三次函數(shù)的切線問題

1、高考中三次函數(shù)圖象的切線問題鎮(zhèn)江實(shí)驗(yàn)高中 楊勇一、已知斜率為與三次函數(shù)圖象相切的切線三次函數(shù)1、,斜率時，有且只有一條切線；時，有兩條不同的切線；時，沒有切線；2、,斜率時，有且只有一條切線；時，有兩條不同的切線；時，沒有切線；證明 1、 當(dāng)時， 當(dāng) 時，方程有兩個相同解，所以斜率為的切線有且只有一條；其方程為： 當(dāng)時，方程，有兩個不同的解，且=-，即存在兩個不同的切點(diǎn)，且兩個切點(diǎn)關(guān)于三次函數(shù)圖象對稱中心對稱。所以斜率為的切線有兩條。當(dāng)時，方程無實(shí)根，所以斜率為的切線不存在。2、時，讀者自己證明。二、過三次函數(shù)圖象上一點(diǎn)的切線設(shè)點(diǎn)P為三次函數(shù)圖象上任一點(diǎn)，則過點(diǎn)P一定有直線與的圖象相切。若點(diǎn)P

2、為三次函數(shù)圖象的對稱中心，則過點(diǎn)P有且只有一條切線；若點(diǎn)P不是三次函數(shù)圖象的對稱中心，則過點(diǎn)P有兩條不同的切線。證明 設(shè) 過點(diǎn)P的切線可以分為兩類。1 P為切點(diǎn) 切線方程為：2 P不是切點(diǎn)，過P點(diǎn)作圖象的切線，切于另一點(diǎn)Q（） 又 （1） 即 代入（1）式得 討論：當(dāng)時， ，也就是說，當(dāng)時，兩切線重合，所以過點(diǎn)P有且只有一條切線。 當(dāng)時，所以過點(diǎn)P有兩條不同的切線。其切線方程為： 由上可得下面結(jié)論：過三次函數(shù)上異于對稱中心的任一點(diǎn)作圖象的切線，切于另一點(diǎn)，過作圖象的切線切于，如此繼續(xù)，得到點(diǎn)列-，則，且當(dāng)時，點(diǎn)趨近三次函數(shù)圖象的對稱中心。證明 設(shè)過與圖象切于點(diǎn)的切線為， 又 = 即 設(shè) 則 數(shù)列是公比為的等比數(shù)列， 即 。 三、過三次函數(shù)圖象外一點(diǎn)的切線 設(shè)點(diǎn)為三次函數(shù)圖象外一點(diǎn)， 則過點(diǎn)一定有直線與圖象相切。（1） 若則過點(diǎn)恰有一條切線；（2） 若且，則過點(diǎn)恰有一條切線；（3） 若且=0，則過點(diǎn)有兩條不同的切線；（4）若且，則過點(diǎn)有三條不同的切線。其中證明 設(shè)過點(diǎn)作直線與圖象相切于點(diǎn)則切線方程為 把點(diǎn)代入得：，設(shè) 令則因?yàn)榍∮幸粋€實(shí)根的充要條件是曲線與軸只相交一次，即在上為單調(diào)函數(shù)或兩極值同號，所以或且時，過點(diǎn)恰有一條切線。有兩個不同實(shí)根的充要條件是曲線與軸有兩個公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn)，所以且=0時，過點(diǎn)有兩條不同的切線。有三個不同實(shí)根的充要條件是曲線