貝塞爾曲線ppt課件

1、8.貝塞爾曲線和曲面,貝塞爾曲線引論 貝塞爾曲線的性質(zhì) 貝塞爾曲線的算法 貝塞爾曲面,8.1貝塞爾曲線引論,法國工程師Pierre Bzier在1862年提出了便于設(shè)計師應(yīng)用的一類參數(shù)曲線為雷諾公式設(shè)計汽車，稱為Bzier曲線，受到工業(yè)界和學(xué)術(shù)界的重視。1872年英國的福里斯特發(fā)現(xiàn)Bzier曲線可以方便地用控制頂點的Bernstein基函數(shù)來表示，成為被廣泛采用的Bzier曲線的定義,在二維或三維空間給定n+1個點P0、P1、P2、Pn。參數(shù)t的n次的Bzier曲線是 其中P0、P1、Pn都是二維或三維空間的點，稱為控制點，稱Bk,n(t)是n次Bernstein基函數(shù),Bernstein基函

2、數(shù)的性質(zhì),1、非負性： Bk.n(t) 0，而且， Bk.n(0)=k,0, Bk.n(1)=k,n,當(dāng)k =1,2,n-1時,2、權(quán)性,3、對稱性,4、導(dǎo)數(shù),5、最大值： 在t=k/n時取得最大值,6、遞推公式,事實上，當(dāng)k =1,2,n-1時,7、升階：當(dāng)k=0,1,n時,證明,第三式可以由前兩式推出,8.2貝塞爾曲線的性質(zhì),1、端點的位置：Bzier曲線通過第一個控制點P0和最后一個控 制點Pn。這是因為,2、端點的切線：Bzier曲線的切矢量是,3、端點的曲率 K(0) = |nP0P1n(n-1)(P1P2-P0P1)|/|nP0P1|3 =(n-1)/n|P0P1P1P2|/|P0

3、P1|3 K(1) =(n-1)/n|Pn-2Pn-1Pn-1Pn|/|Pn-1Pn|3 P0P1Pn稱為Bezier曲線的控制頂點，它們組成控制多邊形,4、仿射不變性 Bezier曲線的形狀和位置僅與控制點的位置有關(guān)。這是指某些幾何特性不隨坐標變換而變化的特性。Bezier曲線的位置與形狀與其特征多邊形頂點Pi(i=0,1,.,n)的位置有關(guān)，它不依賴坐標系的選擇 5、凸包性 由于ernstein多項式的性質(zhì)， Bezier曲線落在控制點的凸包內(nèi) 6、交互能力 移動第k個結(jié)點，對Bezier曲線在t=k/n處的影響最大,7、變差縮小性 若Bezier曲線的特征多邊形P0P1.Pn是一個平面圖

4、形，則平面內(nèi)任意直線與P(t)的交點個數(shù)不多于該直線與其特征多邊形的交點個數(shù)，這一性質(zhì)叫變差縮減性質(zhì)。此性質(zhì)反映了Bezier曲線比其特征多邊形的波動小，也就是說Bezier曲線比特征多邊形的折線更光順。特別地，凸的控制多邊形，生成凸的Bezier曲線,設(shè)P0、P、P2是一條拋物線上順序三個不同的點。過P0和P2點的兩切線交于P1點，在P點的切線交P0P1和P2P1于Q和R，則拋物線的三切線定理 是,P0,P1,P2,P,Q,R,當(dāng)P0和P2固定，引入?yún)?shù)t，令上述比值為t:(1-t), Q = (1-t)P0+tP1, R = (1-t)P1+tP2，P = (1-t)Q+tR, 當(dāng)t從0變

5、到1，第一、二式就分別表示控制二邊形 的第一、二條邊，它們是兩條一次Bezier曲線,8.3貝塞爾曲線的算法,將一、二式代入第三式得： P = (1-t)2P0 + 2t(1-t)P1 + t2P2 當(dāng)t從0變到1時，它表示了由三頂點P0、P1、P2三點定義的一條二次Bezier曲線。并且表明：這二次Bezier曲線P0,2可以定義為分別由前兩個頂點(P0,P1)和后兩個頂點(P1,P2)決定的一次Bezier曲線的線性組合。依次類推，由四個控制點定義的三次Bezier曲線P0,3可被定義為分別由(P0,P1,P2)和(P1,P2,P3)確定的二條二次Bezier曲線的線性組合，由(n+1)個

6、控制點Pi(i=0,1,.,n)定義的n次Bezier曲線P0n可被定義為分別由前、后n個控制點定義的兩條(n-1)次Bezier曲線P0,n-1與P1,n-1的線性組合,8.4 Bezier曲面,利用Bezier曲線的性質(zhì)，張量積形式的Bezier曲面的定義可以如下定義。兩組正交的Bezier曲線的控制頂點可作為矩形網(wǎng)格。設(shè)Pij (i=0,n; j=0,m)為空間點列，這些點生成的n+1行、m+1列的矩形網(wǎng)格稱為特征網(wǎng)格，其中在第i+1行、第j+1列的點是Pij。相應(yīng)的mn次張量積形式的Bezier曲線為,其矩陣形式是,其中,是k次Bernstein基函數(shù)。在一般實際應(yīng)用中，n,m不大于4。Bezier曲線的變差縮小性質(zhì)不能推廣到曲面。但是，其它許多性