[全]全等型“手拉手”數學模型詳解

1、全等型“手拉手”數學模型詳解手拉手模型是最常見的一類證明全等或相似的重要數學模型，全等型手拉手模型主要有以下三個特征：雙等腰、共頂點、頂角相等.【模型解析】模型一：等邊三角形ABC 和 CDE 均為等邊三角形，點 C 為公共頂點，如下圖：結論：ACE BCD .【例題1】如圖，ABD 與 BCE 都是等邊三角形，連接 AE 與 CD，延長 AE 交 CD 于點 F .求證： AE = DC， AFD = 60 .證明： ABD 與 BCE 都是等邊三角形， AB = DB , EB = CB , ABD = EBC = 60，又 ABE + EBD = DBC + EBD = 60， ABE

2、= DBC， ABE DBC（SAS）， AE = DC ，EAB = CDB . DAE + EAB = DAB = 60， DAE + CDB = 60， AFC = DAE + ADB + CDB = 60 + 60 = 120， AFD = 180 - AFC = 180 - 120 = 60 .模型二：等腰三角形等腰 ABC 和等腰 CDE，點 C 是公共頂點，ACB = DCE = a , 如下圖：結論：ACD BCE .模型三：等腰直角三角形等腰 RtAOB 和等腰 RtEOF，點 O 為公共頂點，如下圖：AE = BF , AEBF .現將 EOF 繞點 O 順時針旋轉一周，可

3、以分為以下幾種情況來考慮：結論： 圖二、三、五，當 A、O、F 三點不共線時，AOE BOF； 圖一、四、六，AOB EOF； 由圖六可知，點 E、F 的運動軌跡是圓弧 （注意特殊位置的最值問題）.模型四：正方形正方形 ABCD 和正方形 CEFG ，點 C 是公共頂點，如下圖：結論：BCG DCE .【例題2】如圖 所示，四邊形 ABCD 是正方形，點 E 是 AB 的中點，以 AE 為邊作正方形 AEFG，連接 DE , BG .（1）發(fā)現： 線段 DE、BG 之間的數量關系是DE = BG； 線段 DE、BG 之間的位置關系是DEBG；（2）探究：如圖 ，將正方形 AEFG 繞點 A 逆

4、時針旋轉，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；【提示】（1）、（2）中，用手拉手模型證明三角形全等即可解題 .【模型應用】【例題3】如圖，在長方形 ABCD 中，AB = 3 , BC = 4 , E 為 BC 上一點，且 BE = 1，F 為 AB 邊上的一個動點，連接 EF，將 EF 繞著點 E 順時針旋轉 45 到 EG 的位置，連接 FG 和 CG，則 CG 的最小值是多少？【解析】如圖，當 CGBG 時，此時 CG 最小 .解法的實質就是構造了一個和 BEF 全等、共頂點的三角形，或者說是將 BEF 繞點 E 旋轉了45.FBE GBE EOG，四邊

5、形 BEOG 是矩形，BEO = 90，從而可知 EOC 是等腰直角三角形，OE = OC , EOC = 90，由 EC = 3，可知 OC = 32/2，所以 CG = 1 + 32/2 .【例題4】在正方形 ABCD 中，CD = 2 , 若點 P 滿足 PD = 1，且 BPD = 90，請直接寫出點 A 到 BP 的距離為多少？【解析】其實點 P 的軌跡就是以點 D 為圓心，PD 長為半徑的圓，BPD = 90，可知 BP 與該圓相切 .第一種情況：如圖所示，連接 AP , 過點 A 作 AFAP，AEBP，交 BP 于點 F，E .可證：ABF ADP（ASA）， FB = PD

6、= 1 , AF = AP， PAF 是等腰直角三角形 .設 AE = EF = x , 在 RtAEB 中，由勾股定理可得：AE2 = AB2 - BE2 , 即 x2 = 22 - （x + 1）2 ,解得：x1 = （-1 + 7）/2 , x2 = （-1 - 7）/2 （舍去），此時點 A 到 BP 的距離是 （-1 + 7）/2；第二種情況：如圖所示，連接 AP，過點 A 作 AFAP，交 PB 延長線于點 F，AEBP，垂足為點 E .可證：ABF ADP（ASA）， FB = PD = 1 , AP = AF , PAF 是等腰直角三角形 .設 AE = EF = x , 在 RtAEB 中，由勾股定理可得：AE2 = AB2 -