D1_1映射與函數(shù)

1、高等數(shù)學,數(shù)學是科學的大門和鑰匙,培根,Advanced Mathematics,理學院：鄒輝 ,1-1,引 言,一、什么是高等數(shù)學 ,初等數(shù)學,研究對象為常量,以靜止觀點研究問題,高等數(shù)學,研究對象為變量,運動和辯證法進入了數(shù)學,笛卡兒 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1. 分析基礎(chǔ): 函數(shù) , 極限, 連續(xù),2. 微積分學: 一元微積分,上冊,下冊,3. 向量代數(shù)與空間解析幾何,4. 無窮級數(shù),5. 常微分方程,主要內(nèi)容,多元微積分,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、如何學習高等數(shù)學 ,1. 認識高等數(shù)學的重要性, 培養(yǎng)濃厚的學習興趣,2. 學數(shù)學最好的方式是做數(shù)學,聰明在于學習 ,

2、天才在于積累,學而優(yōu)則用 , 學而優(yōu)則創(chuàng),由薄到厚 , 由厚到薄,馬克思,恩格斯,要辨證而又唯物地了解自然 , 就必須熟悉數(shù)學,一門科學, 只有當它成功地運用數(shù)學時, 才能達到真正完善的地步,第一節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,華羅庚,給出了幾何問題的統(tǒng)一,笛卡兒 (15961650,法國哲學家, 數(shù)學家, 物理學家,他,是解析幾何奠基人之一,1637年他發(fā),表的幾何學論文分析了幾何學與,代數(shù)學的優(yōu)缺點,進而提出了 “ 另外,一種包含這兩門科學的優(yōu)點而避免其缺點的方法,從而提出了解析幾何學的主要思想和方法,恩格斯把它稱為數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點,把幾何問題化成代數(shù)問題,作圖法,華羅庚(19101985

3、,我國在國際上享有盛譽的數(shù)學家,他在解析數(shù)論,自守函數(shù)論,高維數(shù)值積分等廣泛的數(shù)學領(lǐng)域中,程,都作出了卓越的貢獻,發(fā)表專著與學術(shù)論文近 300 篇,偏微分方,多復(fù)變函數(shù)論,矩陣幾何學,典型群,他對青年學生的成長非常關(guān)心,他提出治學之道是,寬, 專, 漫,即基礎(chǔ)要寬,專業(yè)要專,要使自己的專業(yè),知識漫到其它領(lǐng)域,1984年來中國礦業(yè)大學視察時給,給師生題詞: “ 學而優(yōu)則用, 學而優(yōu)則創(chuàng),第一章,二、映射,三、函數(shù),一、集合,第一節(jié),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,映射與函數(shù),元素 a 屬于集合 M , 記作,元素 a 不屬于集合 M , 記作,一、 集合,1. 定義及表示法,定義 1,具有某

4、種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合,組成集合的事物稱為元素,不含任何元素的集合稱為空集,記作,注: M 為數(shù)集,表示 M 中排除 0 的集,表示 M 中排除 0 與負數(shù)的集,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,表示法,1) 列舉法,按某種方式列出集合中的全體元素,例,有限集合,自然數(shù)集,2) 描述法,x 所具有的特征,例: 整數(shù)集合,或,有理數(shù)集,p 與 q 互質(zhì),實數(shù)集合,x 為有理數(shù)或無理數(shù),開區(qū)間,閉區(qū)間,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,無限區(qū)間,點的 鄰域,其中, a 稱為鄰域中心 , 稱為鄰域半徑,半開區(qū)間,去心 鄰域,左 鄰域,右 鄰域,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,是 B

5、的子集 , 或稱 B 包含 A,2. 集合之間的關(guān)系及運算,定義2,則稱 A,若,且,則稱 A 與 B 相等,例如,顯然有下列關(guān)系,若,設(shè)有集合,記作,記作,必有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定義 3 . 給定兩個集合 A, B,并集,交集,且,差集,且,定義下列運算,余集,直積,特例,為平面上的全體點集,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,或,二、 映射,1. 映射的概念,某校學生的集合,學號的集合,某班學生的集合,某教室座位 的集合,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,引例1,引例2,引例3,點集,點集,向 y 軸投影,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定義4,設(shè) X , Y 是

6、兩個非空集合,若存在一個對應(yīng)規(guī),則 f,使得,有唯一確定的,與之對應(yīng),則,稱 f 為從 X 到 Y 的映射,記作,元素 y 稱為元素 x 在映射 f 下的 像,記作,元素 x 稱為元素 y 在映射 f 下的 原像,集合 X 稱為映射 f 的定義域,Y 的子集,稱為 f 的 值域,注意,1) 映射的三要素 定義域 , 對應(yīng)規(guī)則 , 值域,2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,對映射,若,則稱 f 為滿射,若,有,則稱 f 為單射,若 f 既是滿射又是單射,則稱 f 為雙射 或一一映射,引例2, 3,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,

7、引例2,引例2,例1,海倫公式,例2,如圖所示,對應(yīng)陰影部分的面積,則在數(shù)集,自身之間定義了一種映射（一一映射,例3,如圖所示,則有,滿射,滿射,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,X (數(shù)集 或點集,說明,在不同數(shù)學分支中有不同的慣用,X (,Y (數(shù)集,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,f 稱為X 上的泛函,X (,X,f 稱為X 上的變換,R,f 稱為定義在 X 上的為函數(shù),映射又稱為算子,名稱. 例如,2. 逆映射與復(fù)合映射,1) 逆映射的定義,定義,若映射,為單射,則存在一新映射,使,習慣上,的逆映射記成,例如, 映射,其逆映射為,其中,稱此映射,為 f 的逆映射,機動 目錄 上頁

8、 下頁 返回 結(jié)束,2) 復(fù)合映射,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,手電筒,D,引例,復(fù)合映射,定義,則當,由上述映射鏈可定義由 D 到 Y 的復(fù),設(shè)有映射鏈,記作,合映射,時,或,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注意: 構(gòu)成復(fù)合映射的條件,不可少,以上定義也可推廣到多個映射的情形,定義域,三、函數(shù),1. 函數(shù)的概念,定義4. 設(shè)數(shù)集,則稱映射,為定義在,D 上的函數(shù),記為,f ( D ) 稱為值域,函數(shù)圖形,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,自變量,因變量,對應(yīng)規(guī)則,值域,定義域,例如, 反正弦主值,定義域,對應(yīng)規(guī)律的表示方法,解析法,圖象法,列表法,使表達式及實際問題都有意義的自

9、變量 集合,定義域,值域,又如, 絕對值函數(shù),定義域,值 域,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 已知函數(shù),求,及,解,函數(shù)無定義,并寫出定義域及值域,定義域,值 域,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 函數(shù)的幾種特性,設(shè)函數(shù),且有區(qū)間,1) 有界性,使,稱,使,稱,說明: 還可定義有上界、有下界、無界,見上冊 P11,2) 單調(diào)性,為有界函數(shù),在 I 上有界,使,若對任意正數(shù) M , 均存在,則稱 f ( x ) 無界,稱 為有上界,稱 為有下界,當,時,稱,為 I 上的,稱,為 I 上的,單調(diào)增函數(shù),單調(diào)減函數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3) 奇偶性,且有,若,則稱

10、 f (x) 為偶函數(shù),若,則稱 f (x) 為奇函數(shù),說明: 若,在 x = 0 有定義,為奇函數(shù)時,則當,必有,例如,偶函數(shù),雙曲余弦,記,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,又如,奇函數(shù),雙曲正弦,記,再如,奇函數(shù),雙曲正切,記,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,4) 周期性,且,則稱,為周期函數(shù),若,稱 l 為周期,一般指最小正周期,周期為,周期為,注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期,例如, 常量函數(shù),狄里克雷函數(shù),x 為有理數(shù),x 為無理數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù),1) 反函數(shù)的概念及性質(zhì),若函數(shù),為單射,則存在逆映射,習慣上,的反函數(shù)記成,稱此

11、映射,為 f 的反函數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,其反函數(shù),減,減),1) yf (x) 單調(diào)遞增,且也單調(diào)遞增,性質(zhì),2) 函數(shù),與其反函數(shù),的圖形關(guān)于直線,對稱,例如,對數(shù)函數(shù),互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,指數(shù)函數(shù),2) 復(fù)合函數(shù),則,設(shè)有函數(shù)鏈,稱為由, 確定的復(fù)合函數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,復(fù)合映射的特例,u 稱為中間變量,注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件,不可少,例如, 函數(shù)鏈,函數(shù),但函數(shù)鏈,不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù),可定義復(fù)合,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,兩個以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù),例如,可定義復(fù)合函數(shù),4. 初等函數(shù),1) 基本初等函數(shù),冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù),反三角函數(shù),2) 初等函數(shù),由常數(shù)及基本初等函數(shù),否則稱為非初等函數(shù),例如,并可用一個式子表示的函數(shù),經(jīng)過有限次四則運算和復(fù)合步,驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù),可表為,故為初等函數(shù),又如 , 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù),自學, P1