寧德師專期末試卷

1、寧德師專常微分方程期末考試卷(5)姓名_班級_座號_成績一、填空題：（每小題3分，53=15分） 1方程所有常數解是 2方程的基本解組是 3方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是 4函數組在區(qū)間I上線性無關的 條件是它們的朗斯基行列式在區(qū)間I上恒不等于零 5若是二階線性齊次微分方程的基本解組，則它們 （有或無）共同零點二、選擇題：（每小題3分，53=15分） 1. 設是方程的通解，則 （A）0 （B）1 （C） （D）-1 2方程過點共有（ ）個解 （A）無數 （B）一 （C）兩 （D）三 3階線性齊次微分方程基本解組中解的個數恰好是（ ）個 （A）+2 （B）-1 （C）+1 （D） 4一階

2、線性非齊次微分方程組的任兩個非零解之差（ ） （A）不是其對應齊次微分方程組的解 （B）是非齊次微分方程組的解 （C）是其對應齊次微分方程組的解 （D）是非齊次微分方程組的通解 5如果，都在平面上連續(xù)，而且有界，則方程 的任一解的存在區(qū)間（ ） （A）必為 （B）必為 （C）必為 （D）將因解而定三、計算題: 求下列方程的通解或通積分：（每小題8分，84=32分） 1. 2. 3. 4 四、設函數連續(xù)，而且滿足，求.（10分）五、求解下列微分方程組 滿足初始條件的解.（10分）六、證明題：（每小題9分，92=18分） 1、在方程中，已知，在上連續(xù)求證：該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切2

3、、 設和是方程的任意兩個解，求證它們的伏朗斯基行列式，其中為常數. 寧德師專數學系常微分方程期末考試卷(5)評分標準既參考答案一、填空題：（每小題3分，53=15分） 1 23，（或不含x 軸的上半平面） 4充分 5沒有 二、選擇題：（每小題3分，53=15分） 1、 B 2、 A 3、D 4、 C 5、 A三、求下列一階微分方程的通解：（每小題8分，84=32分） 1、解 將方程變?yōu)?.（4分） 從而得 （為任意的常數） （4分） 2、解 將方程變?yōu)?（2分） 積分因子為 （2分） 于是原方程化為 （2分） 故原方程的通解為 （2分）3、解 特征方程為，得 （3分） 由于不是特征根，因此設非

4、齊次方程的特解， 代入原方程得，所以特解為 （3分） 故原方程的通解為 （2分） 4、 解 方程改為 （2分） 于是有 （2分） 即 （2分） 故原方程的通解為 （2分） 四、 解 兩邊關于求一階導數，有 （2分）兩邊關于再求一階導數，得 （3分） 即 而且 而方程的解表示為 （3分） 由，可得 （2分）五、求解下列微分方程組 解 方程組的特征方程為 特征根為 ， （2分） 對應的特征向量應滿足 可解得 （2分）類似對應的特征向量分量為 （2分）所以，原方程組的的基解矩陣為 （2分） 方程滿足初始條件的解表示為 （2分）六、證明題：（每小題9分，92=18分）1、證明：由已知條件可知，該方程在整個平面滿足解的存在惟一性及解的延展定理條且任一解的存在區(qū)都是 （2分） 顯然，該方程有零解 （2分） 假設該方程的任一非零解在x軸上某點處與x軸相切， 即有= 0，那么由解的惟一性及該方程有零解 （2分） 可知，這與是非零解矛盾， 所以該方程的任一