第一章計量經濟學的數理統(tǒng)計學基礎

1、計量經濟學的數理統(tǒng)計學基礎一、隨機變量的概率分布1隨機變量隨機變量是指取值具有隨機性的變量。隨機變量有兩種：離散隨機變量和連續(xù)隨機變量。2離散隨機變量的概率分布（1）概率函數通常用一個二維表格直觀描述離散隨機變量X的概率分布：XP其中，（2）分布函數累計分布概率：3連續(xù)隨機變量的概率分布（1）概率函數用概率密度函數描述，它滿足以下性質：；（2）分布函數累計分布函數 ；另有：二、隨機變量的數字特征（分布參數）1數學期望數學期望 記為或 對于離散變量，；對于連續(xù)變量，性質： 2方差方差 記為或 性質：；.3標準差（均方差）標準差 4矩矩 稱為變量X的階矩，時就是X的期望。5協(xié)方差協(xié)方差用于度量兩個

2、變量的線性相關程度，記為或； .意味著兩個變量同方向變動，稱之為正相關；稱之為負相關；稱之為不相關。相關系數 ；.如果獨立，那么，三、樣本統(tǒng)計量1總體和樣本所謂總體就是一個隨機變量X，X的分布函數通常記為，其中就是待估計的參數。在進行n次重復獨立實驗后，得到總體X的n個觀察值，而在實驗之前，實際上是相互獨立均與總體X同分布的n個隨機變量。稱為總體X的容量為n的簡單隨機樣本，簡稱樣本；稱為樣本的一個觀察值，簡稱樣本值。2常見的樣本統(tǒng)計量l 統(tǒng)計量的概念設是來自總體X的一個樣本，若隨機變量的函數中不含有任何未知參數，則稱為一個統(tǒng)計量。注意：統(tǒng)計量本身是一個隨機變量；其值可由樣本值計算出來。l 最常

3、見的統(tǒng)計量有：樣本均值 ；樣本方差；樣本標準差；樣本k階原點矩 ；樣本k階中心矩 。假設，是某個X和Y聯(lián)合分布的樣本，那么樣本協(xié)方差 樣本相關系數 四、抽樣分布1幾個常用分布l 正態(tài)分布定義：如果隨機變量X的密度函數為則稱X服從參數為、的正態(tài)分布，通常記為XN(m,s2)。令，那么服從標準正態(tài)分布N(0,1)，l 卡方分布假設n維向量XN(0,)，那么；l t-分布假設兩個獨立的隨機變量ZN(0,1)， Y ，那么 l F-分布假設和是兩個獨立的卡方分布，那么2樣本均值的分布總體X N(m,s2)樣本 N(m,s2)則： N(m,s2/n)3樣本方差的分布4樣本均方差的分布四、區(qū)間估計l 臨界

4、值的概念設的分布函數為，滿足，則稱為的臨界值。對稱分布的臨界值 非對稱分布的臨界值 l 區(qū)間估計對于參數，如果有兩個統(tǒng)計量,，滿足對給定的，有則稱區(qū)間，是的一個區(qū)間估計或置信區(qū)間，、分別稱作置信下限、置信上限，稱為置信水平。置信水平為1-，在實際上可以這樣理解:如取，就是說若對某一參數取100個容量為的樣本，用相同方法做100個置信區(qū)間。，=1,2,100,那么其中有95個區(qū)間包含了真參數因此,當實際上只做一次區(qū)間估計時，我們有理由認為它包含了真參數。這樣判斷當然也可能犯錯誤，但犯錯誤的概率只有5%。尋找置信區(qū)間的通常方法是從已知抽樣分布的統(tǒng)計量，如上文提到的U，X和T入手，由于分布和概率已知

5、，只要確定臨界值就可以了。單個正態(tài)總體參數的區(qū)間估計設為的樣本，對給定的置信水平，求 參數和方差的區(qū)間估計。情況1（已知）由于，所以容易找到臨界值，使得，那么的區(qū)間估計是：。情況 2（未知）情況 3（的區(qū)間估計）五、假設檢驗l 假設檢驗的基本思想在數理統(tǒng)計中，假設檢驗是這樣一個過程：對未知總體，先作出某種假設，然后利用樣本提供的信息，對這一假設的合理性進行檢驗，從而確定接受或拒絕這一假設。在進行假設檢驗時，有兩點值得注意： 反證法思想。“小概率事件”在一次實驗中不會發(fā)生。l 假設檢驗的步驟第一步，建立假設； 這里稱為原假設，稱為備擇假設。注意：在假設檢驗中，原假設與備選假設的地位是不對等的。一

6、般來說是較小的，因而檢驗推斷是“偏向”原假設，而“歧視”備選假設的。既然是受保護的，則對于的肯定相對來說是較缺乏說服力的，充其量不過是原假設與試驗結果沒有明顯矛盾；反之，對于的否定則是有力的，且越小，小概率事件越難于發(fā)生，一旦發(fā)生了，這種否定就越有力，也就越能說明問題。在應用中，如果要用假設檢驗說明某個結論成立，那么最好設為該結論不成立。第二步，構造統(tǒng)計量，求出統(tǒng)計量的樣本分布以及由樣本觀察值算出其具體值。統(tǒng)計量 在成立的條件下，對應的具體值記為。第三步，根據備擇假設構造出對不利的小概率事件在給定顯著性水平下，確定臨界值，構造出拒絕域。在一個問題中，通常指定一個正數（），認為概率不超過的事件是在一次試驗中幾乎不會發(fā)生的事件，稱為顯著性水平。=0.05，算出臨界值。，這里V是拒絕域，它是使得這一小概率事件發(fā)生的樣本空間的點的全體。第四步，得出結論方法1：根據計算出來的值，看樣本是否落在內，若落在內，則拒絕，否則,不能拒絕。如果，則稱能以的顯著性水平拒絕零假設；否則，不能拒