高數(shù)第一章復(fù)習(xí)資料

1、高數(shù)第一章復(fù)習(xí)資料第一章 預(yù)備知識(shí)一、 定義域1. 已知 的定義域?yàn)?,求 的定義域。答案：2. 求 的連續(xù)區(qū)間。提示：任何初等函數(shù)在定義域范圍內(nèi)都是連續(xù)的。答案:二、 判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同?1. ， 是否表示同一函數(shù)?答案：否2. 下列各題中,和是否相同?答案：都不相同 三、 奇偶性1. 判斷的奇偶性。答案：奇函數(shù)四、 有界性 ,使 ,則 在上有界。有界函數(shù)既有上界,又有下界。1. 在 內(nèi)是否有界？答案：無界2. 是否有界？答案:有界，因?yàn)槲濉?周期性1. 下列哪個(gè)不是周期函數(shù)()。a. b .d 注意: 是周期函數(shù),但它沒有最小正周期。六、 復(fù)合函數(shù)1. 已知 ，求例:已知 ,求 解1:解

2、2：令,，2. 設(shè) ，求 提示：3. 設(shè) ,求提示：先求出 4. 設(shè) ，求 提示：七、 函數(shù)圖形熟記 的函數(shù)圖形。第二章 極限與連續(xù)八、 重要概念1. 收斂數(shù)列必有界。2. 有界數(shù)列不一定收斂。3. 無界數(shù)列必發(fā)散。4. 單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在。5. 極限存在的充要條件是左、右極限存在并且相等。九、 無窮小的比較1. 時(shí)，下列哪個(gè)與是等價(jià)無窮?。╝)。a. 十、 求極限1. 無窮小與有界量的乘積仍是無窮小。 ， , ， ，2. 自變量趨于無窮大,分子、分母為多項(xiàng)式例如:提示：分子、分母同除未知量的最高次冪。3. 出現(xiàn)根號(hào)，首先想到有理化 補(bǔ)充練習(xí)：(1） (2)(） (4）（) 4. 出現(xiàn)三

3、角函數(shù)、反三角函數(shù)，首先想到第一個(gè)重要極限例: 作業(yè)：p9 (1）()5. 出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪指函數(shù)，首先想到第二個(gè)重要極限例： 作業(yè):p4 （)(6)6. 、 、 、 、 ，可以使用洛必達(dá)法則作業(yè)：p995(1）(8)7. 分子或分母出現(xiàn)變上限函數(shù)提示：洛必達(dá)法則+變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)例： 補(bǔ)充練習(xí)：（） （2）（) () 十一、 連續(xù)與間斷任何初等函數(shù)在其定義域范圍內(nèi)都是連續(xù)的。分段函數(shù)可能的間斷點(diǎn)是區(qū)間的分界點(diǎn)。若 ，則 在 處連續(xù)，否則間斷。第一類間斷點(diǎn):左、右極限都存在的間斷點(diǎn),進(jìn)一步還可細(xì)分為可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。第二類間斷點(diǎn)：不屬于第一類的間斷點(diǎn),進(jìn)一步還可細(xì)分

4、為無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。1. 設(shè)在 處連續(xù)，求 解： 在 處連續(xù), 2. 作業(yè)：494、10p5011、123. 補(bǔ)充練習(xí):(1)研究函數(shù)的連續(xù)性: , （2)確定常數(shù) ,使下列函數(shù)連續(xù): , ,（3）求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并確定其所屬類型: 十二、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)零點(diǎn)定理： 在 上連續(xù),且，則在 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得 1. 補(bǔ)充練習(xí):（1）證明方程 至少有一個(gè)不超過3的正實(shí)根。(）證明方程在 內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。（3）證明方程 在 內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。(4）證明方程 至少有一個(gè)小于1的正根。第三章 導(dǎo)數(shù)與微分十三、 重要概念1. 可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)。2. 可導(dǎo)必可微,可微必可導(dǎo)

5、。3. 函數(shù)在 處可導(dǎo)的充要條件是左、右導(dǎo)數(shù)存在并且相等。十四、 導(dǎo)數(shù)的定義作業(yè)：p75 2十五、 對(duì)于分段函數(shù)，討論分界點(diǎn)是否可導(dǎo)?例： 在 處，連續(xù)但不可導(dǎo)1. 作業(yè):74、52. 討論下列函數(shù)在區(qū)間分界點(diǎn)的連續(xù)性與可導(dǎo)數(shù)答案:在處連續(xù)、不可導(dǎo) 答案:在處連續(xù)、不可導(dǎo) 答案:在 處不連續(xù)、不可導(dǎo)3. 設(shè) ，為使 在處連續(xù)且可導(dǎo),應(yīng)取什么值？答案: 十六、 求導(dǎo)數(shù)1. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，特別是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作業(yè):p6、12. 利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)作業(yè):633. 求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作業(yè):p76124. 求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作業(yè)：p615. 求高階導(dǎo)數(shù)作業(yè):p5116. 求切線方程、法線方程利

6、用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率 ,則法線的斜率為 例:求曲線在 處的切線方程。解: 切線斜率 ,切線經(jīng)過點(diǎn) 切線方程： 作業(yè):p737. 求變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作業(yè):p54十七、 求微分1. , 2. ，求解：作業(yè):p615十八、 利用微分進(jìn)行近似計(jì)算公式： 作業(yè)：1第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用十九、 利用拉格朗日中值定理證明不等式定理:設(shè) 在 上連續(xù),在 內(nèi)可導(dǎo)，則在 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ,使得 證明步驟：（）根據(jù)待證的不等式設(shè)函數(shù) （2）敘述函數(shù) 滿足定理?xiàng)l件 (3）根據(jù)定理證明出不等式。1. 作業(yè)：p9942. 補(bǔ)充練習(xí)：證明下列不等式:()當(dāng)時(shí), （） （）當(dāng) 時(shí), 二十、 單調(diào)性與極值1. 單調(diào)性:（

7、1）確定單調(diào)區(qū)間可能的分界點(diǎn)(駐點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)）(2)將定義域分成若干個(gè)子區(qū)間，列表討論 在各子區(qū)間上的符號(hào),從而確定單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間作業(yè):9962. 極值：(1）確定可能的極值點(diǎn)（駐點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)） （2)將定義域分成若干個(gè)子區(qū)間，列表討論 在各子區(qū)間上的符號(hào),從而確定單調(diào)性與極值例:確定 的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)作業(yè)：p109二十一、 求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值步驟：()求出所有可能的極值點(diǎn)(2）計(jì)算各可能極值點(diǎn)的函數(shù)值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值 (3)上述各值中最大的為mx，最小的為min作業(yè):p0010 (）二十二、 最值的應(yīng)用問題步驟:（1）寫出目標(biāo)函數(shù) （2)求出可能的極值點(diǎn)(應(yīng)用問題只有一個(gè)可能的極值點(diǎn)） （3）分析是最大值問題還是最小值問題。如果是最大值問題,則寫出 ，并且最大值 ;如果是最小值問題,則寫出 ，并且最小值作業(yè):p10013補(bǔ)充作業(yè)：從斜邊長 的一切直角三角形中,求有最大周長的直角三角形。第五章 不定積分二十三、 換元法、分部積分法求不定積分1. 換元法例:解1（第一類換元)：解(第二類換元）：作業(yè):p256p172. 分部積分法例: 作業(yè):p168第六章 定積分及其應(yīng)用二十四、 利用2推論3估計(jì)積分值:作業(yè):p156二十五、 證明題(1)設(shè) ,證明: （2)設(shè) ，證明:證