哈密爾頓的四元數(shù)

1、哈密爾頓的四元數(shù) 威廉.哈密頓,歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一。 1805年8月3日出生于愛爾蘭的都柏林，1865年9月2日卒于都柏林附近的敦辛克天文臺。哈密頓是一位罕見的語言奇才。14歲時(shí)就學(xué)會了12種歐洲語言。13歲就開始鉆研牛頓和拉普拉斯等人的經(jīng)典著作。17歲時(shí)掌握了微積分，并在光學(xué)中有所發(fā)現(xiàn)。 22歲時(shí)大學(xué)還未畢業(yè)就被聘任為他就讀的都柏林三一學(xué)院的教授，同時(shí)獲得“愛爾蘭皇家天文學(xué)家”的稱號。 哈密頓在物理學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域里都有杰出的成就，他是一位勤奮工作而酷愛真理的人。他和妻子在一起散步的橋頭，已經(jīng)有一個(gè)紀(jì)念碑。 四元數(shù)是由哈密爾頓在1843年愛爾蘭發(fā)現(xiàn)的。愛爾蘭有一個(gè)很多人熟悉的英雄，威廉.華

2、萊士。在電影勇敢的心中，有一柄長劍，叮地插在大地之上，長劍在風(fēng)中微顫，你仿佛聽見愛爾蘭的英雄在高呼：自由！在通往數(shù)學(xué)的自由或者奴役的道路之上，哈密頓的四元數(shù)是一個(gè)豐碑。從物理學(xué)上講，它就是泡利矩陣，有了泡利矩陣，就有了2分量旋量。所以天才總是相互感應(yīng)，而有了泡利矩陣，才有了扭量，這亦是自然的事情。 兩個(gè)四元數(shù)相等的準(zhǔn)則是系數(shù)a、b、c、d都對應(yīng)相等。 兩個(gè)四元數(shù)相加只要將對應(yīng)系數(shù)分別相加形成新的系數(shù)，這 頁 1 第樣和本身也是一個(gè)四元數(shù)。為了定義乘法，哈密爾頓不得不規(guī)定i與j，i與k及j與k的乘積。為了保證乘積是一四元數(shù)，并且盡可能多地保留實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的特點(diǎn)，他約定：jk=i，kj=i，ki=j

3、，ik=j，ij=k，ji=k，這些約定意味著乘法是不可能交換的。這樣若p和q為四元數(shù)，則pq不等于qp。一個(gè)四元數(shù)被另一個(gè)四元數(shù)除也是可以做的，然而，乘法的不可交換性蘊(yùn)含了用四元數(shù)q去除四元數(shù)p時(shí)，可以意味著找到r，使得p=qr或p=rq，商r在兩種情形下可能不等。盡管四元數(shù)并沒有像哈密爾頓希望的那樣有廣泛的使用價(jià)值，他還是能用它們來解決大量的物理和幾何問題。 四元數(shù)的引入給了數(shù)學(xué)家們又一次震動。它是一個(gè)確確實(shí)實(shí)有實(shí)際用途的代數(shù)，卻不具備所有實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)都具備的基本性質(zhì)，即ab=ba。 哈密爾頓發(fā)明四元數(shù)后不久，從事其他領(lǐng)域研究的數(shù)學(xué)家們引入了更奇怪的代數(shù)。著名代數(shù)幾何學(xué)家凱萊引進(jìn)了矩陣，它是

4、矩形或正方形數(shù)組。對它們也可進(jìn)行通常的代數(shù)運(yùn)算。但是如同在四元數(shù)中的情形一樣，它也沒有乘法可交換性。而且即使兩個(gè)矩陣都不為0，它們的積也可能為0。四元數(shù)和矩陣只不過是許多性質(zhì)越來越奇怪的代數(shù)的先驅(qū)。格拉斯曼發(fā)明了許多這樣的代數(shù)。它們甚至比哈密爾頓的四元數(shù)還要一般化。不幸，格拉斯曼只是個(gè)中學(xué)教師，因此過了許多 頁 2 第年他的工作才獲得了應(yīng)有的注意。無論怎樣，格拉斯曼工作增添了現(xiàn)在稱為超復(fù)數(shù)的新代數(shù)中的多樣性。 為了特別的目的而創(chuàng)建的這些新代數(shù)本身并沒有向普通的算術(shù)及其擴(kuò)展在代數(shù)和分析中的真理提出挑戰(zhàn)。畢竟，一般的實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)可用于完全不同的目的，它們的實(shí)用性是無可質(zhì)疑的。也許真理本質(zhì)上就是難以捉

5、摸的，或者如羅馬哲學(xué)家塞涅卡所說：“自然界不會一下子披露她所有的秘密?！?如果幾個(gè)力作用于一個(gè)物體，則這些力及其向量表示不一定通常也不會總在同一平面上。如果為了方便起見將通常實(shí)數(shù)稱為一維數(shù)，復(fù)數(shù)為二維數(shù)，那么，要用什么來表示空間中某種三維數(shù)的向量及其代數(shù)運(yùn)算呢？人們希望對這種三維數(shù)進(jìn)行的運(yùn)算，類似于復(fù)數(shù)的情況，將必須包括加、減、乘、除，而且必須滿足通常實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)所具有的那些性質(zhì)。這樣代數(shù)運(yùn)算才能自由且有效地使用。于是，數(shù)學(xué)家們開始尋找一種稱為三維復(fù)數(shù)及其代數(shù)的數(shù)。 有許多數(shù)學(xué)家從事了這一問題的研究。1843年，哈密爾頓提出了一個(gè)有用的復(fù)數(shù)的空間類似物，哈密爾頓為此困惑了15年。那時(shí)數(shù)學(xué)家們所知

6、道的所有的數(shù)都具有乘法的交換性，即ab=ba，因此哈密爾頓很自然地相信他所找的三維數(shù)或三元數(shù)，也應(yīng)該具有這一性質(zhì)以及其他實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)具有的性質(zhì)。哈密爾頓終于成功了，不過他被迫作出兩點(diǎn)讓步。首先，他的新數(shù)包含四個(gè)分量，其次，他不得不犧牲了乘法交換律。 頁 3 第這兩個(gè)特點(diǎn)對代數(shù)學(xué)來說都是革命性的，他把這種新的數(shù)叫做四元數(shù)。 a+bi+cj+dki2=j2=k2=1兩個(gè)四元數(shù)相等的準(zhǔn)則是系數(shù)a、b、c、d都對應(yīng)相等。 當(dāng)時(shí)他正研究擴(kuò)展復(fù)數(shù)到更高的維次（復(fù)數(shù)可視為平面上的點(diǎn)）。他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數(shù)。根據(jù)哈密爾頓記述，他是于10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家運(yùn)河散步,突然靈感撲

7、面而來,他在橋上寫下乘法表:i2j2k2-1，ijk，kij，jki；ji-k；ik-j，kj-i。 這是一個(gè)普通的橋,它以前的名字叫布魯穆橋（現(xiàn)稱為金雀花橋BroomBridge）。 哈密頓創(chuàng)造了把四元數(shù)描繪成一個(gè)有序的四重實(shí)數(shù)：一個(gè)標(biāo)量（a）和向量（bi+cj+dk）的組合。 根據(jù)上述乘法表，四元數(shù)顯然是復(fù)數(shù)的擴(kuò)充，它將復(fù)數(shù)作為特殊形式包含在自身之中，它屬于超復(fù)數(shù)。但這種數(shù)對乘法的交換律不再成立，哈密頓為此考慮了十幾年，最后直覺地想到：必須犧牲交換律，于是第一個(gè)非交換律的代數(shù)誕生了，在以前的乘法中，乘法是交換的，比如從小學(xué)數(shù)學(xué)開始,沒有人告訴你為什么1x2=2x1，但這背后其實(shí)埋藏?zé)o窮秘密

8、。 哈密頓的這個(gè)創(chuàng)造，把代數(shù)學(xué)從傳統(tǒng)的實(shí)數(shù)算術(shù)的束縛中解放出來，人們開始認(rèn)識到數(shù)學(xué)既可來自現(xiàn)實(shí)世界的直接抽象 頁 4 第也可以來自人類的思維的自由創(chuàng)造，這種思想引起了代數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一次質(zhì)的飛躍，現(xiàn)代抽象代數(shù)的閘門被打開了。只有在4維歐空間之上，唐納森發(fā)現(xiàn)了無窮多微分結(jié)構(gòu)。loop量子引力被人詬病，因?yàn)樗荒芑卮馂槭裁磿r(shí)空是4維的，但上帝用數(shù)學(xué)來回答。 在19世紀(jì)到20世紀(jì)，哈密頓之后，物理學(xué)家洛侖次寫了厚厚的電子論，Lorentz的TheTheoryofElectrons總共三百多頁，當(dāng)時(shí)還沒有發(fā)現(xiàn)電子。這是歷史上一個(gè)偉大的事情，雖然洛侖次不是最出色的，但人們應(yīng)該注意到，在洛侖次力公式f=qE+vXB出現(xiàn)了點(diǎn)乘與