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1、中國大學(xué)生第一門戶 一大戶 高等數(shù)學(xué)公式導(dǎo)數(shù)公式：基本積分表：三角函數(shù)的有理式積分：一些初等函數(shù)： 兩個重要極限： 和差化積公式： 積化和差公式： 倍角公式：半角公式：正弦定理： 余弦定理： 反三角函數(shù)性質(zhì)：高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz）公式：中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：曲率：定積分的近似計算：定積分應(yīng)用相關(guān)公式：空間解析幾何和向量代數(shù)：多元函數(shù)微分法及應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用：方向?qū)?shù)與梯度：多元函數(shù)的極值及其求法：重積分及其應(yīng)用：柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：曲線積分：曲面積分：高斯公式：斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關(guān)系：常數(shù)項級數(shù)：級數(shù)審斂法：絕對收斂與條件收斂：

2、冪級數(shù)：函數(shù)展開成冪級數(shù)：一些函數(shù)展開成冪級數(shù)：歐拉公式：三角級數(shù)：傅立葉級數(shù)：周期為的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)：微分方程的相關(guān)概念：一階線性微分方程：全微分方程：二階微分方程：二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*)式的通解兩個不相等實根兩個相等實根一對共軛復(fù)根二階常系數(shù)非齊次線性微分方程概率公式整理1隨機(jī)事件及其概率吸收律： 反演律： 2概率的定義及其計算若 對任意兩個事件A, B, 有 加法公式：對任意兩個事件A, B, 有 3條件概率 乘法公式全概率公式 Bayes公式 4隨機(jī)變量及其分布分布函數(shù)計算5離散型隨機(jī)變量(1) 0 1 分布(2) 二項分布 若P ( A ) = p * Po

3、ssion定理有 (3) Poisson 分布 6連續(xù)型隨機(jī)變量(1) 均勻分布 (2) 指數(shù)分布 (3) 正態(tài)分布 N (m , s 2 )* N (0,1) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布7.多維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量( X ,Y )的分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)8. 連續(xù)型二維隨機(jī)變量(1)區(qū)域G 上的均勻分布，U ( G )(2) 二維正態(tài)分布9. 二維隨機(jī)變量的 條件分布 10. 隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望X 的 k 階原點矩X 的 k 階絕對原點矩X 的 k 階中心矩X 的 方差X ,Y 的 k + l 階混合原點矩X ,Y 的 k + l 階混合中心矩X ,Y 的

4、 二階混合原點矩X ,Y 的二階混合中心矩 X ,Y 的協(xié)方差X ,Y 的相關(guān)系數(shù)X 的方差D (X ) = E (X - E(X)2) 協(xié)方差 相關(guān)系數(shù)線性代數(shù)部分 梳理：條理化，給出一個系統(tǒng)的，有內(nèi)在有機(jī)結(jié)構(gòu)的理論體系。 溝通：突出各部分內(nèi)容間的聯(lián)系。 充實提高：圍繞考試要求，介紹一些一般教材上沒有的結(jié)果，教給大家常見問題的實用而簡捷的方法。 大家要有這樣的思想準(zhǔn)備：發(fā)現(xiàn)我的講解在體系上和你以前學(xué)習(xí)的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你對它們了解了，掌握了，會提高你的解題能力的?；具\算 或。 。 轉(zhuǎn)置值不變逆值變 ，3階矩陣 有關(guān)乘法的基本運算 線性性質(zhì) ， 結(jié)合律 不一定

5、成立！，與數(shù)的乘法的不同之處 不一定成立！無交換律 因式分解障礙是交換性 一個矩陣的每個多項式可以因式分解，例如 無消去律（矩陣和矩陣相乘） 當(dāng)時或 由和由時（無左消去律）特別的 設(shè)可逆，則有消去律。 左消去律：。 右消去律：。 如果列滿秩，則有左消去律，即 可逆矩陣的性質(zhì) i）當(dāng)可逆時， 也可逆，且。 也可逆，且。 數(shù)，也可逆，。ii），是兩個階可逆矩陣也可逆，且。 推論：設(shè)，是兩個階矩陣，則 命題：初等矩陣都可逆，且 命題：準(zhǔn)對角矩陣可逆每個都可逆，記伴隨矩陣的基本性質(zhì)： 當(dāng)可逆時， 得， （求逆矩陣的伴隨矩陣法） 且得： 伴隨矩陣的其他性質(zhì) , , ， 。 時， 關(guān)于矩陣右上肩記號：，*

6、 i) 任何兩個的次序可交換， 如， 等 ii) ， 但不一定成立！線性表示 有解 有解 有解，即可用A的列向量組表示 ， 則。 ，則存在矩陣，使得 線性表示關(guān)系有傳遞性 當(dāng)， 則。 等價關(guān)系：如果與互相可表示 記作。線性相關(guān) ，單個向量， 相關(guān) ，相關(guān)對應(yīng)分量成比例 相關(guān) 向量個數(shù)=維數(shù)，則線性相（無）關(guān) ，有非零解 如果，則一定相關(guān) 的方程個數(shù)未知數(shù)個數(shù) 如果無關(guān)，則它的每一個部分組都無關(guān) 如果無關(guān)，而相關(guān)，則 證明：設(shè)不全為0，使得 則其中，否則不全為0，與條件無關(guān)矛盾。于是。 當(dāng)時，表示方式唯一無關(guān) （表示方式不唯一相關(guān)） 若，并且，則一定線性相關(guān)。 證明：記，則存在矩陣，使得 。 有

7、個方程，個未知數(shù)，有非零解，。 則，即也是的非零解，從而線性相關(guān)。各性質(zhì)的逆否形式 如果無關(guān)，則。 如果有相關(guān)的部分組，則它自己一定也相關(guān)。 如果無關(guān)，而，則無關(guān)。 如果，無關(guān)，則。 推論：若兩個無關(guān)向量組與等價，則。極大無關(guān)組一個線性無關(guān)部分組，若等于秩，就一定是極大無關(guān)組 無關(guān) 另一種說法： 取的一個極大無關(guān)組 也是的極大無關(guān)組相關(guān)。 證明：相關(guān)。 可用唯一表示 矩陣的秩的簡單性質(zhì) 行滿秩： 列滿秩： 階矩陣滿秩： 滿秩的行（列）向量組線性無關(guān) 可逆 只有零解，唯一解。矩陣在運算中秩的變化初等變換保持矩陣的秩 時， 可逆時， 弱化條件：如果列滿秩，則 證：下面證與同解。 是的解 是的解可逆

8、時， 若，則（的列數(shù)，的行數(shù)） 列滿秩時 行滿秩時解的性質(zhì) 1的解的性質(zhì)。 如果是一組解，則它們的任意線性組合一定也是解。 2 如果是的一組解，則 也是的解 是的解 特別的： 當(dāng)是的兩個解時，是的解 如果是的解，則維向量也是的解是的解。解的情況判別 方程：，即 有解 無解 唯一解 無窮多解 方程個數(shù)： 當(dāng)時，有解 當(dāng)時，不會是唯一解 對于齊次線性方程組， 只有零解（即列滿秩） （有非零解）特征值特征向量 是的特征值是的特征多項式的根。 兩種特殊情形： （1）是上（下）三角矩陣，對角矩陣時，特征值即對角線上的元素。 （2）時：的特征值為特征值的性質(zhì) 命題：階矩陣的特征值的重數(shù) 命題：設(shè)的特征值為

9、，則 命題：設(shè)是的特征向量，特征值為，即，則 對于的每個多項式， 當(dāng)可逆時， 命題：設(shè)的特征值為，則 的特征值為 可逆時，的特征值為 的特征值為 的特征值也是特征值的應(yīng)用 求行列式 判別可逆性 是的特征值不可逆 可逆不是的特征值。 當(dāng)時，如果，則可逆 若是的特征值，則是的特征值。 不是的特征值可逆。n階矩陣的相似關(guān)系 當(dāng)時，而時，。 相似關(guān)系有i）對稱性： ，則 ii）有傳遞性：，則 ，則 命題 當(dāng)時，和有許多相同的性質(zhì) ，的特征多項式相同，從而特征值完全一致。 與的特征向量的關(guān)系：是的屬于的特征向量是的屬于的特征向量。 正定二次型與正定矩陣性質(zhì)與判別可逆線性變換替換保持正定性變?yōu)?，則它們同時

10、正定或同時不正定 ，則，同時正定，同時不正定。 例如。如果正定，則對每個 （可逆，?。?我們給出關(guān)于正定的以下性質(zhì) 正定 存在實可逆矩陣，。 的正慣性指數(shù)。 的特征值全大于。 的每個順序主子式全大于。 判斷正定的三種方法： 順序主子式法。 特征值法。 定義法?；靖拍?對稱矩陣。 反對稱矩陣。簡單階梯形矩陣：臺角位置的元素都為1 ，臺角正上方的元素都為0。 如果是一個階矩陣，是階梯形矩陣是上三角矩陣，反之不一定 矩陣消元法：（解的情況） 寫出增廣矩陣，用初等行變換化為階梯形矩陣。 用判別解的情況。 i）如果最下面的非零行為，則無解，否則有解。 ii）如果有解，記是的非零行數(shù)，則 時唯一解。 時

11、無窮多解。 iii）唯一解求解的方法（初等變換法） 去掉的零行，得，它是矩陣，是階梯形矩陣，從而是上三角矩陣。 則都不為。 就是解。一個階行列式的值： 是項的代數(shù)和 每一項是個元素的乘積，它們共有項 其中是的一個全排列。 前面乘的應(yīng)為 的逆序數(shù) 代數(shù)余子式 為的余子式。 定理：一個行列式的值等于它的某一行（列），各元素與各自代數(shù)余子式乘積之和。 一行（列）的元素乘上另一行（列）的相應(yīng)元素代數(shù)余子式之和為。 范德蒙行列式 個 乘法相關(guān) 的位元素是的第行和的第列對應(yīng)元素乘積之和。 乘積矩陣的列向量與行向量 （1）設(shè)矩陣，維列向量，則 矩陣乘法應(yīng)用于方程組 方程組的矩陣形式 ， 方程組的向量形式 （

12、2）設(shè)， 的第個列向量是的列向量組的線性組合，組合系數(shù)是的第個列向量的各分量。 的第個行向量是的行向量組的線性組合，組合系數(shù)是的第個行向量的各分量。 矩陣分解 當(dāng)矩陣的每個列向量都是的列向量的線性組合時，可把分解為與一個矩陣的乘積特別的在有關(guān)對角矩陣的乘法中的若干問題 對角矩陣從右側(cè)乘一矩陣，即用對角線上的元素依次乘的各列向量 對角矩陣從左側(cè)乘一矩陣，即用對角線上的元素依次乘的各行向量 于是， ， 兩個對角矩陣相乘只須把對角線上對應(yīng)元素相乘 對角矩陣的次方冪只須把每個對角線上元素作次方冪 對一個階矩陣，規(guī)定為的對角線上元素之和稱為的跡數(shù)。 于是 其他形式方陣的高次冪也有規(guī)律 例如： 初等矩陣及

13、其在乘法中的作用 （1）：交換的第兩行或交換的第兩列 （2）：用數(shù)乘的第行或第列 （3）：把的第行的倍加到第行上，或把的第列的倍加到第列上。 初等矩陣從左（右）側(cè)乘一個矩陣等同于對作一次相當(dāng)?shù)某醯刃校校┳儞Q 乘法的分塊法則 一般法則：在計算兩個矩陣和的乘積時，可以先把和用縱橫線分割成若干小矩陣來進(jìn)行，要求的縱向分割與的橫向分割一致。 兩種常用的情況 （1）都分成4塊 ， 其中的列數(shù)和的行數(shù)相等，的列數(shù)和的行數(shù)相關(guān)。 （2）準(zhǔn)對角矩陣 矩陣方程與可逆矩陣 兩類基本的矩陣方程 （都需求是方陣，且） （I）的解法： （II）的解法，先化為。 。 通過逆求解：， 可逆矩陣及其逆矩陣 定義：設(shè)是階矩陣

14、，如果存在階矩陣，使得，且，則稱是可逆矩陣，稱是的逆矩陣，證作。 定理：階矩陣可逆 求的方程（初等變換法） 伴隨矩陣 線性表示 可以用線性表示，即可以表示為的線性組合，也就是存在使得 記號： 線性相關(guān)性 線性相關(guān)：存在向量可用其它向量線性表示。 線性無關(guān)：每個向量都不能用其它向量線性表示 定義：如果存在不全為的，使得則稱線性相關(guān)，否則稱線性無關(guān)。 即：線性相（無）關(guān)有（無）非零解 有（無）非零解 極大無關(guān)組和秩定義：的一個部分組稱為它的一個極大無關(guān)組，如果滿足： i）線性無關(guān)。 ii）再擴(kuò)大就相關(guān)。 定義：規(guī)定的秩。如果每個元素都是零向量，則規(guī)定其秩為。 有相同線性關(guān)系的向量組 定義：兩個向量

15、若有相同個數(shù)的向量：，并且向量方程 與同解，則稱它們有相同的線性關(guān)系。 對應(yīng)的部分組有一致的相關(guān)性。 的對應(yīng)部分組， 若相關(guān)，有不全為的使得 ， 即是的解， 從而也是的解，則有 ， 也相關(guān)。 極大無關(guān)組相對應(yīng)，從而秩相等。 有一致的內(nèi)在線表示關(guān)系。 設(shè)：，則 即 ， 即 。 與有相同的線性關(guān)系即與同解。 反之，當(dāng)與同解時，和的列向量組有相同的線性關(guān)系。 矩陣的秩 定理：矩陣的行向量組的秩=列向量組的秩 規(guī)定行（列）向量組的秩。 的計算：用初等變換化為階梯形矩陣，則的非零行數(shù)即。 命題：的非零子式階數(shù)的最大值。 方程組的表達(dá)形式 1 2 是解 3 有解基礎(chǔ)解系和通解 1有非零解時的基礎(chǔ)解系 是的

16、基礎(chǔ)解系的條件： 每個都是的解 線性無關(guān) 的每個解 / 通解 如果是的一個基礎(chǔ)解系，則的通解為 ，任意 如果是的一個解，是的基礎(chǔ)解系，則的通解為 ，任意特征向量與特征值 定義：如果，并且與線性相關(guān)，則稱是的一個特征向量。此時，有數(shù)，使得，稱為的特征值。 設(shè)是數(shù)量矩陣，則對每個維列向量，于是，任何非零列向量都是的特征向量，特征值都是。 特征值有限特征向量無窮多 若， 每個特征向量有唯一特征值，而有許多特征向量有相同的特征值。 計算時先求特征值，后求特征向量。特征向量與特征值計算 是的非零解 命題：是的特征值 是屬于的特征向量是的非零解 稱多項式為的特征多項式。 是的特征值是的特征多項式的根。 的

17、重數(shù)：作為的根的重數(shù)。 階矩陣的特征值有個：，可能其中有的不是實數(shù)，有的是多重的。 計算步驟： 求出特征多項式。 求的根，得特征值。 對每個特征值，求的非零解，得屬于的特征向量。n階矩陣的相似關(guān)系 設(shè)，是兩個階矩陣。如果存在階可逆矩陣，使得，則稱與相似，記作。n階矩陣的對角化 基本定理 可對角化有個線性無關(guān)的特征向量。 設(shè)可逆矩陣，則 ， 判別法則 可對角化對于的每個特征值，的重數(shù)。 計算：對每個特征值，求出的一個基礎(chǔ)解系，把它們合在一起，得到個線性無關(guān)的特征向量，。令，則 ，其中為的特征值。 二次型（實二次型）二次型及其矩陣 一個元二次型的一般形式為 只有平方項的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)二次型。 形如

18、：的元二次型稱為規(guī)范二次型。 對每個階實矩陣，記，則是一個二次型。 稱的秩為這個二次型的秩。 標(biāo)準(zhǔn)二次型的矩陣是對角矩陣。 規(guī)范二次型的矩陣是規(guī)范對角矩陣。可逆線性變量替換 設(shè)有一個元二次型，引進(jìn)新的一組變量，并把用它們表示。 （并要求矩陣是可逆矩陣） 代入，得到的一個二次型這樣的操作稱為對作了一次可逆線性變量替換。 設(shè)，則上面的變換式可寫成 則 于是的矩陣為 實對稱矩陣的合同 兩個階實對稱矩陣和，如果存在階實可逆矩陣，值得。稱與合同，記作。 命題：二次型可用可逆線性變換替換化為 二次型的標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化 1每個二次型都可以用可逆線性變量替換化為標(biāo)準(zhǔn)二次型和規(guī)范二次型。 也就是每個實對稱矩陣都會

19、同于對角矩陣和規(guī)范對角矩陣。 設(shè)是一個實對稱矩陣，則存在正交矩陣，使得是對角矩陣。 ， 2標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化的方法 正交變換法 配方法 3慣性定理與慣性指數(shù) 定理：一個二次型用可逆線性變換替換化出的標(biāo)準(zhǔn)形的各個平方項的系數(shù)中，大于0的個數(shù)和小于0的個數(shù)是由原二次型所決定的，分別稱為原二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)。 一個二次型化出的規(guī)范二次型在形式上是唯一的，也即相應(yīng)的規(guī)范對角矩陣是唯一的。 用矩陣的語言來說：一個實對稱矩陣合同于唯一規(guī)范對角矩陣。 定理：二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)在可逆線性變量替換下不變；兩個二次型可互相轉(zhuǎn)化的充要條件是它們的正、負(fù)慣性指數(shù)相等。 實對稱矩陣的正（負(fù)）慣性指數(shù)就等于正（負(fù)）特

20、征值的個數(shù)。正定二次型與正定矩陣 定義：一個二次型稱為正定二次型，如果當(dāng)不全為0時，。 例如，標(biāo)準(zhǔn)二次型正定， （必要性“”，取，此時同樣可證每個） 實對稱矩陣正定即二次型正定，也就是：當(dāng)時，。 例如實對角矩陣正定， 定義：設(shè)是一個階矩陣，記是的西北角的階小方陣，稱為的第個順序主子式（或階順序主子式）。 附錄一 內(nèi)積，正交矩陣，實對稱矩陣的對角化 一向量的內(nèi)積 1定義 兩個維實向量的內(nèi)積是一個數(shù)，記作，規(guī)定為它們對應(yīng)分量乘積之和。 設(shè)，則 2性質(zhì) 對稱性： 雙線性性質(zhì)： 正交性：，且 3長度與正交 向量的長度 單位向量：長度為的向量 ， 若，則是單位向量，稱為的單位化。 兩個向量如果內(nèi)積為0：

21、，稱它們是正交的。 如果維向量組兩兩正交，并且每個都是單位向量，則稱為單位正交向量組。 例1如果向量組兩兩正交，并且每個向量都不為零向量，則它們線性無關(guān)。 證：記，則 則即。 例2若是一個實的矩陣，則。 二正交矩陣 一個實階矩陣如果滿足，就稱為正交矩陣。 定理 是正交矩陣的行向量組是單位正交向量組。 的列向量組是單位正交向量組。 例3正交矩陣保持內(nèi)積，即 證： 例4（04）是3階正交矩陣，并且，求的解。 三施密特正交化方法 這是把一個線性無關(guān)的向量組改造為與之等價的單位正交向量組的方法。 設(shè)線性無關(guān) 正交化：令 （設(shè)， 當(dāng)時，正交。） 單位化：令， 則是與等價的單位正交向量組。 四實對稱矩陣的

22、對角化 設(shè)是一個實的對稱矩陣，則 的每個特征值都是實數(shù)。 對每個特征值，重數(shù)。即可以對角化。 屬于不同特征值的特征向量互相正交。 于是：存在正交矩陣，使得是對角矩陣。 對每個特征值，找的一個單位正交基礎(chǔ)的解，合在一起構(gòu)造正交矩陣。 設(shè)是階的有個特征值（二重），（三重），（一重） 找的個單位正交特征向量。 找的個單位正交特征向量。 找的一個單位特征向量。 例5（04）是階實對稱矩陣，是它的一個二重特征值， ，和都是屬于的特征向量。 （1）求的另一個特征值。 （2）求。 解：（1）另一個特征值為。 （2）設(shè)是屬于的特征向量，則 此方程組，基礎(chǔ)解系包含一個解，任何兩個解都相關(guān)。 于是，每個非零解都是屬于的特征向量。 是一個解。 附錄二 向量空間 1維向量空間及其子空間 記為由全部維實向量構(gòu)成的集合，這是一個規(guī)定了加法和數(shù)乘這兩種線性運算的集合，我們把它稱為維向量空間。 設(shè)是的一個子集，如果它滿足 （1）當(dāng)都屬于時，也屬于。 （2）對的每個元素和任何實數(shù)，也在中。 則稱為的一個子空間。 例如元齊次方程組的全部