2008年復(fù)變函數(shù)與積分變換試題(A卷)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1、20082009學(xué)年第一學(xué)期復(fù)變函數(shù)與積分變換課程考試試卷(A卷)解答解答內(nèi)容不得超過裝訂線院(系)_1_專業(yè)班級(jí)_學(xué)號(hào)_姓名_考試日期: 2008年11月24日 考試時(shí)間: 晚上7:009:30題號(hào)一二三四五六七八總分得分得 分評(píng)卷人一、填空題 (每空2分，共20分)點(diǎn)1復(fù)數(shù)的主輻角為 2函數(shù)在何處可導(dǎo)？ ，處處不解析何處解析？ 3的值為 否是4級(jí)數(shù)是否收斂？ ；是否絕對(duì)收斂？ 5函數(shù)在點(diǎn)展開成泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)的收斂半徑1為 下半平面6區(qū)域在映射下的像為 7映射在處的旋轉(zhuǎn)角為 8函數(shù)的Fourier變換為 得 分評(píng)卷人二、計(jì)算題 (每題5分，共20分)1解：令 ， 則 ，原式， (3

2、分) (5分)2解：為的本性奇點(diǎn)，將在的鄰域內(nèi)展開得， (3分)原式 (5分)3解：令 ，則 ，原式， (2分)函數(shù)在只有一個(gè)一階極點(diǎn)， (3分)原式 (5分)解答內(nèi)容不得超過裝訂線4解：令 ，則在上半平面只有一個(gè)一階極點(diǎn)， (3分)原式 (5分)得 分評(píng)卷人三、(14分)已知，求常數(shù)a以及二元函數(shù)，使得為解析函數(shù)且滿足條件解：(1) ，由可得 ， (3分)即(2) 由 ， (7分)由 ， ， (11分)，(3) 由 得 ， (13分)即 (14分)得 分評(píng)卷人四、(14分)將函數(shù)分別在點(diǎn)和點(diǎn)展開為洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)解：(1) 在點(diǎn)展開 當(dāng)時(shí)，； (3分) 當(dāng)時(shí)， (6分)(2) 在點(diǎn)

3、展開， 當(dāng)時(shí)，； (10分) 當(dāng)時(shí)， (14分)得 分評(píng)卷人解答內(nèi)容不得超過裝訂線五、(6分)求區(qū)域在映射下的像(w)1解：令 ，則，(z1)(z) (3分) (6分) 即像區(qū)域?yàn)閱挝粓A的外部(如圖)。注：本題也可由，三步完成。得 分評(píng)卷人六、(10分)求把區(qū)域映射到上半平面的共形映射(z1)(z)解： (3分)(w)(z2) (7分) (9分)或(10分)得 分評(píng)卷人七、(10分)利用Laplace變換求解微分方程：，解：(1) 令 ，對(duì)方程的兩邊作Laplace變換得：， (3分)， (5分)(2) ， (8分) (10分)得 分評(píng)卷人八、( 6 分) 已知冪級(jí)數(shù)的系數(shù)滿足：，該級(jí)數(shù)在內(nèi)收斂到函數(shù)，證明： ，證明：(1) 由題意可知，在上解析，