3.4.1基本不等式的證明

1、3.4 基 本 不 等 式,這是2002年在北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。,思考1：會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？,思考2：你能否在這個(gè)圖案中找出 一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？,探究一：,有一大一小兩個(gè)正方形以及四個(gè)全等的直角三角形,a,b,1、正方形ABCD的 面積S=,、四個(gè)直角三角形的 面積和S =,、S與S有什么 樣的不等關(guān)系？,SS即,問(wèn)：那么它們有相等的情況嗎？,猜想： 一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。,a,b,a,b,思考：你能給出不等式 的證明嗎？,證明

2、：（作差法）,重要不等式：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，總有 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立,文字?jǐn)⑹鰹?,兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍.,適用范圍：,a,bR,問(wèn)題一,問(wèn)題一,替換后得到：,即：,即：,你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個(gè)不等式嗎？,問(wèn)題二,證明：要證,只要證,要證，只要證,要證，只要證,顯然, 是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí), 中的等號(hào)成立.,分析法,問(wèn)題二,證明不等式：,特別地，若a0，b0，則,通常我們把上式寫作：,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，這個(gè)不等式就叫做基本不等式.,基本不等式,在數(shù)學(xué)中，我們把 叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)， 叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；,文字?jǐn)⑹鰹椋?兩個(gè)正數(shù)的算

3、術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).,適用范圍：,a0,b0,你能用圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎?,問(wèn)題三,RtACDRtDCB，,A,B,C,D,E,a,b,O,如圖, AB是圓的直徑, O為圓心，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn), AC=a, BC=b. 過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?,問(wèn)題三,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,OD與CD的大小關(guān)系怎樣? OD_CD,如圖, AB是圓的直徑, O為圓心，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn), AC=a, BC

4、=b. 過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.,幾何意義：半徑不小于弦長(zhǎng)的一半,A,D,B,E,O,C,a,b,a=b,a=b,兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍,a,bR,a0,b0,填表比較：,注意從不同角度認(rèn)識(shí)基本不等式,例：(1)如圖,用籬笆圍成一個(gè)面積為100m2的矩形菜園,問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？,解：如圖設(shè)長(zhǎng)為x ，寬為y ，,則xy=100，籬笆的長(zhǎng)為2(x+y)m.,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立,因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為10m時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m.,此時(shí)x=y=10.,x=y,若x、y皆為正數(shù)， 則當(dāng)xy的值是常數(shù)P時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)， x+y有最小值_.,例：(2)如圖，用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？,解：如圖，設(shè)長(zhǎng)為x ，寬為y ，,則 2(x + y)= 36 , x + y =18,矩形菜園的面積為xy m2,得 xy 81,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立,因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為9m時(shí)， 菜園面積最大，最大面積是81m2,即x=y=9,若x、y皆為正數(shù)， 則當(dāng)x+y的值是常數(shù)S時(shí)， 當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)， xy有最大