知識點一(極限與連續(xù))[學(xué)習(xí)分享]

1、求極限的常用方法 利用極限的定義數(shù)列極限的定義：；函數(shù)極限的定義（ ）：.類似可定義其它形式下的函數(shù)極限. 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則熟悉數(shù)列極限和函數(shù)極限的單調(diào)有界準(zhǔn)則.利用夾逼準(zhǔn)則可以證明下面的極限.這一結(jié)論可以推廣為：和 利用兩個重要極限 ，或=. 、由重要極限及變量替換可以求下列極限： 其中，極限過程 改為其它情形也有類似的結(jié)論.、 設(shè)，則利用重要極限有：其中. 利用無窮小的性質(zhì)和等價無窮小替換求極限 、無窮小量乘以有界函數(shù)仍是無窮小量； 、熟悉常見的無窮小量：當(dāng)時,有； ；，等等. 、求極限過程中，可以把積和商中的無窮小量用與之等價的無窮小量替換，加與減不能替換.、無窮小量與無窮大量

2、之間的關(guān)系：如果為無窮大,則為無窮小;反之，如果為無窮小,且,則為無窮大. 利用極限與左右極限的關(guān)系存在的充要條件是. 利用極限的和、差、積、商運算法則應(yīng)當(dāng)注意的是：參與運算的每個函數(shù)的極限都要存在，而且函數(shù)的個數(shù)只能是有限個，在作商的運算時，還要求分母的極限不為零.利用Stolz定理：設(shè)數(shù)列單調(diào)增加且，若或存在，則有，由此可以證明下面的平均值定理 利用函數(shù)的連續(xù)性函數(shù) 在 處連續(xù)，則 利用導(dǎo)數(shù)的定義 利用定積分的定義求和式的極限 利用洛必達法則求未定式的極限或利用帶有佩亞諾（ ）型余項的泰勒公式求極限（3）無窮大量與無窮小量 無窮大量是絕對值無限增大的一類變量，它不是什么絕對值很大的固定數(shù)；

3、無窮小量以零為極限的一類變量，它也不是什么絕對值很小的固定數(shù). 無窮大的倒數(shù)是無窮小量；無窮小的倒數(shù)是無窮大. 無窮小是以零為極限的變量，因此，和、差、乘積的極限運算法則自然也適用于無窮小，但商的極限運算法則不適用于無窮小，因為這時分母的極限為零，另外，無窮小與有界函數(shù)的乘積仍是無窮小. 兩個無窮小之商的極限，一般說來隨著無窮小的不同而不同，從而產(chǎn)生了兩個無窮小之間的“高階”、“同階”、“等價”等概念，它們反映了兩個無窮小趨于零的快慢程度. 如果以A為極限，則是無窮??；反之亦然.3、 連續(xù)函數(shù)(1）函數(shù)在處連續(xù)定義的三種不同表達形式是，使當(dāng)時，.這最后一種表達形式與的表達形式十分相似，差異在于

4、極限定義中的不等式；這里變成了變成了.因為在探討連續(xù)性時，必須要求在處有定義，且極限值A(chǔ)必須為.(2）連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商在它們共同有定義的區(qū)間仍為連續(xù)函數(shù).(3）連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù).(4）單調(diào)連續(xù)函數(shù)有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù).(5）一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù).(6）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有下列重要性質(zhì)：必在上有界且取得最大值與最小值（有界、最大、最小值定理）必在上取得介于與之間的任何值（介值定理）；必在上取得最大值與最小值之間的任何值；如果，則在開區(qū)間內(nèi)至少有一點使得.、兩個性質(zhì)是介值定理的推論.（7）間斷點的分類可去間斷點第一類間斷點存在跳躍間斷點間斷點無窮間斷點(左右極限至少

5、一個為)第二類間斷點(非第一類間斷點)振蕩間斷點(極限振蕩不存在)典型例題：例 1 求極限. 解 把換成, 可得又因為,所以.因此.例2. 證明：數(shù)列收斂，并求其極限。證明：設(shè)該數(shù)列通項為，則，令，則f(2)=2，由拉格朗日中值定理得：存在介于x，2之間，使得，由題意得，即，則由且，由夾逼定理得即，同理可得，練習(xí)：1、 利用極限四則運算法則1 2 討論它的連續(xù)性 不連續(xù)2、 利用兩個重要極限求極限1、 12、當(dāng)常數(shù) ， 3、 3、利用洛必達法則求未定式極限1、 2、 3、 4、 4、利用等價無窮小1、 12、 45、利用左右極限的關(guān)系求極限1、 2、（00數(shù)一5） 13、 6、利用函數(shù)的極限求

6、極限1、 02、 07、利用夾逼法則求極限1、 求極限 12、設(shè) 求和 答案： 3、 其中 在 上連續(xù) 08、利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限1、，求 2、在處可導(dǎo)，求 3、 9、利用定積分求和式的極限1、 2、 3、 10、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限1、 求極限 11、利用泰勒公式求極限1、 2、 練習(xí)提高：1、（08數(shù)學(xué)一 9） （提示：用等價無窮小代換或洛必達法則 ） ；2、(06數(shù)一) （提示：用等價無窮小代換） 23、（06數(shù)一數(shù)二 12）數(shù)列滿足，（1）證明極限存在，并求之；（2）求 （提示：1、利用單調(diào)有界公理，2、利用重要極限）1、0，2、4、（03數(shù)一4） （提示：先寫成指數(shù)形式） 5、（0

7、0數(shù)一12） （提示：討論左右極限） 16、（07數(shù)三 4） 07、（06數(shù)三4） 18、（05數(shù)三12） （提示：用洛必達法則） 9、（05數(shù)三4），則a= b= 10、（04數(shù)三9） 11、設(shè)，證明數(shù)列的極限存在，并求極限。 （提示：用單調(diào)有界公理， ）12、求極限，求極限，并指出其間斷點的類型。 （ ，可去間斷點，為第二間斷點）13、 114、 15（08數(shù)三4）設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，則 . 116、（08數(shù)三10）求極限.解： 17、（05數(shù)三4）極限= 218、(05數(shù)三9) 求 題型一 無窮小及其階1、（09數(shù)1，2，3）（1）當(dāng)時，與等價無窮小， （A）（B）（C）（D） （A ）2、

8、當(dāng)時，函數(shù)與比較是 （ ）的無窮?。ˋ）等價 （B）同階非等價 （C）高階（D）低階 （B）3、設(shè)為任意正數(shù)，當(dāng)時，將按從低階到高階的順序排列。 答案：4、當(dāng)時，與是等價無窮小，則_ 5、（07數(shù)一4）當(dāng)時，與等價的無窮小量是 應(yīng)選(B).(A) . (B) . (C) . (D) . 【 】6、（04數(shù)一4）把時的無窮小量， 使排在后面的是前一個的高階無窮小，則正確的排列次序是(A) . (B) . (C) . (D) . B 題型三 討論函數(shù)的連續(xù)性與間斷點的類型1、 求函數(shù) 在內(nèi)的間斷點，并判斷類型2、2、 （09數(shù)二，數(shù)三）函數(shù)的可去間斷的個數(shù)，則 （ ）（A）1（B）2（C）3（D）無窮多個 【答案】（C3、， 討論的連續(xù)性并指出間斷點的類型 答案： 是第一間斷點4、（08數(shù)三4） 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則是的（A）跳躍間斷點 （B）可去間斷點（C）