第七章 第六節(jié) 空間角.ppt

1、第七章 立體幾何,第六節(jié) 空 間角,-,抓 基 礎(chǔ),明 考 向,提 能 力,教 你 一 招,我 來 演 練,備考方向要明了,銳角(或直角),任意一條,它在平面上的射影,4二面角 (1)二面角：從一條直線 所組成的圖形叫做二面角這條直線叫做 . 兩個半平面叫做二面角的面 如圖，記作：l或AB或PABQ.,出發(fā)的兩個半平面,二面角的棱,(2)二面角的平面角： 如圖，二面角l， 若有Ol， OA，OB， OAl，OBl， 則AOB就叫做二面角l的平面角,1. (2011陜西八校聯(lián)考)如圖，E、F分別 是三棱錐PABC的棱AP、BC的中點(diǎn)， PC10，AB6，EF7，則異面直線 AB與PC所成的角為

2、() A30B45 C60 D90,解析：取AC中點(diǎn)D，連接DE、DF，則EDF為AB與PC所成的角，利用余弦定理可求得EDF120.所以異面直線AB與PC所成的角是60.,答案：C,答案：C,答案：A,4(2011長沙模擬)在正方體ABCDA1B1C1D1中，B1C與 對角面DD1B1B所成角的大小是 () A15 B30 C45 D60,答案：B,1線面角的問題 (1) 線面角涉及斜線的射影，故找出平面的垂線是基本思 路要注意與線線垂直，線面垂直的相互關(guān)系 (2) 求直線與平面所成的角的一般過程為： 通過射影轉(zhuǎn)化法，作出直線與平面所成的角；在 三角形中求角的大小,2二面角的問題 求二面角的

3、平面角時，同樣歸結(jié)到三角形中去，但在求解時要注意二面角的平面角的取值范圍,精析考題,例1 (2012杭州模擬)如圖，已知 正方體ABCDA1B1C1D1中，E為 AB的中點(diǎn)(1)求直線B1C與DE所 成的角的余弦值； (2)求證：平面EB1D平面B1CD.,巧練模擬(課堂突破保分題，分分必保！),1(2012嘉興模擬)如圖，ABCDA1B1C1D1是長方體， AA1a，BAB1B1A1C130，則AB與A1C1所成的角為_，AA1與B1C所成的角為_,解析：ABA1B1，B1A1C1是AB與A1C1所成的角， AB與A1C1所成的角為30. AA1BB1，BB1C是AA1與B1C所成的角， 由

4、已知條件可以得出BB1a，AB1A1C12a，ABa， B1C1BCa. BB1C1C是正方形BB1C45.,答案：3045,沖關(guān)錦囊 求異面直線所成的角一般用平移法，步驟如下 (1)一作：即據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角； (2)二證：即證明作出的角是異面直線所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角 或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角.,自主解答(1)證明：如圖，取AC中點(diǎn)D，連接PD、BD. PAPC，PDAC. 又已知平面PAC平面ABC， PD平面ABC，D為垂足 PAPBPC，DADBDC. 故AC為ABC的外接圓直徑

5、， ABBC.,(2)如圖，作CFPB于F，連接AF、DF. PBCPBA， AFPB，AFCF. PB平面AFC. 平面AFC平面PBC，交線是CF. 直線AC在平面PBC內(nèi)的射影為直線CF，ACF為AC與平面PBC所成的角,巧練模擬(課堂突破保分題，分分必保！),解：(1)證明：四邊形ABCD 是正方形， ACBD，PD底面ABCD， PDAC，AC平面PDB，又AC平面AEC， 平面AEC平面PDB.,沖關(guān)錦囊 1求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是作出線面角，其中尋找 線面垂直又是重中之重 2求直線與平面所成的角的步驟是 (1)尋找過直線上一點(diǎn)與平面垂直的直線； (2)連接垂足和斜足得出射影，

6、確定出所求角； (3)把該角放入三角形中計算,精析考題 例3 (2011浙江高考)如圖，在三棱 錐PABC中，ABAC，D為BC的 中點(diǎn)，PO平面ABC，垂足O落在 線段AD上已知BC8，PO4， AO3，OD2.,(1)證明：APBC； (2)在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角AMCB為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由,解(1)證明：由ABAC，D是BC的中 點(diǎn)，得ADBC. 又PO平面ABC，得POBC. 因?yàn)镻OADO，所以BC平面PAD， 故BCPA.,巧練模擬(課堂突破保分題，分分必保！),3.(2012溫州模擬)如圖所示，在四棱錐 SABCD中，底面ABCD是

7、正方形，S A底面ABCD，SAAB，點(diǎn)M是SD 的中點(diǎn)，ANSC，且交SC于點(diǎn)N. (1)求證：SB平面ACM； (2)求二面角DACM的平面角的正切值；,解：(1)證明：連接BD交AC于E，連接ME. 四邊形ABCD是正方形， E是BD的中點(diǎn) M是SD的中點(diǎn)， ME是DSB的中位線 MESB.,又ME平面ACM，SB平面ACM， SB平面ACM. (2)取AD的中點(diǎn)F，連接MF，則MFSA. 作FQAC于Q，連接MQ. SA底面ABCD，MF底面ABCD. FQ為MQ在平面ABCD內(nèi)的射影 FQAC，MQAC.,沖關(guān)錦囊 確定二面角的平面角的常用方法 (1) 定義法：在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)

8、在兩個半平面內(nèi)分別引 棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角 (2) 利用線面垂直的判定與性質(zhì)作角法自二面角的一個半平 面上一點(diǎn)A(不在棱上)向另一半平面所在平面引垂線，再由垂足B(垂足在棱上則二面角為直二面角)向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)C，連接AC則ACB(或其補(bǔ)角)即為二面角的平面角,解題樣板 二面角的幾種優(yōu)美解法,優(yōu)美解2：如圖，取線段BP的中點(diǎn)H， 連接HF、HA.易知HF AE，從而四 邊形HFEA為平行四邊形，故AH E F.取線段BC的中點(diǎn)M，連接MF、ME.易知，平面MFE平面PAB，從而平面MFE與平面BFE的夾角大小等于平面BFE與平面PAB的夾角大小,由已知易得BC

9、平面PAB，于是 有HABC.由HAPB，HABC ，得HA平面PBC，從而EF 平面PBC，故BFM為二面角BEFM的平面角易知BFMPBF45，故平面BFE與平面PAB的夾角大小為45.,優(yōu)美解3：如圖，取線段BP的中點(diǎn)H， 連接HF、HA.易知HF AE，從而 四邊形HFEA為平行四邊形，故 AH EF.延長CB至G，使GBAE，連接GH、GA，則平面GHA平面BEF，從而平面GHA與平面PAB的夾角大小等于平面BFE與平面PAB的夾角大小,優(yōu)美解4：如圖，取線段BP的中點(diǎn)H， 連接HF、HA.易知HF AE，從而四 邊形HFEA為平行四邊形，故HA E F，所以HA平面BEF.,設(shè)平面PAB平面BEFl，進(jìn)而可得HAl.而由已知易得BC平面PAB，又由HAPB，HABC可得HA平面PBC，從而l平面PBC，所以lBP，lBF，所以PBF為二面角PAlEF的平面角易知，PBC為等腰直角三角形，PBC90，而BF既是斜邊PC邊上的中線也是PC邊上的高，由等腰三角形的“三線合一”，得PBF45.所以平面BFE與平面PAB的夾角大小為