北師大版八年級數(shù)學上冊第二章實數(shù)知識點及習題

1、實數(shù)知識點一、【平方根】如果一個數(shù)x的平方等于a，那么，這個數(shù)x就叫做a的平方根；也即，當時，我們稱x是a的平方根，記做：。因此：1、當a=0時，它的平方根只有一個，也就是0本身；2、當a0時，也就是a為正數(shù)時，它有兩個平方根，且它們是互為相反數(shù)，通常記做：。3、當a0時，也即a為負數(shù)時，它不存在平方根。例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。（3）若的平方根是2，則x= ；的平方根是 （4）當x 時，有意義。（5）一個正數(shù)的平方根分別是m和m-4，則m的值是多少？這個正數(shù)是多少？知識點二、【算術(shù)平方根】： 1、如果一個正數(shù)x的平方等于a，即，那么，這個正數(shù)

2、x就叫做a的算術(shù)平方根，記為：“”，讀作，“根號a”，其中，a稱為被開方數(shù)。特別規(guī)定：0的算術(shù)平方根仍然為0。2、算術(shù)平方根的性質(zhì)：具有雙重非負性，即：。3、算術(shù)平方根與平方根的關(guān)系：算術(shù)平方根是平方根中正的一個值，它與它的相反數(shù)共同構(gòu)成了平方根。因此，算術(shù)平方根只有一個值，并且是非負數(shù)，它只表示為：；而平方根具有兩個互為相反數(shù)的值，表示為：。例2.（1）下列說法正確的是 （ ）A1的立方根是； B； （C）、的平方根是； （ D）、0沒有平方根； （2）下列各式正確的是（ ）A、 B、 C、 D、（3）的算術(shù)平方根是 。（4）若有意義，則_。（5）已知ABC的三邊分別是且滿足，求c的取值范圍

3、。（7）如果x、y分別是4的整數(shù)部分和小數(shù)部分。求x y的值.（8）求下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根.64； ； 0.0004； (25)2； 11. 1.44， 0，8， ， 441， 196， 104（9）()2等于多少？()2等于多少？（10） ()2等于多少？（11）對于正數(shù)a，()2等于多少？我們共學了加、減、乘、除、乘方、開方六種運算.加與減互為逆運算，乘與除互為逆運算，乘方與開方互為逆運算.知識點三、【開平方性質(zhì)】(1) =_，=_；(2) (2)=_，=_；(3) =_，=_；(4) (4)_，=_.知識點四、【立方根】： 1、如果x的立方等于a，那么，就稱x是a的立方根，或者三

4、次方根。記做：，讀作，3次根號a。注意：這里的3表示的是根指數(shù)。一般的，平方根可以省寫根指數(shù)，但是，當根指數(shù)在兩次以上的時候，則不能省略。2、平方根與立方根：每個數(shù)都有立方根,并且一個數(shù)只有一個立方根；但是，并不是每個數(shù)都有平方根，只有非負數(shù)才能有平方根。例3.（1）64的立方根是（2）若，則b等于（ ） A. B. 1000 C. 10 D. 10000（3）下列說法中：都是27的立方根，的立方根是2，。其中正確的有 （ ）A、1個 B、2個 C、3個 D、4個知識點五、【無理數(shù)】： 1、無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)；它必須滿足“無限”以及“不循環(huán)”這兩個條件。在初中階段，無理數(shù)的表現(xiàn)形式主要包

5、含下列幾種：（1）特殊意義的數(shù)，如：圓周率以及含有的一些數(shù)，如：2-，3等；（2）開方開不盡的數(shù)，如:等；（3）特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)：如：2.010 010 001 000 01（兩個1之間依次多1個0）等。應當要注意的是：帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，如：等；無理數(shù)也不一定帶根號，如：2、 有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別：（1）有理數(shù)指的是有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)則是無限不循環(huán)小數(shù)；（2）所有的有理數(shù)都能寫成分數(shù)的形式（整數(shù)可以看成是分母為1的分數(shù)），而無理數(shù)則不能寫成分數(shù)形式。例4.（1）下列各數(shù)：3.141、0.33333、0.03（相鄰兩個3之間0的個數(shù)逐次增加2）、其中是有理數(shù)的有；是無理數(shù)的有。

6、（填序號）（2）有五個數(shù):0.,0.,-,其中無理數(shù)有 ( )個A 2 B 3 C 4 D 5 知識點六、【實數(shù)】：1、有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。在實數(shù)中，沒有最大的實數(shù)，也沒有最小的實數(shù)；絕對值最小的實數(shù)是0，最大的負整數(shù)是-1，最小的正整數(shù)是1.2、實數(shù)的性質(zhì)：實數(shù)a的相反數(shù)是-a；實數(shù)a的倒數(shù)是（a0）；實數(shù)a的絕對值|a|=，它的幾何意義是：在數(shù)軸上的點到原點的距離。3、實數(shù)的大小比較法則：實數(shù)的大小比較的法則跟有理數(shù)的大小比較法則相同：即正數(shù)大于0，0大于負數(shù)；正數(shù)大于負數(shù)；兩個正數(shù)，絕對值大的就大，兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。（在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)）。對于一些帶根號的

7、無理數(shù)，我們可以通過比較它們的平方或者立方的大小。4、實數(shù)的運算：在實數(shù)范圍內(nèi)，可以進行加、減、乘、除、乘方、開方六種運算。運算法則和運算順序與有理數(shù)的一致。例5.（1）下列說法正確的是（ ）；A、任何有理數(shù)均可用分數(shù)形式表示 ； B、數(shù)軸上的點與有理數(shù)一一對應 ；C、1和2之間的無理數(shù)只有 ； D、不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)。（2）a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列各式有意義的是( )b0aA、 B、 C、 D、（3）如右圖所示的數(shù)軸上，點B與點C關(guān)于點A對稱，A、B兩點對應的實數(shù)是和-1，則點C所對應的實數(shù)是（ ）A. 1+ B. 2+ C. 2-1 D. 2+1（4）實數(shù)、在軸上的位置如圖

8、所示，且，則化簡的結(jié)果為（ ）A B. C . D.（5）比較大小(填“”或“”).3 ， ， ， ，（6）將下列各數(shù)：，用“”連接起來；_。（7）若，且，則：= 。（8）計算： （9）已知：，求代數(shù)式的值。基礎(chǔ)練習一一、選擇題1.下列數(shù)中是無理數(shù)的是（ ） A.0.12 B. C.0 D.2.下列說法中正確的是（ ）A.不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù) B.分數(shù)不是有理數(shù) C.有理數(shù)都是有限小數(shù) D.3.是有理數(shù)3.下列語句正確的是（ ）A.3.888是無理數(shù) B.無理數(shù)分正無理數(shù)、零、負無理數(shù)C.無限小數(shù)不能化成分數(shù) D.無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)4.在直角ABC中，C=90，AC=，BC=2，則AB為（

9、）A.整數(shù) B.分數(shù) C.無理數(shù) D.不能確定5.面積為6的長方形，長是寬的2倍，則寬為（ ） A.小數(shù)B.分數(shù)C.無理數(shù) D.不能確定 6.的化簡結(jié)果是（ ） A.2 B.2 C.2或2 D.4 7.9的算術(shù)平方根是（ ） A.3 B.3 C. D. 8.(11)2的平方根是 A.121 B.11 C.11 D.沒有平方根9.下列式子中，正確的是（ ）A.B.=0.6 C.=13D.=610.72的算術(shù)平方根是（ ） A. B.7 C. D.411.16的平方根是（ ） A.4 B.24 C. D.212.一個數(shù)的算術(shù)平方根為a，比這個數(shù)大2的數(shù)是（ ）A.a+2 B.2 C.+2 D.a2

10、+213.下列說法正確的是（ ）A.2是4的平方根 B.2是(2)2的算術(shù)平方根 C.(2)2的平方根是2 D.8的平方根是414.的平方根是（ ） A.4 B.4 C.4 D.215.的值是（ ） A.7 B.1 C.1 D.716.下列各數(shù)中沒有平方根的數(shù)是（ ）A.(2)3 B.33 C.a0 D.（a2+1）17.等于（ ） A.a B.a C.a D.以上答案都不對18.如果a(a0)的平方根是m，那么（ ）A.a2=m B.a=m2 C.=m D.=m19.若正方形的邊長是a,面積為S，那么（ ）A.S的平方根是a B.a是S的算術(shù)平方根 C.a= D.S= 二、填空題1.在0.3

11、51， ，4., 6.1, 0,5.2333, 5.1中，無理數(shù)的個數(shù)有_.2._小數(shù)或_小數(shù)是有理數(shù)，_小數(shù)是無理數(shù).3.x2=8,則x_分數(shù)，_整數(shù)，_有理數(shù).(填“是”或“不是”)4.面積為3的正方形的邊長_有理數(shù)；面積為4的正方形的邊長_有理數(shù).(填“是”或“不是”) 5.的平方根是_； 6.()2的算術(shù)平方根是_； 7.一個正數(shù)的平方根是2a1與a+2，則a=_，這個正數(shù)是_； 8.的算術(shù)平方根是_； 9.92的算術(shù)平方根是_； 10.的值等于_，的平方根為_； 11.(4)2的平方根是_，算術(shù)平方根是_.三.判斷題 1.0.01是0.1的平方根.( ) 2.52的平方根為5.（ ）

12、 3.0和負數(shù)沒有平方根.（ ） 4.因為的平方根是,所以=.（ ） 5.正數(shù)的平方根有兩個，它們是互為相反數(shù).（ ）四、解答題 1.已知：在數(shù)，,3.1416,0,42,(1)2n,1.中，（1）寫出所有有理數(shù)；（2）寫出所有無理數(shù)； 2.要切一塊面積為36 m2的正方形鐵板，它的邊長應是多少？ 3.已知某數(shù)有兩個平方根分別是a+3與2a15,求這個數(shù). 分母有理化1分母有理化定義：把分母中的根號化去，叫做分母有理化。2有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式。有理化因式確定方法如下：單項二次根式：利用來確定，如：，與等分別互為有理

13、化因式。兩項二次根式：利用平方差公式來確定。如與，分別互為有理化因式。例題：找出下列各式的有理化因式 3分母有理化的方法與步驟：（1）先將分子、分母化成最簡二次根式；（2）將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；（3）最后結(jié)果必須化成最簡二次根式或有理式。例題：把下列各式分母有理化 例題：把下列各式分母有理化：（1） （3） （4） 【練習】1找出下列各式的有理化因式 2把下列各式分母有理化 3計算 4比較大小與 5.把下列各式中根號外面的因式適當改變后移到根號里面： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ；6.計算： (1) ； (2) ； (3) ；(4)

14、； (5) ； (6) ；1. 計算(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 專題講解：類型一有關(guān)概念的識別1、實數(shù)的有關(guān)概念無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，初中主要學習了四類：含的數(shù)，如：等，開方開不盡的數(shù)，如等；特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，例0.010 010 001等；某些三角函數(shù)，如sin60，cos45 等。判斷一個數(shù)是否是無理數(shù)，不能只看形式，要看運算結(jié)果，如是有理數(shù)，而不是無理數(shù)。例1下面幾個數(shù)：0.23 ，1.，3，其中，無理數(shù)的個數(shù)有（ ）A、1 B、2 C、3 D、4例2.（2010年浙江省東陽縣） 是 A無理數(shù) B有理數(shù) C整數(shù) D負數(shù) 舉一反三：1.在實數(shù)中，0，3.14，中無理數(shù)有（

15、 ） A1個 B2個 C3個 D4個2、平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念若a0，則a的平方根是，a的算術(shù)平方根；若a0，則ab=1；（）2把下列各數(shù)分別填入相應的集合里|3|，213，1234，,0，, , ()0，32，1.中 無理數(shù)集合 負分數(shù)集合 整數(shù)集合 非負數(shù)集合 *3已知1x2，則|x3|+等于（）（A）2x（B）2（C）2x（D）24下列各數(shù)中，哪些互為相反數(shù)？哪些互為倒數(shù)？哪些互為負倒數(shù)？3, 1， 3， 03， 31， 1 +， 3互為相反數(shù)： ；互為倒數(shù)： 互為負倒數(shù)： *5已知、是實數(shù)，且（X）2和2互為相反數(shù)，求，y的值6.若,b互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，m的絕對值是

16、2，則+4m-3cd= 。*7已知0，則= 。三、解題指導：1下列語句正確的是（）（A）無盡小數(shù)都是無理數(shù) （B）無理數(shù)都是無盡小數(shù)（C）帶拫號的數(shù)都是無理數(shù) （D）不帶拫號的數(shù)一定不是無理數(shù)。2和數(shù)軸上的點一一對應的數(shù)是（）（A）整數(shù) （B）有理數(shù) （C）無理數(shù) （D）實數(shù)4.如果a是實數(shù)，下列四種說法：（1）2和都是正數(shù)； （2），那么一定是負數(shù)，（3）的倒數(shù)是； （4）和的兩個分別在原點的兩側(cè)，幾個是正確的（）（A）0（B）1（C）2（D）3*5比較下列各組數(shù)的大小：（1） (2) (3)ab0時, 6若a,b滿足=0,則的值是 *7實數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應點如圖，其中O是原點，且|

17、a|=|c|(5) 判定a+b,a+c,c-b的符號(6) 化簡|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8數(shù)軸上點A表示數(shù)1，若AB3，則點B所表示的數(shù)為 9已知x0，且y|x|，用連結(jié)x，x，|y|，y。10最大負整數(shù)、最小的正整數(shù)、最小的自然數(shù)、絕對值最小的實數(shù)各是什么？11（2011廣東茂名，9，3分）對于實數(shù)、，給出以下三個判斷： 若，則 若，則 若，則 其中正確的判斷的個數(shù)是（ ）A3 B2 C1 D012若的值在兩個整數(shù)a與a+1之間，則a= *13.數(shù)軸上作出表示，的點。四獨立訓練：10的相反數(shù)是，3的相反數(shù)是， 的相反數(shù)是；的絕對值是，0的絕對值是，的倒數(shù)是2數(shù)軸上表示32的點它離開原點的距離是。A表示的數(shù)是，且AB，則點B表示的數(shù)是。3,(1),01313,2cos60, 31 ,1 (兩1之間依次多一個0),中無理數(shù)有 ，整數(shù)有 ，負數(shù)有 。4. 若a的相反數(shù)是27，則a| ；5若|a|，則a= 5若實數(shù)x，y滿足等式（x3）24y0，則xy的值是 6實數(shù)可分為（）（A）正數(shù)和零（B）有理