微積分：10.2 第二類（對坐標的）曲線積分

1、10.2 第二類（對坐標的）曲線積分,10.2.1 第二類曲線積分的概念,10.2.2 第二類曲線積分的計算,10.2.3 兩類曲線積分的關(guān)系,10.2.1 第二類曲線積分的概念,曲線的定向:,A叫起點,B叫終點,這時稱L為有向曲線,稱為L的反向曲線,規(guī)定：有向曲線上一點處的切線方向與曲線的前進方向一直,實例: 變力沿曲線所作的功,常力沿直線所作的功,分割,近似,求和,取極限,定義,用分點,上任意取定的點.,把L分成n個有向小弧段，,記,如果當各小段長度的最大值,的極限總存在,記作,第二類曲線積分.,即,積分和式,被積函數(shù),有向弧長微元,有向積分曲線,或,對坐標的曲線積分.,在有向曲線弧 L上

2、從A到B的,第二類曲線積分,第二類曲線積分的常見形式,3.推廣,4. 性質(zhì),第二類曲線積分與,(1),則,(2),有向曲線弧,則,曲線的方向有關(guān),定理,連續(xù),10.2.2 第二類曲線積分的計算,化為定積分計算,特殊情形,(1),(2),則,則,(3),推廣,注意區(qū)別以下積分,定積分,平面曲線的第一類曲線積分,空間曲線的第一類曲線積分,平面曲線的第二類曲線積分,空間曲線的第二類曲線積分,例,解,(1),(2),例,(1) L是上半圓周 反時針方向;,解,A點對應,(2) L是x軸上由點 到點 的線段.,(1)中L的參數(shù)方程為,B點對應,其中,原式=,(2) L的方程為,原式=,(2) L是x軸上

3、由點 到點 的線段.,其中,計算,其中L為,(1) 拋物線,(2) 拋物線,(3) 有向折線,解(1)原式,(2)原式,(3)原式,練一練,其中是由點A(1,1,1)到點B(2,3,4)的直線段.,直線AB的方程為,解,化成參數(shù)式方程為,于是,A點對應,B點對應,例,例 計算,解,物理意義：,變力F沿平面曲線L所作的功:,變力F沿空間曲線所作的功:,例,解,設(shè)在力場,作用下,質(zhì)點由,沿 移動到,解(1),試求力場對質(zhì)點所作的功.,其中 為,練一練,設(shè)在力場,作用下,質(zhì)點由,沿 移動到,試求力場對質(zhì)點所作的功.,其中 為,練一練,設(shè)有向平面曲線弧,則,10.2.3 兩類曲線積分之間的關(guān)系,則,設(shè)

4、有向空間曲線,類似,例,解,把第二類曲線積分,化為第一類曲線積分.,其中L沿拋物線,從點(1,1)到 (0,0),(1,1),將積分,化為第一類曲線積,分,解,其中L沿上半圓周,練一練,將積分,化為對弧長的積分,小結(jié),1、第二類曲線積分的概念,2、第二類曲線積分的計算,3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系,作業(yè) P425 3(1)(4)(5)(9), 10， 11， 17, 19,解,練一練,唯一一點為所求,最大功,證明,設(shè)A對應,一單位正電荷沿光滑曲線:,解,3 位于原點(0,0,0)處的正電荷q產(chǎn)生的靜電場中,求電場所作的功W.,從點A移到點B,B對應,設(shè)單位正電荷沿光滑曲線到點M(x,y,z),例,取逆時針方向.,解,其中ABCDA為,將原式分成兩部分,即,曲線關(guān)于,的走向與L在下半部分的走向相反,法2,被積函數(shù)為,利用對稱性質(zhì),L在上半部分,x軸對稱,y的偶函數(shù).,原式,曲線關(guān)于,L在右半部分的走向與L在左半部分的走向相反,被積函數(shù)為,所以,y軸對稱,x的偶函數(shù).,已知,為折線 ABCOA(如圖), 計算,練一練,解,切向量：,正負由曲線的切向量與坐標軸的夾角而定,切向量：,練 習 題,補充,在分析問題和算題時常用的,L在上半平面部分與,P(x, y)為,P(x, y)為,其中L1是曲線L的上半平面的部分.,類似地,對稱性質(zhì),對坐標的曲線積分,當平面曲線L是分段,光滑的,關(guān)于,下