全國青年教師觀摩大賽數(shù)學(xué)賽課一等獎(jiǎng)作品：《任意角的三角函數(shù)》教案

1、參加全國課堂教學(xué)比賽教案2008-8-20 數(shù)學(xué)必修4第一章三角函數(shù)課題：1.2.1 任意角的三角函數(shù)“有一種觀點(diǎn)嚴(yán)重威脅著科學(xué)的生命：數(shù)學(xué)是一門不知所云的學(xué)科，它只是從定義和公理出發(fā)推導(dǎo)出來的一系列結(jié)論，而這些公理除了必須相互一致外，完全出自數(shù)學(xué)家心靈的自由創(chuàng)造。如果這種說法正確的話，那么數(shù)學(xué)就不可能吸引任何一個(gè)有智慧的人，它將是定義、法則和三段論的游戲，既無動(dòng)力也無目的。”摘自R.柯朗數(shù)學(xué)是什么在準(zhǔn)備這節(jié)課時(shí)恰好讀到R.柯朗寫的這段話，頗有感觸，這也是作出以下教學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)重要原因。一、內(nèi)容和內(nèi)容解析三角函數(shù)是描述客觀世界中周期性變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用。本

2、章中，學(xué)生將在數(shù)學(xué)1中學(xué)習(xí)函數(shù)概念與基本初等函數(shù)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，這是學(xué)生在高中階段學(xué)習(xí)的最后一個(gè)基本初等函數(shù)。與以往的三角函數(shù)內(nèi)容相比較，本章加強(qiáng)了三角函數(shù)作為刻畫現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，借助單位圓理解三角函數(shù)的概念、性質(zhì)，以及通過建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題等。本節(jié)課是在學(xué)習(xí)完“任意角和弧度制”后的一節(jié)新授課任意角的三角函數(shù)，內(nèi)容雖然屬于“傳統(tǒng)內(nèi)容”，但為了更好地突出“三角函數(shù)作為描述周期變化的數(shù)學(xué)模型”這一本質(zhì)，教材通過現(xiàn)實(shí)世界的周期現(xiàn)象，在學(xué)生感受引入三角函數(shù)必要性的基礎(chǔ)上，引出三角函數(shù)概念，特別強(qiáng)調(diào)了單位圓的直觀作用，用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，這樣可以使

3、學(xué)生在三角函數(shù)學(xué)習(xí)之初就能感受到單位圓的重要性，同時(shí)為后續(xù)借助單位圓的直觀討論三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，刪減了任意角的余切、正割、余割概念的學(xué)習(xí)。任意角三角函數(shù)這個(gè)概念是全章的一個(gè)承前啟后的核心內(nèi)容，它的地位和作用、及與其他知識(shí)內(nèi)容的聯(lián)系、與其他相關(guān)學(xué)科的聯(lián)系，可以從下面的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖中得到很好反映。地位、作用和聯(lián)系：任意角弧度制初中：銳角三角函數(shù)、相似三角形、圓單位圓三角函數(shù)線三角函數(shù)符號(hào)誘導(dǎo)公式同角三角關(guān)系式任意角的三角函數(shù)高中：函數(shù)概念，指、對(duì)、冪函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)背景：周期現(xiàn)象、圓周運(yùn)動(dòng)聯(lián)系特殊指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)周期函數(shù)物理、生物、自然界周期現(xiàn)象任意角的三角函數(shù)銳角三角函數(shù)推廣類比

4、本節(jié)課學(xué)習(xí)的認(rèn)知基礎(chǔ)主要是幾何中圓的性質(zhì)、相似形的有關(guān)知識(shí)，在數(shù)學(xué)1中相應(yīng)的函數(shù)概念，以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)；主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容是三角函數(shù)的概念，單位圓是研究三角函數(shù)的重要工具，借助它的直觀定義三角函數(shù)，可以更好地反映三角函數(shù)的本質(zhì)，可以使學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的概念，體會(huì)人們也把三角函數(shù)稱作“圓函數(shù)”的原因，并為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)帶來方便。因?yàn)閺臄?shù)學(xué)史的發(fā)展看，為解直角三角形而引入銳角三角函數(shù)；為解任意三角形而推廣到鈍角三角函數(shù)；為了刻畫一些簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)（已和解三角形毫無關(guān)系）而再次推廣到任意角的三角函數(shù)，它是一個(gè)最基本的、最有表現(xiàn)力的周期函數(shù)，是描述一般周期函數(shù)的基石，是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物

5、，這是三角函數(shù)最本質(zhì)的地方。教學(xué)中，如果簡(jiǎn)單的從復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)出發(fā)，直接推廣到任意角三角函數(shù)，雖然有利于學(xué)生從自己已有認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)學(xué)習(xí)三角函數(shù)。但對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)是不利的，容易讓學(xué)生認(rèn)為：數(shù)學(xué)只是數(shù)學(xué)家做的一些規(guī)定，“它只是從定義和公理出發(fā)推導(dǎo)出來的一系列結(jié)論，而這些公理除了必須相互一致外，完全出自數(shù)學(xué)家心靈的自由創(chuàng)造。它將是定義、法則和三段論的游戲，既無動(dòng)力也無目的。”為此，教學(xué)設(shè)計(jì)以數(shù)學(xué)史的發(fā)展為背景，以突出任意角三角函數(shù)概念的本質(zhì)為核心，從學(xué)生已有的反映周期現(xiàn)象變化的日常經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，特別設(shè)計(jì)了摩天輪的情境，以數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用為線索，完成任意角的三角函數(shù)概念的建構(gòu)過程。通過這個(gè)概念學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)

6、模型的思想，數(shù)形結(jié)合思想，了解數(shù)學(xué)新概念引入的必要性、合理性、嚴(yán)謹(jǐn)性，并進(jìn)一步增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解。由此確定本節(jié)課的教學(xué)重、難點(diǎn)和關(guān)鍵（1）重點(diǎn)：任意角的正弦、余弦、正切的定義；（2）難點(diǎn)：任意角的三角函數(shù)概念的建構(gòu)過程；（3）關(guān)鍵：以數(shù)學(xué)應(yīng)用為明線，講數(shù)學(xué)背景、講數(shù)學(xué)應(yīng)用；以數(shù)學(xué)文化為暗線，講數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的必要性、合理性。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是： （1）知識(shí)和技能目標(biāo)：了解任意角三角函數(shù)定義產(chǎn)生的背景和應(yīng)用；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；加深對(duì)函數(shù)一般概念的理解。（2）過程與方法：通過參與知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過程，培養(yǎng)合情猜測(cè)的能力，體會(huì)函數(shù)模型思想，數(shù)形結(jié)合思想。培養(yǎng)

7、觀察、分析、探索、歸納、類比及解決問題的能力。（3）情感、態(tài)度、價(jià)值觀：在數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)中開闊視野，感受著數(shù)學(xué)文化的熏陶。從中感悟數(shù)學(xué)概念的合理性、嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性。感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，培養(yǎng)追求真理的精神。三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生雖然已有銳角三角函數(shù)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，但他們自己在閱讀教材時(shí)，會(huì)產(chǎn)生以下的疑惑：(1)為什么要學(xué)習(xí)了任意角后就要研究任意角三角函數(shù)？(2)任意角三角函數(shù)定義為什么要引入坐標(biāo)系？(3)的正弦為什么規(guī)定用y比r，而不是y的絕對(duì)值比r？為此要利用學(xué)生的日常生活經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的問題情境，讓學(xué)生讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)是自然的”、“數(shù)學(xué)是有用的”。摩天輪這個(gè)實(shí)際問題的解決有一定難度，學(xué)生自己

8、獨(dú)立解決有困難，放開讓學(xué)生討論，方法是多樣的，但要花費(fèi)很多時(shí)間，容易偏離本節(jié)課的教學(xué)中心，為此，教學(xué)中教師要加強(qiáng)引導(dǎo)，并設(shè)計(jì)了合情推理的教學(xué)環(huán)節(jié)。在比較hh0MP與猜想: hhrsint后，引出直角坐標(biāo)系定義任意角三角函數(shù)，學(xué)生能理解和接受，但自己想不到，教學(xué)中要在思考方向上引導(dǎo)，比如“要想兩者和諧統(tǒng)一，必須”，“在說明MP時(shí)，為了表述簡(jiǎn)潔明了，用怎樣的一個(gè)量來代替MP”。三角函數(shù)是 “從角的集合到比值的集合”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對(duì)應(yīng)關(guān)系不一致，而且“比值”需要通過運(yùn)算才能得到，任意一個(gè)角所對(duì)應(yīng)的比值的唯一性（即與點(diǎn)的選取無關(guān)）也需要證明，教學(xué)時(shí)需要安排環(huán)節(jié)

9、幫助學(xué)生理解。四、教學(xué)支持條件分析三角函數(shù)與數(shù)學(xué)1的函數(shù)概念是一般與特殊的關(guān)系，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意發(fā)揮學(xué)生頭腦中函數(shù)概念及在指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中建立的經(jīng)驗(yàn)的指導(dǎo)作用。教學(xué)中要做好鋪墊，通過聯(lián)系和類比，使學(xué)習(xí)明確三角函數(shù)與已有函數(shù)概念的共通性，同時(shí)認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的特殊性描述周期現(xiàn)象的最有力的數(shù)學(xué)模型。利用單位圓上的坐標(biāo)定義任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)。直接用（弧度制下）任意角的集合到區(qū)間-1，1上的映射來定義，去掉了“求比值”這一中間過程，有利于學(xué)生理解任意角的三角函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。結(jié)合三角函數(shù)引導(dǎo)，學(xué)生進(jìn)一步理解集合與對(duì)應(yīng)觀點(diǎn)下的函數(shù)概念，函數(shù)中研究的基本問題和基本思想（根據(jù)刻

10、畫現(xiàn)實(shí)中周期現(xiàn)象的需要，引進(jìn)三角函數(shù)來描述周期性變化的規(guī)律），對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平提高是非常有幫助的。這需要教師在思考方向、知識(shí)聯(lián)系等方面加以引導(dǎo)。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 1、導(dǎo)入學(xué)生集體朗讀： 東升西落照蒼穹，影短影長角不同晝夜循環(huán)潮起伏，冬春更替草枯榮教師：日出日落，寒來暑往，自然界中存在許多“按一定規(guī)律周而復(fù)始”的現(xiàn)象，稱之為“周期現(xiàn)象”。我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過用“指數(shù)函數(shù)”模型刻畫人口增長問題、儲(chǔ)蓄中復(fù)利計(jì)算問題，用“對(duì)數(shù)函數(shù)”模型刻畫地震的震級(jí)變化、溶液酸堿度的pH值變化，那么用怎樣的數(shù)學(xué)的模型來刻畫周期現(xiàn)象呢？周期現(xiàn)象一般與周期運(yùn)動(dòng)有關(guān)，一個(gè)簡(jiǎn)單而基本的例子便是“圓周上一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)”請(qǐng)看下面的實(shí)

11、例（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生集體朗讀，一是集中注意力盡快進(jìn)入上課狀態(tài)，二是在理科教學(xué)中增加點(diǎn)文學(xué)味，三是引出周期現(xiàn)象，詩句引自湖南版必修2，接下來指出在必修1中學(xué)習(xí)過兩種重要函數(shù)模型，意在調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)“函數(shù)”一章的經(jīng)驗(yàn)，提出用怎樣的數(shù)學(xué)的模型來刻畫周期現(xiàn)象。讓學(xué)生初步了解本節(jié)課學(xué)習(xí)的任務(wù)。接下來的教學(xué)設(shè)計(jì)，在結(jié)構(gòu)上盡可能地與“函數(shù)”一章相同，突出“建構(gòu)研究應(yīng)用”這一主線。）2、情境選擇數(shù)學(xué)模型OAp問題：摩天輪的中心離地面的高度為h0，它的直徑為2r，逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周需要360秒（一秒轉(zhuǎn)了多少度？），若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置點(diǎn)出發(fā)（如圖所示），求相對(duì)于地面的高度h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式。

12、教師：讓我們想象一下整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，高度h是怎樣變化的？師生：開始高度h先漸漸增高，再漸漸降低，然后再漸漸增高，最后回到初始位置；第二周、第三周周而復(fù)此，呈“周期現(xiàn)象”。（設(shè)計(jì)意圖：是突出研究問題的“周期性”特點(diǎn)，如果展開）教師：已學(xué)過的函數(shù)沒有這種性質(zhì)，應(yīng)該用怎樣一個(gè)函數(shù)模型來刻畫？MMAP教師：讓我們不妨先從一個(gè)簡(jiǎn)單具體情形入手。例如過了20秒后，你離地面的高度為多少？學(xué)生：（設(shè)計(jì)意圖：解決問題的一般策略，先特殊后一般。學(xué)生也加深對(duì)問題理解。）教師：人距離地面的高度hh0+MP。其中h0是不變量，MP表示點(diǎn)P到水平位置OA的距離是變量，可以通過點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)POA的大小，利用初中銳角三角函數(shù)來計(jì)算

13、。的確，隨著時(shí)間t變化，點(diǎn)P的位置在變化，角度POA在變化，進(jìn)而MP的值在變化。（設(shè)計(jì)意圖：點(diǎn)P的位置隨著角度而變化，一是為下面引出三角函數(shù)做準(zhǔn)備，二是突出“函數(shù)味”，這也是初高中對(duì)三角函數(shù)學(xué)習(xí)的不同之處。）教師：進(jìn)一步，再計(jì)算幾個(gè)。師生：過了50秒，hhrsin50過了70秒，hhrsin70一般的，過了t秒呢？想法（愿望）：h(t)hrsint教師：這樣想合情，但合理嗎？有什么問題？師生：隨著摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，角度也不知不覺地推廣了任意角。對(duì)任意角，sin該如何定義？引出任意角三角函數(shù)（設(shè)計(jì)意圖：先猜想再探究，是一種合情推理，使教學(xué)環(huán)節(jié)顯得生動(dòng)，同時(shí)感受到接下來新知識(shí)學(xué)習(xí)的必要性。以實(shí)際問題解

14、決為背景，引入任意角三角函數(shù)概念，是想讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)是自然的”、“數(shù)學(xué)是有用的”，）3、探究分析數(shù)學(xué)模型教師：對(duì)任意角，sin該如何定義？對(duì)前面這個(gè)問題往下具體分析，雖然可以通過轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)計(jì)算各種情況，但表述上太繁瑣，當(dāng)時(shí)間為t秒時(shí)，猜想: hhrsint形式簡(jiǎn)潔，讓我們實(shí)在不愿舍棄。于是與hh0MP比較，要想兩者和諧統(tǒng)一，必須有：rsintMP 即 sint師生小結(jié)：如圖，點(diǎn)P在圓周上旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，引起POA的變化，任一個(gè)POA,對(duì)應(yīng)著唯一點(diǎn)P，進(jìn)而有唯一的MP，得到，PMPPPMMMsinPOA教師：不過就這樣表述，在說明MP時(shí)，還是不夠簡(jiǎn)潔明了。教師：MP何時(shí)取正值，何時(shí)取負(fù)值？

15、根據(jù)這些特點(diǎn)，用怎樣的一個(gè)量來代替MP，可以使上面的表述更簡(jiǎn)潔？它的絕對(duì)值與MP長度相等，符號(hào)在一、二區(qū)域能是正的，在三、四區(qū)域能是負(fù)的.師生：引入直角坐標(biāo)系，用點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y來替代MP或MP.（設(shè)計(jì)意圖：這樣安排是想讓學(xué)生感受到任意角三角函數(shù)定義中“坐標(biāo)系的引入”，“坐標(biāo)比值法的規(guī)定”不僅有必要、有好處，而且順其自然，體會(huì)“數(shù)學(xué)是自然的”，而不是完全出自數(shù)學(xué)家心靈的自由創(chuàng)造。）4、定義建立三角函數(shù)模型教師：在上述求解中，引出一個(gè)更為重要的問題，任意一個(gè)角的正弦怎么定義呢？師生：這首先要借助直角坐標(biāo)系，把是“放在”直角坐標(biāo)系內(nèi)，接下來，要以原點(diǎn)為圓心作圓，半徑為，與的終邊上相交于點(diǎn)P，得點(diǎn)P的

16、坐標(biāo)（x,y），a的終邊P(x,y)Oxy那么：教師：能這樣定義嗎？這可是我們自己規(guī)定的! 問題1:當(dāng)是銳角時(shí)，此規(guī)定與初中定義矛盾嗎？結(jié)論：不矛盾，而且坐標(biāo)法的引入擺脫了銳角的束縛。問題2：圓的半徑大小有限制嗎？ 結(jié)論：根據(jù)相似三角形的知識(shí)，對(duì)于確定的角a，這個(gè)比值不會(huì)隨點(diǎn)P在a的終邊上的位置的改變而改變，是唯一確定的問題3：半徑為取多少時(shí)，會(huì)使得比值更加簡(jiǎn)潔？結(jié)論：可以考慮取1.這樣的圓我們稱單位圓。即，在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為圓心,以單位長度1為半徑的圓。教師：聯(lián)系已學(xué)過的知識(shí)，類比正弦函數(shù)的定義，你能給出任意角余弦、正切的定義嗎？a的終邊P(x,y)Oxy如圖，設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊

17、與單位圓交于點(diǎn),那么:叫做的正弦，即；叫做的余弦，即；叫做的正切，即.教師：這正是我們教科書上的定義方式，請(qǐng)同學(xué)們閱讀教材。（設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)有概念形成和概念同化兩種方式，任意角三角函數(shù)定義的教學(xué)運(yùn)用的是概念同化方式，安排問題1、2的環(huán)節(jié)，正是為了完成同化過程。）教師：當(dāng)圓的半徑不等于1時(shí)，則有，比值叫做的正弦 記作：比值叫做的余弦 記作：比值叫做的正切 記作：小結(jié)：三角函數(shù)的以上兩種方式是等價(jià)的，都是表示點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與的比值。只是在單位圓的背景下，1，從形式上看更簡(jiǎn)潔。我們教科書上就選用了單位圓背景下的定義方式。、應(yīng)用例題教學(xué)：例1、求的正弦、余弦和正切值。例2、已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)

18、P0(3，4)，求角a的正弦、余弦和正切值練習(xí)1：填表0（設(shè)計(jì)意圖：例題與練習(xí)都是為了及時(shí)鞏固對(duì)定義的理解，同時(shí)在解答過程中充分利用單位圓的作用，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的思想。練習(xí)選擇的特殊值，是為了體現(xiàn)出定義的一般性，同時(shí)為定義域的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。）、聯(lián)系問題：為什么稱它們?yōu)椤昂瘮?shù)”，從一般函數(shù)概念角度怎樣來理解正弦、余弦、正切函數(shù)？對(duì)應(yīng)法則怎樣由自變量的值找到函數(shù)值；對(duì)于每個(gè)確定的角，放入直角坐標(biāo)系后，都有唯一的終邊與之對(duì)應(yīng)，終邊與單位圓都有唯一確定的交點(diǎn)，任意角唯一的交點(diǎn)P（x，y）唯一的終邊直角坐標(biāo)系中與單位圓所以，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)用集合與對(duì)應(yīng)的函數(shù)觀點(diǎn)看三角函數(shù)，這是一種“多對(duì)一”的函數(shù)；定義域自變量的取值范圍；可以看出，當(dāng) (kZ)時(shí)，的終邊在y軸上，這時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x等于0，所以無意義除此之外，對(duì)于確定的角，正弦、余弦、正切函數(shù)都有意義。又因?yàn)榻堑募吓c實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故三角函數(shù)也可以看成實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).（設(shè)計(jì)意圖：通過與函數(shù)概念的聯(lián)系，進(jìn)一步理解集合與對(duì)應(yīng)觀點(diǎn)下的函數(shù)概念，明確三角函數(shù)與已有函數(shù)概念的共通性，三角函數(shù)與函數(shù)概念是一般與特殊的關(guān)系。） 課堂練習(xí)：1、求的正弦、余弦和正切值。2、已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求角的正弦、余弦和正切值。（設(shè)計(jì)意圖：它們的作用主