差分方程(1)-基礎(chǔ)知識

1、差 分 方 程(1) 基礎(chǔ)知識,一、差分,二、差分方程的概念,三、一階常系數(shù)線性差分方程,四、二階常系數(shù)線性差分方程,一、差分,微分方程是自變量連續(xù)取值的問題, 但在很多實際問題中, 有些變量不是連續(xù)取值的. 例如, 經(jīng)濟變量收入、儲蓄等都是時間序列, 自變量 t 取值為0, 1, 2, , 數(shù)學上把這種變量稱為離散型變量. 通常用差商來描述因變量對自變量的變化速度,定義1 設(shè)函數(shù) y = f (x), 記為 yx, 則差,yx+1 yx,稱為函數(shù) yx 的一階差分, 記為yx, 即,yx = yx+1 yx,yx) = yx+1 yx = (yx+2 yx+1) (yx+1 yx,yx+2

2、2 yx+1 + yx,為二階差分, 記為2 yx, 即,3yx = (2yx,同樣可定義三階差分3yx, 四階差分4yx, 即,4yx = (3yx),2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx,例1 求(x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3,解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x + 1,2(x3) = (3x2 + 3x + 1,3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1,6x + 6,3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6,6,4(x3) = (6) 6 = 0

3、,二、差分方程的概念,定義2 含有自變量、未知函數(shù)及其差分的方程, 稱為差分方程,差分方程的一般形式為,F(x, yx, yx, , n yx) = 0. (1,差分方程中可以不含自變量 x 和未知函數(shù) yx, 但必須含有差分,式(1)中, 當 n = 1時, 稱為一階差分方程；當n = 2時, 稱為二階差分方程,例2 將差分方程,2yx + 2yx = 0,表示成不含差分的形式,解 yx = yx+1 yx , 2yx = yx+2 2yx+1 + yx,代入得,yx+2 yx = 0,由此可以看出, 差分方程能化為含有某些不同下標的整標函數(shù)的方程,定義3 含有未知函數(shù)幾個時期值的符號的方程

4、, 稱為差分方程,其一般形式為,G(x, yx, yx+1, , yx+n) = 0. (2,定義3中要求yx, yx+1, , yx+n不少于兩個,例如, yx+2 + yx+1 = 0為差分方程, yx = x不是差分方程,差分方程式(2)中, 未知函數(shù)下標的最大差數(shù)為 n, 則稱差分方程為n 階差分方程,定義4 如果一個函數(shù)代入差分后, 方程兩邊恒等, 則稱此函數(shù)為該差分方程的解,例3 驗證函數(shù) yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的解,解 yx+1 = 2(x + 1) + 1 = 2x +3,yx+1 yx = 2x + 3 (2x +1) = 2,所以yx =

5、2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的解,定義5 差分方程的解中含有任意常數(shù), 且任意常數(shù)的個數(shù)與差分方程的階數(shù)相等, 這樣的解稱為差分方程的通,解,三、一階常系數(shù)線性差分方程,一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為,yx+1 ayx = f (x). (3,其中 a 為不等于零的常數(shù),稱為齊次差分方程; 當 f (x) 0時, 稱為非齊次差分方程,當 f (x) = 0 時, 即,yx+1 ayx = 0 (4,先求齊次差分方程 yx+1 ayx = 0的解,設(shè) y0 已知, 代入方程可知,y1 = ay0,y2 = a2y0,yx = axy0,令y0 = C, 則得齊次差分方程的通

6、解為,yx = Cax. (5,例4 求差分方程 yx+1 + 2yx = 0的通解,解 這里 a = 2, 由公式(5)得, 通解為,yx = C(2)x,定理 設(shè) y0*是非齊次差分方程(3)對應(yīng)的齊次差分方程(4)的通解,再討論非齊次差分方程 yx+1 ayx = f (x)解的結(jié)構(gòu),是(3)的一個特解, 則,程(3)的通解,是方,下面用待定系數(shù)法來求兩種類型函數(shù)的特解,1) 令f (x) = b0 + b1x + +bmxm,設(shè)特解的待定式為,或,6,7,其中B0 , B1 , , Bm為待定系數(shù),例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 的一個特解,解 這里 a = 2, 設(shè),

7、代入差分方程, 得,B0+B1(x+1)+B2(x+1)2 2(B0+B1x+B2x2)=3x2,整理, 得,B0+B1 +B2)+ ( B1+2B2) xB2x2=3x2,比較系數(shù), 得,B0+B1 +B2=0,B1+2B2 = 0,B2 = 3,解出 B0= 9, B1 = 6, B2 = 3,故所求特解為,例6 求差分方程 yx+1 yx = x +1 的通解,解 對應(yīng)的齊次方程 yx+1 yx = 0的通解為,這里 a = 1, 設(shè),x+1)B0+B1(x+1) x(B0+B1x) = x +1,整理, 得,2B1 x + B0 + B1 = x +1,比較系數(shù), 得,2B1 = 1,

8、B0 + B1 = 1,解出,故所求通解為,代入差分方程, 得,2) f (x) = Cbx,設(shè)特解的待定式為,或,8,9,其中 k 為待定系數(shù),例7 求差分方程 的通解,解 對應(yīng)的齊次方程,的通解為,因為,故可設(shè)特解為,則,解出,則所求通解為,四、二階常系數(shù)線性差分方程,形如,yx+2 + ayx+1 + byx = f (x). (10,其中 a , b 0, 且均為常數(shù))的方程, 稱為二階常系數(shù)線性差分方程,稱為齊次差分方程; 當 f (x) 0時, 稱為非齊次差分方程,當 f (x) = 0 時, 即,yx+2 + ayx+1 + byx = 0 (11,類似于二階線性常微分方程, 二

9、階線性差分方程與其有相同的解的結(jié)構(gòu). 故先求齊次方程(11)的通解,當 為常數(shù)時, yx = x和它的各階差商有倍數(shù)關(guān)系,所以可設(shè) yx = x為方程(11)的解,代如方程(11)得,x+2 + ax+1 + bx = 0,方程(12)稱為齊次差分方程(11)的特征方程,特征方程的解,兩個不相等的實根 1, 2,一對共軛復根 1,2= i,兩個相等實根 1 = 2,x+2 + ax+1 + bx = 0的通解,2 + a + b = 0, (12,由特征方程的根的情況可得齊次方程的通解,例8 求差分方程 yx+2 7yx+1 + 6yx = 0的通解,解 特征方程為,方程的根為 1 = 1,

10、2 = 6,2 7 + 6 = 0,原方程的通解為,yx = C1 + C26x,例9 求差分方程 yx+2 4yx+1 + 16yx = 0滿足條件y0=0, y1=1的特解,解 特征方程為,方程的根為,2 4 + 16 = 0,原方程的通解為,代入初始條件 y0=0, y1=1得,解出,故所求特解為,1) f (x) = b0 + b1x + +bmxm,根據(jù)非齊次差分方程 yx+2 + ayx+1 + byx = f (x)的函數(shù) f (x)的形式, 用待定系數(shù)法可求出一個特解,設(shè)特解的待定式為,其中B0 , B1 , , Bm為待定系數(shù),例10 求差分方程 yx+2 + yx+1 2yx = 12x的通解,解 對應(yīng)的齊次方程的特征方程為,方程的根為 1 = 2, 2 = 1,2 + 2 = 0,齊次方程的通解為,因為 a = 1, b = 2, 1+a+b = 0, 但 a+2 = 3 0,所以, 設(shè)非齊次方程的一個特解為,代入原方程, 得,整理, 得,B0+B1(x+2)(x+2)+B0+B1 (x+1)(x+1)(B0+B1x)x=12x,比較系數(shù), 得,6B1 = 12,3B0 + 5B1 = 0,解出,故所求通解為,6B1x + 3B0 + 5B1 =12x,2) f (x) = Cqx,設(shè)特解的待定式為,其中 B 為待定系數(shù),q