D1_3函數(shù)的連續(xù)性2.ppt

1、二、連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì),一、 函數(shù)連續(xù)性與間斷點,第三節(jié),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,函數(shù)的連續(xù)性,第一章,三、閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),可見 , 函數(shù),在點,一、 函數(shù)連續(xù)性與間斷點1.連續(xù)的概念,定義,在,的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù),1,在點,即,2) 極限,3,設(shè)函數(shù),連續(xù)必須具備下列條件,存在,且,有定義,存在,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,對自變量的增量,有函數(shù)的增量,左連續(xù),右連續(xù),當(dāng),時, 有,函數(shù),在點,連續(xù)有下列等價命題,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,continue,若,在某區(qū)間上每一點都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上,連續(xù),或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),在閉區(qū)間,上

2、的連續(xù)函數(shù)的集合記作,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,基本初等函數(shù)在定義的區(qū)域上連續(xù),例1. 證明函數(shù),在,內(nèi)連續(xù),證,即,這說明,在,內(nèi)連續(xù),同樣可證: 函數(shù),在,內(nèi)連續(xù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,在,在,2、 函數(shù)的間斷點,1) 函數(shù),2) 函數(shù),不存在,3) 函數(shù),存在,但,不連續(xù),設(shè),在點,的某去心鄰域內(nèi)有定義,則下列情形,這樣的點,之一函數(shù) f (x) 在點,雖有定義 , 但,雖有定義 , 且,稱為間斷點,在,無定義,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,間斷點分類,第一類間斷點,及,均存在,若,稱,若,稱,第二類間斷點,及,中至少一個不存在,為可去間斷點,為跳躍間斷點,

3、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,為第二類間斷點,為第二類間斷點,為第一類可去間斷點,例如,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,顯然,為第一類可去間斷點,4,5,為為第一類跳躍間斷點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì),定理1. 在某點連續(xù)的有限個函數(shù)經(jīng)有限次和 , 差 , 積,利用極限的四則運算法則證明,商(分母不為 0) 運算,結(jié)果仍是一個在該點連續(xù)的函數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理2. 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的,設(shè)函數(shù),于是,即復(fù)合函數(shù),且,即,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈,因此,在,上連續(xù),復(fù)合而成,機動 目錄 上頁

4、 下頁 返回 結(jié)束,定理3、初等函數(shù)在定義的區(qū)間上連續(xù)性,基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù),連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù),一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),例如,的連續(xù)區(qū)間為,端點為單側(cè)連續(xù),的連續(xù)區(qū)間為,的定義域為,因此它無連續(xù)點,而,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 設(shè),討論復(fù)合函數(shù),的連續(xù)性,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 設(shè),解,討論復(fù)合函數(shù),的連續(xù)性,故此時連續(xù),而,故,x = 1為第一類間斷點,在點 x = 1 不連續(xù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì),定理4 （最大值與最小值定理）如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則

5、它在這個區(qū)間上一定有最大值最小值,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理5 （零點定理）如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，f(a)與f(b)異號,則至少存在一點 使得 =0,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),左連續(xù),右連續(xù),第一類間斷點,可去間斷點,跳躍間斷點,左右極限都存在,第二類間斷點,無窮間斷點,振蕩間斷點,左右極限至少有一個不存在,在點,間斷的類型,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),連續(xù)函數(shù)的四則運算的結(jié)果連續(xù),連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù),連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù),初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),說明: 分段函數(shù)在界點處是否連續(xù)需討論其 左、