廣義積分的收斂判別法-廣義積分收斂判別法

1、.第二節(jié)廣義積分的收斂判別法上一節(jié)我們討論了廣義積分的計算, 在實際應用中，我們將發(fā)現(xiàn)大量的積分是不能直接計算的，有的積分雖然可以直接計算，但因為過程太復雜，也不為計算工作者采用，對這類問題計算工作者常采用數(shù)值計算方法或Monte-Carlo方法求其近似值. 對廣義積分而言，求其近似值有一個先決條件 積分收斂，否則其結果毫無意義。 因此，判斷一個廣義積分收斂與發(fā)散是非常重要的定理9.1（Cauchy收斂原理）f(x)在a, + ）上的廣義積分收斂的充分必要條件是：, 存在A0, 使得b, A時，恒有證明：對使用柯西收斂原理立即得此結論同樣對瑕積分(為瑕點), 我們有定理9.2（瑕積分的Cauc

2、hy收斂原理）設函數(shù)f(x)在a,b)上有定義，在其任何閉子區(qū)間a, b上常義可積，則瑕積分收斂的充要條件是: , , 只要01,那么積分收斂，如f(x)，p1,則積分發(fā)散其極限形式為定理9.9 如 (, p1), 則積分收斂如, 而, 1, 則發(fā)散.例9.8 判斷下列廣義積分的收斂性。(1) (2) (m0, n0)解：（1）因為0由收斂推出收斂（2）因為 所以當nm1時，積分收斂. 當nm1時，積分發(fā)散對于瑕積分，使用作為比較標準，我們有下列柯西判別法定理9.10設x=a是f(x)在a,b上的唯一奇點，在其任意閉區(qū)間上可積,那么（1） 如0f(x) (c0), p0), p1, 則發(fā)散瑕積

3、分的Cauchy判斷法的極限形式為定理9.11 設如0k, p1, 則收斂如0k, p1, 那么發(fā)散例9.9 判別下列瑕積分的斂散性。(1) (k20)解：（1）1是被積函數(shù)的唯一瑕點因為 =由知瑕積分收斂（2）0與都是被積函數(shù)的瑕點先討論 由知: 當p1時, 瑕積分收斂; 當p1時,瑕積分發(fā)散再討論 因所以當 q1時, 瑕積分收斂，當q1時，瑕積分發(fā)散綜上所述，當p1且q1時, 瑕積分收斂; 其他情況發(fā)散例9.10 求證: 若瑕積分收斂，且當時函數(shù)f(x)單調趨向于+，則x f(x)=0.證明：不妨設, f(x)0, 且f(x)在(0, 1)上單調減少。已知收斂，由柯西收斂準則，有, (1)

4、, 有從而0或00), 當時收斂當時發(fā)散.證明:=所以當31時，即時，瑕積分收斂當31，即時，瑕積分發(fā)散前面討論的是非負函數(shù)的反常積分的收斂性，為了能對一般函數(shù)的反常積分的斂散性進行討論，我們先給出下面的重要結果定理9.12（積分第二中值定理）設g(x)在a,b上可積，f(x)在a,b上單調，則存在a,b使=為了證明定理9.12，我們先討論下列特殊情況引理9.1設f(x)在a, b上單調下降并且非負，函數(shù)g(x)在a,b上可積，則存在ca,b，使 =f(a)證明：作輔助函數(shù)= f(a) 對a,b的任一分法P: a=x0x1x2A0時, 有 g(x)|于是，對有 +=由Cauchy收斂原理知收斂

5、例9.12 討論廣義積分的斂散性，解：令f(x)=, g(x)=cosx則當x時，f(x)單調下降且趨于零，F(xiàn)(A)= =在a,上有界由Dirichlet判別法知收斂，另一方面因發(fā)散，收斂從而非負函數(shù)的廣義積分發(fā)散由比較判別法知發(fā)散，所以條件收斂例9.13 討論廣義積分的斂散性解：由上一題知，廣義積分收斂, 而arctanx在a, +上單調有界，所以由Abel判別法知收斂。另一方面, 當時, 有前面已證發(fā)散由比較判別法知發(fā)散, 所以條件收斂.對瑕積分也有下列形式的Abel判別法和Dirichlet判別法定理9.14若下列兩個條件之一滿足，則收斂：（b為唯一瑕點）（1）（Abel判別法）收斂,

6、g(x)在a,上單調有界(2) (Dirichlet判別法) =在a, 上有界, g(x) 在(上單調, 且.證明: (1) 只須用第二中值定理估計 讀者可以仿照定理11.2.8(1) 的作法完成(1)的證明.(2) 讀者可以仿照定理11.2.8(2) 的作法完成(2)的證明.例9.14 討論積分 (0p2) 的斂散性解: 對于0p1 , 因為 由收斂知 絕對收斂斂對于0p2, 因為函數(shù)f(x) =, 當時單調趨于0, 而函數(shù) g(x)= 滿足所以積分收斂.但在這種情況下, 是發(fā)散的, 事實上由因發(fā)散, 收斂, 知 發(fā)散從而當0p2時, 積分條件收斂. 最后我們討論p=2的情形, 因為 當時,

7、 上式無極限, 所以積分發(fā)散.值得注意的是, 兩種廣義積分之間存在著密切的聯(lián)系, 設中x=a為f(x)的瑕點, 作變換y=, 則有 = 而后者是無限區(qū)間上的廣義積分. 習題 9.21、 論下列積分的斂散性（包括絕對收斂， 條件收斂， 發(fā)散）(1)；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) ；(11) ；(12) 2證明：若瑕積分收斂， 且當時， 函數(shù)f(x)單調趨于+， 則x f(x)=03. 若函數(shù)f(x)在有連續(xù)導數(shù)f /(x)， 且無窮積分與都收斂， 則 f(x)=04. 設f(x)在上可導，且單調減少， f(x)=0, 求證: 收斂 收斂5. 證明：若函數(shù)f(x)在上一致連續(xù)， 且無窮積分收斂， 則 f(x)