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文檔簡介
1、河南省商丘市第一高級中學(xué)2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理(含解析)一.選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.設(shè)集合,則( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】試題分析:因為,所以,選a.考點:集合運算【名師點睛】1.求集合的交、并、補時,一般先化簡集合,再由交、并、補的定義求解2求交、并、補的混合運算時,先算括號里面的,再按運算順序求解3在進(jìn)行集合的運算時要盡可能地借助venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化一般地,集合元素離散時用venn圖表示;集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示,用數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍4在解決有
2、關(guān)ab,ab等集合問題時,往往忽視空集的情況,一定先考慮是否成立,以防漏解2.在中,“”是“”的a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】a【解析】【分析】由充分條件和必要條件的概念,直接分析即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時,成立若當(dāng)時,滿足即由“”能推出“”;反之不一定成立.所以,“”是“”的充分不必要條件故選a【點睛】本題主要考查充分不必要條件,熟記概念即可,屬于基礎(chǔ)題型.3.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于( )a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】d【解析】【分析】化簡成標(biāo)準(zhǔn)形式即可【詳解】解:所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第四象限故
3、選:d【點睛】考查復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)的幾何意義,基礎(chǔ)題.4.設(shè)變量滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最大值為( )a. 10b. 9c. 8d. 4【答案】b【解析】【分析】作出可行域,看目標(biāo)函數(shù)的截距即可【詳解】解:作可行域如圖:由得,當(dāng)過,截距最大,此時故選:b【點睛】考查線性規(guī)劃求最大值,基礎(chǔ)題.5.已知是等差數(shù)列的前項和,若,則( )a. 40b. 80c. 36d. 57【答案】d【解析】【分析】由,代入求和公式即可.【詳解】解:故選:d【點睛】考查等差數(shù)列求和,基礎(chǔ)題.6.某個游戲中,一個珠子按如圖所示的通道,由上至下的滑下,從最下面的六個出口出來,規(guī)定猜中者為勝,如果你在該游戲中,猜得珠
4、子從口4出來,那么你取勝的概率為( )a. b. c. d. 以上都不對【答案】c【解析】【分析】從入口到出口4共由5個岔口,每個岔口的概率都是,根據(jù)二項分布的概率計算公式可解【詳解】解:從入口到出口4共有種走法,其中每一岔口的概率都是所以珠子從口4出來的概率為故選:c【點睛】考查二項分布的概率計算,基礎(chǔ)題.7.己知拋物線的焦點為,準(zhǔn)線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點和點,且 (為原點),則雙曲線的離心率為( )a. b. c. 2d. 【答案】c【解析】【分析】聯(lián)立準(zhǔn)線方程和雙曲線方程,結(jié)合,找到關(guān)系可求離心率.【詳解】解:的準(zhǔn)線,的一條漸近線方程時,根據(jù)對稱性,有又故選:c【點睛】考查
5、雙曲線的離心率的求法,基礎(chǔ)題.8.設(shè)隨機變量,且,則實數(shù)的值為( )a. 2b. 3c. 4d. 5【答案】b【解析】【分析】正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖象的對稱性可解【詳解】解:隨機變量,其期望為1因為,根據(jù)正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖象的對稱性有,故選:b【點睛】考查根據(jù)正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖象的對稱性求參數(shù),基礎(chǔ)題.9.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),對任意兩個不相等的正數(shù),都有,記,則( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】對任意兩個不相等的正數(shù),都有,判斷在單調(diào)遞減,再證明是上的偶函數(shù),根據(jù)單調(diào)性判斷即可【詳解】解:不妨設(shè),則,因為,所以,即在單調(diào)遞減,因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),是
6、上的偶函數(shù),所以故選:a【點睛】考查根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)的能力,同時利用單調(diào)性比較大小,基礎(chǔ)題.10.在等比數(shù)列中,若,則( )a. 1b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】把代入中,用上即可【詳解】解:是等比數(shù)列故選:c【點睛】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求值,基礎(chǔ)題.11.已知為橢圓的左右焦點,若橢圓上存在點,使得線段的中垂線恰好經(jīng)過焦點,則橢圓離心率的取值范圍是( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】分析】因為線段的中垂線恰好經(jīng)過焦點,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì),又因為是存在一點,焦半徑必須大于或等于其最小值,由此解不等式,同時注意橢圓的離心率一定小于1.【詳解】解:如圖,因為線段的中
7、垂線經(jīng)過,即在橢圓上存在一點,使得,又,所以橢圓離心率的取值范圍是,故選:a【點睛】已知橢圓上存在一點求橢圓的離心率,注意橢圓的焦半徑的最小值是,同時橢圓的離心率一定小于1,基礎(chǔ)題.12.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的點關(guān)于直線對稱的點在的圖像上,則實數(shù)的取值范圍是( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】關(guān)于對稱的函數(shù)為,所以的圖象與的圖象有且僅有四個不同的交點,作出與的圖象,利用導(dǎo)數(shù)等于斜率,求出臨界直線的斜率即可.【詳解】解:函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的點關(guān)于直線對稱的點在的圖像上,關(guān)于對稱的函數(shù)為所以的圖象與的圖象有且僅有四個不同的交點,作與的圖象如下:易知恒過點設(shè)
8、直線與相切于點,故,設(shè)直線與相切于點,故,故,故選:b【點睛】已知兩個函數(shù)圖象交點情況,求參數(shù)的取值范圍,是難題.二.填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分13.已知函數(shù),則不等式的解集為_.【答案】【解析】【分析】等價于,轉(zhuǎn)化成,再由或,由可得.【詳解】解:等價于是的增函數(shù)又或由得,不等式的解集為故答案為:【點睛】考查利用函數(shù)單調(diào)性解不等式,注意復(fù)合函數(shù)的定義域,基礎(chǔ)題.14.設(shè),求函數(shù)的最小值為_【答案】9【解析】試題分析:本題解題的關(guān)鍵在于關(guān)注分母,充分運用發(fā)散性思維,經(jīng)過同解變形構(gòu)造基本不等式,從而求出最小值.試題解析:由得,則當(dāng)且僅當(dāng)時,上式取“=”,所以.考點:基本不等式;構(gòu)
9、造思想和發(fā)散性思維.15.已知,命題,.命題,若命題 為真命題,則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】或【解析】【分析】命題命題為真時,; 命題命題為真時,所以或,則由得或【詳解】解:命題,命題,則,所以或若命題為真命題,則由得或故答案: 或【點睛】考查根據(jù)“若命題為真命題,則命題為真且為真”求參數(shù)范圍,基礎(chǔ)題.16.設(shè)函數(shù)分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,若對,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)和分別是奇、偶函數(shù),可化為,令,則,化為,即,求出最大值即可【詳解】解:函數(shù)分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),由得,可化為,令,則,化為:,即令,遞增,遞減則實數(shù)取值范圍是:故答
10、案為: 【點睛】考查奇偶函數(shù)的性質(zhì)以及不等式恒成立求參數(shù)的范圍,中檔題.三.解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟)17.已知,在中,a、b、c分別為角a、b、c的對邊,且.(1)求角a的大??;(2)設(shè)的面積為,求的取值范圍.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1).由正弦定理可得:,化簡整理即可(2)的面積為,得 ,由余弦定理可得:,【詳解】解:(1).由正弦定理可得:,又,可得:,又,所以. (2)因為,的面積為,解得 由余弦定理可得:,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.綜上,邊的取值范圍為【點睛】考查正、余弦定理以及基本不等式的應(yīng)用,中檔題.18.如圖,與都是邊長
11、為2的正三角形,平面平面,平面,.(1)求點到平面的距離;(2)求平面與平面所成二面角的正弦值.【答案】(1),(2)【解析】【詳解】解法一:(1)等體積法取cd中點o,連ob,om,則ob=om=,obcd,mocd又平面平面,則mo平面,所以moab,mo平面abcm、o到平面abc的距離相等作ohbc于h,連mh,則mhbc求得oh=oc,mh=設(shè)點到平面的距離為d,由得即,解得(2)延長am、bo相交于e,連ce、de,ce是平面與平面的交線由(1)知,o是be的中點,則bced是菱形.作bfec于f,連af,則afec,afb就是二面角a-ec-b的平面角,設(shè)為.因為bce=120,
12、所以bcf=60.,.則所求二面角的正弦值為解法二:取cd中點o,連ob,om,則obcd,omcd又平面平面,則mo平面.取o為原點,直線oc、bo、om為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖ob=om=,則各點坐標(biāo)分別為c(1,0,0),m(0,0,),b(0,0),a(0,-,).(1)設(shè)是平面mbc的法向量,則,.由得;由得取,則(2),.設(shè)平面acm的法向量為,由得解得,取.又平面bcd的法向量為.所以,設(shè)所求二面角為,則.19.已知橢圓的左、右焦點分別為,直線l與橢圓c交于a、b兩點,且(1)求橢圓c的方程;(2)若a、b兩點關(guān)于原點o的對稱點分別為,且,判斷四邊形是否存在內(nèi)切
13、的定圓?若存在,請求出該內(nèi)切圓的方程;若不存在,請說明理由.【答案】(1);(2)存在,【解析】【分析】(1)因為,所以,所以,解得,代入方程即可 (2)當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè),由,因為,所以,原點到直線的距離,同理可證,原點到達(dá)的距離都為,四邊形存在內(nèi)切的定圓,且該定圓的方程為當(dāng)直線的斜率不存在時,同理說明即可【詳解】解:(1)因為,所以,.因為直線與橢圓交于,兩點,且,所以,所以,解得,所以,所以橢圓的方程為(2)當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)由得,所以,因為,所以,即所以,所以原點到直線的距離根據(jù)橢圓的對稱性,同理可證,原點到達(dá)的距離都為,所以四邊形存在內(nèi)切的定圓,且該定圓的方程為 當(dāng)直線的斜率
14、不存在時,設(shè)直線的方程為,不妨設(shè)分別為直線與橢圓的上、下交點,則,由,得,解得,所以此時原點到直線的距離為.根據(jù)橢圓的對稱性,同理可證,原點到達(dá)的距離都為,所以四邊形存在內(nèi)切的定圓,且該定圓的方程為.綜上可知,四邊形存在內(nèi)切的定圓,且該定圓的方程為【點睛】考查橢圓方程的求法,判斷四邊形是否存在內(nèi)切圓轉(zhuǎn)化為判斷一定點到四邊的距離是否相等,難題20.某種植物感染病毒極易導(dǎo)致死亡,某生物研究所為此推出了一種抗病毒的制劑,現(xiàn)對20株感染了病毒的該植株樣本進(jìn)行噴霧試驗測試藥效.測試結(jié)果分“植株死亡”和“植株存活”兩個結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計;并對植株吸收制劑的量(單位:mg)進(jìn)行統(tǒng)計.規(guī)定:植株吸收在6mg(包括6
15、mg)以上為“足量”,否則為“不足量”.現(xiàn)對該20株植株樣本進(jìn)行統(tǒng)計,其中 “植株存活”的13株,對制劑吸收量統(tǒng)計得下表.已知“植株存活”但“制劑吸收不足量”的植株共1株.編號0102030405060708091011121314151617181920吸收量(mg)683895662775106788469(1)完成以下列聯(lián)表,并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過1%的前提下,認(rèn)為“植株的存活”與“制劑吸收足量”有關(guān)? 吸收足量吸收不足量合計植株存活1植株死亡合計20(2)若在該樣本“吸收不足量”的植株中隨機抽取3株,記為“植株死亡”的數(shù)量,求得分布列和期望;將頻率視為概率,現(xiàn)在對已知某塊種植
16、了1000株并感染了病毒的該植物試驗田里進(jìn)行該藥品噴霧試驗,設(shè)“植株存活”且“吸收足量”的數(shù)量為隨機變量,求.參考數(shù)據(jù):,其中【答案】(1)不能在犯錯誤概率不超過1%的前提下,認(rèn)為“植株的存活”與“制劑吸收足量”有關(guān);(2)分布列見解析,240【解析】【分析】(1)已知“植株存活”但“制劑吸收不足量”的植株共1株,由題意可得“植株存活”的13株,“植株死亡”的7株;“吸收足量”的15株,“吸收不足量”的5株,填表即可(2)代入公式計算,有關(guān)(3)樣本中“制劑吸收不足量”有5株,其中“植株死亡”的有4株, 存活的1株,所以抽取的3株中的可能取值是2,3,根據(jù)古典概型計算即可. “植株存活”且“制
17、劑吸收足量”的概率為,【詳解】解:(1) 由題意可得“植株存活”的13株,“植株死亡”的7株;“吸收足量”的15株,“吸收不足量”的5株,填寫列聯(lián)表如下: 吸收足量吸收不足量合計植株存活12113植株死亡347合計15520所以不能在犯錯誤概率不超過1%的前提下,認(rèn)為“植株的存活”與“制劑吸收足量”有關(guān). 樣本中“制劑吸收不足量”有5株,其中“植株死亡”的有4株, 存活的1株,所以抽取的3株中的可能取值是2,3. 其中, 的分布列為:23所以.【點睛】考查完成列聯(lián)表、離散型隨機變量的分布列、期望以及二項分布的方差,難題.21.已知函數(shù)(1)若函數(shù)在x=1時取得極值,求實數(shù)a的值;(2)當(dāng)0a1
18、時,求零點的個數(shù).【答案】(1)1;(2)兩個【解析】【分析】(1) 函數(shù)在x=1時取得極值,得,解得,時,求單調(diào)區(qū)間,驗證在x=1時取得極值 (2),由,得減區(qū)間為,增區(qū)間為,其極小值為,函數(shù)在上有且僅有一個零點,根據(jù),令,得,又因為,所以,所以當(dāng)時,根據(jù)零點存在定理,函數(shù)在上有且僅有一個零點.【詳解】解:(1)定義域為,由已知,得,解得,當(dāng)時,所以,所以減區(qū)間為,增區(qū)間為,所以函數(shù)在時取得極小值,其極小值為,符合題意,所以(2)令,由,得所以,所以減區(qū)間為,增區(qū)間為,所以函數(shù)在時取得極小值,其極小值為,因,所以,所以,所以,因為,根據(jù)零點存在定理,函數(shù)在上有且僅有一個零點,因為,令,得,又因為,所以,所以當(dāng)時,根據(jù)零點存在定理,函數(shù)在上有且僅有一個零點,所以,當(dāng)時,有兩個零點.【點睛】考查
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