高中數(shù)學(xué)題型講義(直線與圓

1、直 線 與 圓 題 型 庫(kù)（1）知識(shí)精髓n 直線方程 二個(gè)概念（斜率、傾斜角） 三個(gè)距離（點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、平行線間） 四組關(guān)系（相交、平行、垂直、對(duì)稱(chēng)） 五種形式（點(diǎn)斜（標(biāo)準(zhǔn)）、斜截、兩點(diǎn)、截距、一般）n 圓方程 兩種形式（標(biāo)準(zhǔn)、一般） 三種關(guān)系（點(diǎn)圓、線圓、圓圓）重點(diǎn)難點(diǎn)：直線間關(guān)系 難點(diǎn)：對(duì)稱(chēng)關(guān)系；直線旋轉(zhuǎn)一定角度后的斜率計(jì)算，如過(guò)圓外固定點(diǎn)的兩條切線或割線斜率計(jì)算。直線與圓間關(guān)系圓與圓間關(guān)系溫馨提示：時(shí)刻不要忘記斜率不存在情況的討論主干題型思維路徑l 傾斜角范圍討論T1*已知，求直線的傾斜角范圍？T2（SDM10）* ，求其傾斜角范圍？T1:,T2：，因?yàn)槿鐖D：直線越靠近y軸，斜率絕對(duì)值越大

2、，反之亦然本題中，其絕對(duì)值，直線越靠近x軸，所以?xún)A斜角是溫馨提示：傾斜角范圍一般由斜率范圍反演，有兩種情形：兩邊和中間，即：；斜率逆時(shí)針增大：0,跨過(guò)y軸后，0 正切函數(shù)在上單增斜率絕對(duì)值越大，直線越靠近y軸，絕對(duì)值越小，直線越靠近x軸。l 斜率范圍討論T1*直線過(guò)點(diǎn)且與以為端點(diǎn)的線段相交，求直線的斜率范圍？T1:求直線斜率范圍，要重點(diǎn)分析動(dòng)直線是否存在“垂直狀態(tài)”情形，若存在，則分兩類(lèi)：0和0類(lèi)范圍，要么在0且二次項(xiàng)系數(shù)因此首先，然表達(dá)半徑，轉(zhuǎn)化為二次反比例復(fù)合函數(shù)的值域問(wèn)題l 綜合求圓方程T（HN10M）*根據(jù)下列條件求圓方程：（1） 過(guò)點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)，且圓心在直線上；（2） 圓心在直線相切

3、于點(diǎn)P（3，-2）（3） 過(guò)三點(diǎn)T：（1）標(biāo)準(zhǔn)方程（2）思維1：標(biāo)準(zhǔn)方程，思維2：切線關(guān)系。（3）思維1：一般方程；思維2：兩條線段中垂線交點(diǎn)為圓心直 線 與 圓 題 型 庫(kù)（5）直線與圓關(guān)系知識(shí)精髓 兩個(gè)問(wèn)題：切線和弦長(zhǎng)切線方程：圓方程，過(guò)點(diǎn)的切線方程為： 特殊情形：，過(guò)點(diǎn)的切線方程為： 以上公式推理邏輯：幾何法：圓心切點(diǎn)連線垂直切線，切點(diǎn)在切線和圓上；代數(shù)法：斜截式直線斜率滿足相交方程關(guān)系。當(dāng)然也可以利用導(dǎo)數(shù)工具。注意：不要忘記斜率不存直線的討論！弦長(zhǎng)問(wèn)題：圓截直線弦：幾何法和代數(shù)法。幾何法（垂徑關(guān)系下的勾股定理）在圓中首選，代數(shù)法通用于所有曲線弦問(wèn)題。 三種直線與圓的關(guān)系：相交、相切、相

4、離（代數(shù)法：；幾何法：圓心到直線的距離與半徑關(guān)系） 四種圓與圓的關(guān)系：相交、內(nèi)切、外切、相離（外離、內(nèi)含）幾何法：圓心和（差）與半徑和（差）關(guān)系） 圓系方程：同心圓系：或 過(guò)兩圓交點(diǎn)圓系：，（，不包括圓2）兩圓公共弦直線方程：溫馨提示：遇到圓的問(wèn)題時(shí)，多用幾何關(guān)系，輔以代數(shù)處理。主干題型思維路徑l 直線與圓的關(guān)系T1（SH11）*直線與圓的位置關(guān)系是什么？T2（SDM11）*將圓沿x軸正方向平移1個(gè)單位后得圓C，若過(guò)點(diǎn)（3,0）的直線和圓C相切，則直線的斜率=？T3（LN09L）*圓C與直線及都相切，圓心在直線上，則圓C的方程為？T4(JX11L)*若曲線與曲線有四個(gè)不同交點(diǎn)，則參數(shù)取值范圍？

5、T5（SX12）*圓C：，過(guò)點(diǎn)（3,0），則的關(guān)系為？(先判斷定點(diǎn)與圓C的關(guān)系：內(nèi)部，因此相交)T1：遇到參數(shù)直線形式，一定要找到變中的不變，要不過(guò)定點(diǎn)（繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)），要不斜率不變（傾斜一定平移），本題直線過(guò)定點(diǎn)，然后再考察定點(diǎn)與圓的關(guān)系，代入計(jì)算知：在圓內(nèi)，因此直線與圓相交。當(dāng)然也可以計(jì)算圓心到直線距離表達(dá)后與半徑比較；或者計(jì)算相交二次方程的T2：幾何法：畫(huà)出切線直角三角形，并根據(jù)直角三角形三邊長(zhǎng)計(jì)算切線斜率。代數(shù)法：圓心（1,0）到直線的距離=半徑，求出。T3：畫(huà)圖從幾何關(guān)系入手分析。T4：曲線是由直線和【過(guò)定點(diǎn)（-1,0）】組成，畫(huà)圖后可知，兩條臨界直線是斜率為，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中不能與y=0重

6、合（四個(gè)交點(diǎn)）。直 線 與 圓 題 型 庫(kù)（6）主干題型思維路徑l 弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦問(wèn)題T1*圓內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線的傾斜角為，直線交圓于A、B兩點(diǎn)，（1）當(dāng)時(shí)，AB的長(zhǎng)為？（2）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，求直線方程。T2（JX10）*直線與圓相交于M、N兩點(diǎn)，若，則取值范圍？（過(guò)圓外一定點(diǎn)的定值弦長(zhǎng)問(wèn)題）T3*直線上一點(diǎn)向圓引切線，則切線長(zhǎng)最小為？T4（HB11M）*過(guò)點(diǎn)P（3,4）作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，則線段AB長(zhǎng)為？T5（JS12L）*圓C方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則的最大值是？T1：（1）垂徑直角關(guān)系求之 （2）思維1：設(shè)出A、B兩點(diǎn)坐

7、標(biāo)，列出在圓上的方程，兩式相減求出斜率。思維2：挖掘幾何關(guān)系：圓心與弦中點(diǎn)P連線后垂直弦，中點(diǎn)又在弦上。直線方程可求。T2：幾何法：如圖：過(guò)圓外一定點(diǎn)固定弦長(zhǎng)定點(diǎn)P與圓心連線斜率，利用垂徑定理可算出上下對(duì)稱(chēng)角的正切值上切線的斜率下切線的斜率 傾斜角的和差關(guān)系（正切和差公式）代數(shù)法：表達(dá)出，然后滿足T3：遇到切線連圓心和切點(diǎn)，然后解切心直角三角形：動(dòng)點(diǎn)P，圓心M，切點(diǎn)Q，則,因此切線長(zhǎng)由動(dòng)點(diǎn)與圓心連線長(zhǎng)決定。T4：AB的一半是切心直角三角形斜邊上的高，切心直角三角形三邊都可算出。T5：此題中的邏輯變化有兩方面：直線旋轉(zhuǎn)+每條直線上不同的圓心。分析多方向變化情形時(shí)，要先固定其余變化，分析其余不變的情形下單向變化影響。如此題：先固定直線方向（斜率固定），然后圓心變化時(shí)的臨界狀態(tài)點(diǎn)是圓心到該直線的距離垂足點(diǎn)，此時(shí)是滿足兩圓有公共點(diǎn)的約束條件最松條件，也只有在這樣的位置，才能允許直線盡可能逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，即斜率變大，進(jìn)而找到最大值狀態(tài)：兩圓外切+圓心