廣東署山市第二中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第七次月考試題理含解析

1、廣東省佛山市第二中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第七次月考試題 理（含解析）本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分.滿分150分.考試時間120分鐘.第卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12小題.每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】化簡集合，求得，根據(jù)交集定義，即可求得答案【詳解】又故故選：a.【點睛】本題主要考查了集合運算，解題關(guān)鍵是掌握集合運算的基礎(chǔ)知識和一元二次不等式的解法，考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.2.已知實數(shù)，滿足，其中是虛數(shù)單位，若，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)

2、數(shù)所對應(yīng)的點位于（ ）a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】b【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)相等、幾何意義，即可求得答案.【詳解】實數(shù)滿足其中是虛數(shù)單位，可得解得.,則在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于第二象限故選：b.【點睛】本題主要考查了根據(jù)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)和復(fù)數(shù)的幾何意義，解題關(guān)鍵是掌握復(fù)數(shù)基礎(chǔ)知識，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知實數(shù)，滿足，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】首先利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到，的范圍，然后逐一考查所給的不等式，即可求得答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性, 可得：對于a，由，可得，故a錯誤；對于b

3、，由，可得，故b正確；對于c，由，可得，故c錯誤；對于d，根據(jù)圖象可得，由，與的大小無法確定，故d錯誤；故選：b【點睛】本題主要考查了根據(jù)已知不等式判斷所給不等式是否正常，解題關(guān)鍵是掌握不等式比較大小方法，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.4.已知非零向量，滿足 ，且 ，則與的夾角為( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】利用向量數(shù)量積定義以及向量垂直表示化簡條件，解得夾角.【詳解】由已知可得，設(shè)的夾角為，則有，又因為，所以，故選c.【點睛】本題考查向量數(shù)量積定義以及向量垂直表示，考查基本求解能力.5.已知，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)二倍

4、角公式求得，再利用誘導(dǎo)公式求得結(jié)果.【詳解】 本題正確選項：【點睛】本題考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用誘導(dǎo)公式將所求角與已知角聯(lián)系起來.6.若函數(shù)在上的最大值為4，則的取值范圍為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】要求函數(shù)的最大值，可先分別探究函數(shù)與的單調(diào)性，從而得到的最大值【詳解】易知上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增.因為，所以的取值范圍為.【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法.7.17世紀(jì)德國著名的天文學(xué)家開普勒曾經(jīng)這樣說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作

5、鉆石礦.”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是一個頂角為的等腰三角形（另一種是頂角為的等腰三角形）.例如，五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，如圖所示，在其中一個黃金中，.根據(jù)這些信息，可得（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】要求的值，需將角用已知角表示出來，從而考慮用三角恒等變換公式解題已知角有，正五邊形內(nèi)角，已知三角函數(shù)值有，所以，從而【詳解】由題可知，且，則.【點睛】本題考查三角恒等變換，考查解讀信息與應(yīng)用信息的能力.8.已知函數(shù)，則下列說法錯誤的是（ ）a. 函數(shù)的周期為b. 函數(shù)的一條對稱軸為c. 函數(shù)在上單調(diào)遞

6、增d. 函數(shù)的最小值為【答案】c【解析】【分析】化簡，可得，逐項判斷，即可求得答案.【詳解】對于a，函數(shù)的周期為： ,故a說法正確；對于b，時，是函數(shù)的一條對稱軸，故b說法正確；對于c，當(dāng)時，此時不單調(diào)，故c說法錯誤；對于d， 函數(shù)的最小值為，故d說法正確，故選：c.【點睛】解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識和正弦函數(shù)圖象特征，考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.9.已知函數(shù)的圖象的一部分如下圖所示，若在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根已知條件求得，可得，根據(jù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，即可求得答案.【詳解】由圖可知，函數(shù)的周期為則，可得又

7、，故可得則又在函數(shù)圖象上，則故故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為可得即又在上是單調(diào)遞增函數(shù)，解得 故選:c.【點睛】本題主要考查了根據(jù)三角函數(shù)圖象求解函數(shù)表達(dá)式和根據(jù)三角函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)性求參數(shù)范圍，解題關(guān)鍵是掌握三角形函數(shù)圖象的基礎(chǔ)知識，考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.10.在正方體中，分別為，的中點，現(xiàn)有下面三個結(jié)論：為正三角形；異面直線與所成角為；平面.其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】分析】計算出三邊是否相等；平移與，使得它們的平行線交于一點，解三角形求角的大??；探究平面內(nèi)是否有與平行的直線【詳解】易證的三邊相等，所以它是正三角形.平面截正方體所得截面

8、為正六邊形，且該截面與的交點為的中點，易證，從而平面.取的中點，連接，則，易知，所以與所成角不可能是，從而異面直線與所成角不是.故正確.【點睛】本題考查點、線、面的位置關(guān)系，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).11.過雙曲線的右頂點作斜率為的直線，該直線與的漸近線交于兩點，若，則雙曲線的漸近線方程為 （ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【詳解】直線l:y=-x+a與漸近線交于,直線l:y=-x+a與漸近線交于,a,因為,所以,雙曲線的漸近線方程為,故選d.點睛:本題考查雙曲線的性質(zhì),屬于中檔題目.解決本題的關(guān)鍵是設(shè)點以及向量坐標(biāo)化,先求出過右頂點且斜率為-1的直線方程,分別聯(lián)立該直線

9、與雙曲線的兩條漸近線,求出交點坐標(biāo),代入中,通過化簡計算,即可得到a,b的關(guān)系式,結(jié)合雙曲線中,即可求得離心率.12.設(shè)函數(shù)若存在的極值點滿足，則m的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】由題意知：的極值為，所以，因為，所以，所以即，所以，即3，而已知，所以3，故，解得或，故選c.考點：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究的極值，考查三角函數(shù)，考查一元二次不等式的解法，考查分析問題與解決問題的能力.第卷（非選擇題 共90分）第1321題為必考題，每道試題考生都必須作答.第2223為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：每小題5分，滿分20分.其中第15題第一空2分，第二空3分.13.

10、隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，網(wǎng)購早已融入人們的日常生活.網(wǎng)購的蘋果在運輸過程中容易出現(xiàn)碰傷，假設(shè)在運輸中每箱蘋果出現(xiàn)碰傷的概率為0.7，每箱蘋果在運輸中互不影響，則網(wǎng)購2箱蘋果恰有1箱在運輸中出現(xiàn)碰傷的概率為_.【答案】0.42【解析】【分析】要求概率，可先分析概率模型，再用公式求解【詳解】題目可轉(zhuǎn)化為獨立重復(fù)試驗，即重復(fù)做2次試驗，每次事件發(fā)生的概率為0.7，則恰有1次發(fā)生的概率為.【點睛】本題考查獨立重復(fù)試驗，考查應(yīng)用意識與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).14.設(shè)，分別為內(nèi)角，的對邊.已知，則_.【答案】2【解析】【分析】要求的值，可考慮將已知條件化成三角函數(shù)式的形式，利用三角恒等式化簡計算【詳解】因為， 所以

11、，所以【點睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查運算求解能力.15.已知點滿足，則取值范圍為_.【答案】【解析】【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用兩點間的斜率公式進(jìn)行求解,即可求得答案.【詳解】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到原點的斜率，由圖象知oa的斜率最小，oc的斜率最大，由,可得此時oc斜率由,可得此時ob斜率，則的取值范圍為故答案為：.【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題,關(guān)鍵是根據(jù)所給的約束條件準(zhǔn)確地畫岀可行域和目標(biāo)函數(shù).在平面區(qū)域中,求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解,要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義,從而確定目標(biāo)函數(shù)在何處取得最優(yōu)解.16.如圖，在四棱錐中，平面，底面為

12、正方形，且.若四棱錐的每個頂點都在球的球面上，則球的表面積的最小值為_；當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時，二面角的正切值為_. 【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】(1)要求球的表面積的最小值，需求出球的表面積的算式，為此又需求出球的半徑，從而根據(jù)算式的特點，用函數(shù)的單調(diào)性或不等式求出最小值 (2)列出四棱錐的體積的算式，求出體積取得最大值時變量的取值，從而求出二面角的正切值【詳解】(1)設(shè)，則.平面，又，平面，則四棱錐可補形成一個長方體，球的球心為的中點，從而球的表面積為.(2)四棱錐的體積，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，.故，此時，.過作于，連接，則為二面角的平面角.，.【點睛】本題考查四棱錐的體

13、積與球體的表面積，考查函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想以及直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).當(dāng)棱錐中有線面垂直條件時，可考慮將棱錐補形成長方體，簡化思考便于計算找二面角平面角的常用方法有：定義法，三垂線法三、解答題：本大題共7小題.共70分.解答須寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式：（2）求數(shù)列的前項和；（3）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）.（2）.（3）【解析】【分析】（1）直接利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式，即可求得答案；（2）由，可得，進(jìn)一步利用裂項相消法求出數(shù)列的和，即可求得答案；（3）由，可得，根據(jù)錯位相減求和，即可求得答案.【詳解】（1）當(dāng).，當(dāng)時，由

14、可得兩式相減可得：即且上式對于也成立，數(shù)列的通項公式為：（2）（3），由可得：【點睛】本題考查求數(shù)列通項公式和求數(shù)列和，解題關(guān)鍵是掌握常見數(shù)列求和的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.18.已知三棱柱中，.（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面所成二面角的余弦值.【答案】（1）答案見解析.（2）【解析】【分析】（1）要證平面，只需求證，結(jié)合已知，即可求得答案；（2）以為坐標(biāo)原點，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，根據(jù)，即可求得答案.【詳解】（1）,.在中,由余弦定理得,.又,又,平面.（2）由（1），又在中，可得又平面；由（1）得平面， 又以

15、為坐標(biāo)原點，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則,又解得：，故設(shè)平面法向量為由，可得故：取，則設(shè)平面法向量為由，可得故：取可得：平面與平面所成二面角的余弦值.【點睛】本題主要考查了線面垂直和向量法求二面角，解題關(guān)鍵是掌握線面垂直的證法和向量法求面面角的解法，考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.19.某公司為了提高利潤，從2012年至2018年每年對生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)進(jìn)行投資，投資金額與年利潤增長的數(shù)據(jù)如下表：年份2012201320142015201620172018投資金額（萬元）4.55.05.56.06.57.07.5年利潤增長（萬元）6.07.07.48.18.99.61

16、1.1（1）請用最小二乘法求出關(guān)于的回歸直線方程（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；（2）現(xiàn)從20122018年這7年中抽出三年進(jìn)行調(diào)查，記年利潤增長投資金額，設(shè)這三年中（萬元）的年份數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與期望.參考公式：，.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】（1）.（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求出，根據(jù)公式求出，即可求得答案；（2）由所給數(shù)據(jù)可得，的可能取值為1，2，3，求得即可求得答案.【詳解】（1），故關(guān)的回歸直線方程為：，（2）由表格可知，年這年中年份20122013201420152016201720181.521.92.12.42.63.6的可能取值為1，2，3可得：123【點睛】本題主要考查

17、了求回歸直線方程和隨機(jī)變量的分布列與期望，解題關(guān)鍵是掌握回歸直線的求法和統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)知識，考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.20.已知橢圓：的離心率為，右焦點到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）過點作與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于，兩點，在軸上是否存在點，使得為正三角形，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）.（2）在軸上是存在點，坐標(biāo)為，【解析】【分析】（1）因為橢圓：的離心率為，可得，右焦點到直線的距離為，故，即可求得答案；（2）設(shè)線段的中點，若是正三角形，且，結(jié)合已知，即可求得答案.【詳解】（1）橢圓：的離心率為，可得故右焦點到直線的距離為.當(dāng)時，將代入可得整

18、理可得：即解得：（舍去）或由，可得，即根據(jù)可得：當(dāng)時，將代入可得整理可得：方程無解（2）過點作與坐標(biāo)軸不垂直的直線設(shè)直線的方程為 聯(lián)立直線的方程和橢圓方程可得：，消掉可得：根據(jù)韋達(dá)定理可得： 設(shè)線段的中點，則，是正三角形且根據(jù)，可得由可得：可得：，解得：設(shè)，將其代入可得可得故在軸上是存在點，使得為正三角形，坐標(biāo)為，【點睛】本題主要考查了求橢圓方程和橢圓中的三角形問題，解題關(guān)鍵是掌握圓錐基礎(chǔ)知識和橢圓中三角問題的解法，圓錐曲線與直線位置關(guān)系問題，要通過直線和圓錐曲線聯(lián)立方程，通過韋達(dá)定理，建立起直線斜率與目標(biāo)直線的關(guān)系，考查了分析能力和計算能力,屬于難題.21.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性.（2

19、）試問是否存在，使得對恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】(1)見解析；(2) 存在；的取值范圍為.【解析】【分析】（1），所以得，所以通過對與的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論得的單調(diào)性；(2)假設(shè)存在滿足題意的的值，由題意需，所以由(1)的單調(diào)性求即可；又因為對恒成立，所以可以考慮從區(qū)間內(nèi)任取一個值代入，解出的取值范圍，從而將的范圍縮小減少討論.【詳解】解：（1），.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增； 當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增. （2）假設(shè)存在，使得對恒成立.則，即，設(shè)，則存在，使得， 因為，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以時即. 又因為對恒成立時，需，所以由（1）得：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以，且成立，從而滿足題意. 當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以所以（*）設(shè)，則在上單調(diào)遞增，因為， 所以的零點小于2，從而不等式組（*）的解集為，所以即.綜上，存在，使得對恒成立，且的取值范圍為.【點睛】求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟是：（1）求定義域；（2）求；（3）討論的零點是否存在；若的零點有多個，需討論它們的大小關(guān)系及是否在定義域內(nèi)；（4）判斷在每個區(qū)間內(nèi)的正負(fù)號，得的單調(diào)