要求的概率為：（b）對于看跌期權(quán)，要求的概率是6個(gè)月后股票價(jià)格低于40美元的概率，同樣的方法可得其值為1-0.4968=0.5032.11.11 考慮一個(gè)無股息股票的期權(quán)，股票價(jià)格為30美元，執(zhí)行價(jià)格為29美元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為每年5%，波動率為每年25%，期權(quán)期限為4個(gè)月。（a）如果期權(quán)是歐式看漲期權(quán)，其價(jià)格為多少？（b）如果期權(quán)是美式看漲期權(quán)，其價(jià)格為多少？（c）如果期權(quán)是歐式看跌期權(quán)，其價(jià)格為多少？（d）驗(yàn)證看跌看漲期權(quán)平價(jià)關(guān)系式。在本題中，且有： （a） 歐式看漲期權(quán)的價(jià)格是：（b） 美式看漲期權(quán)的價(jià)格與歐式