二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法(1)

1、.二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法課程背景：二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法是高考中數(shù)列的一個(gè)高頻考點(diǎn)，由于其遞推數(shù)列的特殊性和復(fù)雜性，很多學(xué)生感到無(wú)從下手，是學(xué)生高考中較大的一個(gè)失分點(diǎn)，其實(shí)本題來(lái)源于課本習(xí)題，本課就這個(gè)問(wèn)題以課本習(xí)題為載體來(lái)深入的探討和研究一下二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法課程內(nèi)容：真題再現(xiàn)：1.（2015廣東文19）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且當(dāng)時(shí)，（1）求的值；（2）求證：為等比數(shù)列；（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式2.在數(shù)列中，（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題呈現(xiàn)：第一題中的第三問(wèn)是難點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，易得，即，實(shí)際上就是已知，求的通項(xiàng)公式。第2題更是典型的已知（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式這兩題的

2、共同特點(diǎn)是：已知數(shù)列求的通項(xiàng)公式，即二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法。這是學(xué)生的一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)也是高考重點(diǎn)考查的知識(shí)，很多學(xué)生感到很繁瑣，無(wú)從下手。實(shí)質(zhì)，此類題型來(lái)源于我們的課本習(xí)題課本例題呈現(xiàn)：例13 已知數(shù)列，（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（人教版高中數(shù)學(xué)必修5第二章數(shù)列復(fù)習(xí)參考題B組第6題）解法1：（歸納猜想）由已知可得：猜想(用數(shù)學(xué)歸納法證明略)解法2：（構(gòu)造法）將變形，若即或者3,則是一個(gè)等比數(shù)列,公比為2-.時(shí)，是一個(gè)首項(xiàng)為7,公比為3的數(shù)列, 時(shí)，是一個(gè)首項(xiàng)為-13,公比為的等比數(shù)列 由兩式消去得：解法3：（待定系數(shù)轉(zhuǎn)化法），設(shè)，其中是待定的常數(shù)，則。得，比較系數(shù)顯然是方程的兩根，即方

3、程的兩根。，得： ，以下與解法2相同可得我們發(fā)現(xiàn)解法2與3本質(zhì)相同，都是構(gòu)造等比數(shù)列，再利用方程思想得到通項(xiàng)公式。這種解法可以推廣到一般：揭示結(jié)論：設(shè)數(shù)列,() ，求設(shè)：是待定系數(shù)，整理得：比較系數(shù)得：，所以是方程的兩根。I.當(dāng)時(shí)，設(shè)其實(shí)根為，從而有或得或。所以，數(shù)列分別是和的等比數(shù)列故得：當(dāng)時(shí)，由消去得令，則常數(shù)由確定當(dāng)=時(shí)，由得，兩邊同除得。數(shù)列是公差為首項(xiàng)為的等差數(shù)列。得：得令，得，常數(shù)由共同決定。所以，遇到此類題求通項(xiàng)公式只需考查方程遞推方程的特征方程，運(yùn)用特征根方程特點(diǎn)解題，是非常簡(jiǎn)單的。結(jié)論運(yùn)用對(duì)于文中所涉及的第一小題（2015廣東文19）的第三小問(wèn)我們便可以運(yùn)用此法解答.題目中已經(jīng)求出遞推方程，所以其特征方程為，解得方程只有兩個(gè)相等的實(shí)根即：，所以，可得： 第（2）小題的遞推公式（），其特征方程為.解得,.可設(shè).，可得：解得,代入可得由此可見(jiàn)遇到此類求通項(xiàng)公式的題,用特征根方程通過(guò)待定系數(shù)法解決此類問(wèn)題是很簡(jiǎn)單的.回頭梳理整個(gè)通項(xiàng)公式的探究過(guò)程,我最大的感觸是不要輕易放過(guò)教材中的任何一道題目.教材是專家經(jīng)驗(yàn)的積累、智慧的結(jié)晶，所以每道例題、習(xí)題都有其存在價(jià)